【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册3.3.2《抛物线的简单几何性质（1）》课件(含答案).ppt，共(34)页，1.202 MB，由MTyang资料小铺上传

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人教2019A版选择性必修一第三章圆锥曲线的方程学习目标1.掌握抛物线的简单几何性质.2.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.3.掌握直线与抛物线位置关系的判断。问题导学探究1.范围抛物线y2=2px(p＞0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标

(x,y)的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．概念形成2.对称性观察图象，不难发现，抛物线y2=2px(p＞0)关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物

线只有一条对称轴．3.顶点抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0)．4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e表示，e=1．探究抛物线四种

形式的标准方程及其性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2

=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦点坐标准线方程顶点坐标O(0,0)离心率e=11.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等

于一次项系数的绝对值的;(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴

上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.14归纳总结1.判断(1)抛物线关于顶点对称.()(2

)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.()小试牛刀答案:(1)×(2)√(3)√2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开

口方向?解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.3.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.

y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y𝑝2解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.

答案:C问题思考(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.提示:

抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.问题思考典例解析跟踪训练1.设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直

线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.错解:由y=mx2(m≠0)可知其准线方程为y=-𝑚4.由题意知-𝑚4=-2,解得m=8,𝑚4跟踪训练故所求抛物线的标准方程为y=8x2.错因分析本题在解答过

程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=-;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.正

解:y=mx2(m≠0)可化为x2=1𝑚y,其准线方程为y=-14𝑚.由题意知-14𝑚=-2或-14𝑚=4,解得m=18或m=-116,故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.例4.

斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1，0)，所以直线AB的方程为01(1)yx−=−，即1

yx=−，①将方程①代入抛物线方程24yx=，化简得2610xx−+=，解这个方程，得1322x=+，2322x=−，将1322x=+，2322x=−代入方程①中，得1222y=+，2222y=−，即A(322+，222+)，B(322

−，222−)，∴22||(42)(42)8AB=+=.典例解析解：方法二：由抛物线的定义可知，|AF|=|AD|=x1＋1，|BF|＝|BC|=x2＋1，于是|AB|=|AF|＋|BF|=x1＋x2＋2．在方法一中得

到方程x2－6x＋1=0后，根据根与系数的关系可以直接得到x1＋x2＝6，于是立即可以求出|AB|=6＋2=8．方法三：抛物线y2＝4x中2p＝4，直线的倾斜角为4，所以焦点弦长224==81sin2pAB=.直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离将直线方程和抛物线方程联立

，消元转化为关于x（或y的）方程组：Ax2+Bx+C=0（或Ay2+By+C=0），其中A，B，C为常数.若A=0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点；若A≠0，计算判别式Δ＝B2－4AC：若Δ＞

0，则直线和抛物线相交（有两个交点）；若Δ=0，则直线和抛物线相切（有一个交点）；若Δ＜0，则直线和抛物线相离（无交点）.归纳总结跟踪训练2(1)过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l：y＝(a＋1)x－1与

曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．跟踪训练[思路探究](1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方程代入抛物线方程，转化为Δ＝0求解；不存在时显然满足题意．(2)将直线方程

与抛物线方程联立→消去y后化为关于x的方程→分类讨论方程有一解时a的取值[解](1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意．当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l

的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点；当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝12，直线方程为y＝12x＋1.故满足条件的直线有三条．(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所

以方程组y＝(a＋1)x－1，y2＝ax只有一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0①.(ⅰ)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解x＝－1，y＝－1.(ⅱ)当a

＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－45.所以原方程组有唯一解x＝－5，y＝－2.综上，实数a的取值集合是－1，－45.1．若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x

轴，若|AB|＝22，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．12B．14C．16D．18A[线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为12，0，则焦点到直线AB的距离为1－12＝12.]当堂达标

2．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A．(42，±2)B．(±42，2)C．(±2,42)D．(2，±42)D[抛物线y2＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，

y)符合题意，则有y2＝16x，x2＋y2＝(x－4)2＋y2⇒y2＝16x，x＝2⇒x＝2，y＝±42.所以符合题意的点为(2，±42)．]3．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．158[设

A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2＝y，可得p＝14.∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴y1＋y2＝4－14＝154，故AB的中点的纵坐标是y1＋y22＝158.]4.已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点

、准线方程、对称轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),

x=-2,x轴,x≥0.(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,又焦点F是△OAB的重心,则|OF|=23|OM|.因为F(2,0),所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0).故设A(3,m),代入y2=

8x得m2=24,所以m=2√6或m=-2√6,所以A(3,2√6),B(3,-2√6),所以|OA|=|OB|=√33,所以△OAB的周长为2√33+4√6.5．已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|P

F|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|＝8，求k的值．31[解](1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－p2，由|PF|＝2得：1＋p2＝2，得p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1

)，B(x2，y2)，由y＝k(x－1)，y2＝4x，可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，∴x1＋x2＝2k2＋4k2.∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴|AB|＝x1＋

x2＋p＝2k2＋4k2＋2＝8，解得k＝±1，所以k的值为1或－1.课堂小结