【文档说明】人教版高中数学选择性必修第一册《空间向量与立体几何》基础练习卷(教师版).doc，共(10)页，227.877 KB，由MTyang资料小铺上传

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人教版高中数学选择性必修第一册《空间向量与立体几何》基础练习卷一、选择题1.在空间直角坐标系中，点P(1，3，﹣5)关于xOz平面对称的点的坐标是().A.(﹣1，3，﹣5)B.(1，﹣3，5)C.(1，﹣3，﹣5)D

.(﹣1，﹣3，5)【答案解析】答案为：C2.点P(﹣6，﹣8，10)到x轴的距离是().A.10B.234C.241D.102【答案解析】答案为：C.3.在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，5)，过P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是().A.(0，2，0)B.(0，

2，5)C.(1，0，5)D.(1，2，0)【答案解析】答案为：B；解析：根据空间直角坐标系的概念知yOz平面上的点Q的x坐标为0，y坐标，z坐标分别等于点P的y坐标2，z坐标5，∴垂足Q的坐标为(0，2，5).4.已知向量a＝(2，4，5)

，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2方向向量，若l1∥l2，则()A.x＝6，y＝15B.x＝3，y＝7.5C.x＝3，y＝15D.x＝6，y＝7.5【答案解析】答案为：D.5.已知a＝(2，1，﹣3)，b＝(﹣1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝

()A.9B.﹣9C.﹣3D.3【答案解析】答案为：B；解析：由题意设c＝xa＋yb，则(7，6，λ)＝x(2，1，﹣3)＋y(﹣1，2，3)，∴2x－y＝7，x＋2y＝6，－3x＋3y＝λ，解得λ＝﹣9.6.已知点A(2，﹣5，1)，B

(2，﹣2，4)，C(1，﹣4，1)，则向量AB→与AC→的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案解析】答案为：C解析：由已知得AB→＝(0，3，3)，AC→＝(﹣1，1，0)，∴cos〈AB→，AC→〉＝AB→²AC→|AB→||AC→|＝332³2＝12.∴向量AB

→与AC→的夹角为60°.故选C.7.若a＝(1，λ，2)，b＝(2，﹣1，2)，且a与b的夹角的余弦值为89，则λ＝()A.2B.﹣2C.﹣2或255D.2或﹣255【答案解析】答案为：C；解析：因为a²b＝1³2＋λ³(﹣1)＋2³

2＝6﹣λ，又因为a²b＝|a||b|²cos〈a，b〉＝5＋λ2²9²89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6﹣λ.解得λ＝﹣2或255.8.设l1的方向向量为a＝(1，2，﹣2)，l2的方向向量为b＝(﹣2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝()A.1B.2C.0.5D.3【答案解析】答案为：B；

解析：l1⊥l2⇒a²b＝﹣2＋6﹣2m＝0⇒m＝2.9.若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，﹣3，5)，n2＝(﹣3，1，﹣4)，则()A.α∥βB.α⊥βC.α，β相交但不垂直D.以上均不正确【答案解析】答案为：C解析：∵n1²n2＝2³(﹣3)＋(﹣

3)³1＋5³(﹣4)＝﹣29≠0，∴n1与n2不垂直.又n1，n2不共线，∴α与β相交但不垂直.10.若平面α，β的法向量分别为(﹣1，2，4)，(x，﹣1，﹣2)，且α⊥β，则x的值为()A.10B.﹣10C.0.5D.﹣0.5【答

案解析】答案为：B；解析：∵α⊥β，∴α，β的法向量也垂直，即(﹣1，2，4)²(x，﹣1，﹣2)＝0.∴﹣x﹣2﹣8＝0.∴x＝﹣10.11.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角

的余弦值是()A.155B.22C.105D.0【答案解析】答案为：D；解析：如图以DA，DC，DD1所在直线方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D­xyz，则可得A1(1，0，2)，E(0，0，1)，G(0，2，1)，F(1，1，0)，所以A1E→

＝(﹣1，0，﹣1)，GF→＝(1，﹣1，﹣1).设异面直线A1E与GF所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈A1E→，GF→〉|＝0.12.若正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平

面B1DC所成角的正弦值为()A.35B.45C.34D.55【答案解析】答案为：B解析：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系.设各棱长为2，则有A(0，﹣1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(3，0，2).所以CD→＝(0，﹣1，2)，CB1→＝(3，﹣

1，2)，AD→＝(0，1，2).设n＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有n²CD→＝0，n²CB1→＝0⇒－y＋2z＝0，3x－y＋2z＝0⇒n＝(0，2，1).∴cos〈AD→，n〉＝AD→²n|AD→||n|＝45，即直线AD与

平面B1DC所成角的正弦值.故选B.二、填空题13.已知点A在x轴上，点B(1，2，0)，且|AB|＝5，则点A的坐标是____________.【答案解析】答案为：(0，0，0)或(2，0，0)14.已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且OA→＝a，OB→＝b，OC

→＝c，用a，b，c表示向量MN→＝.【答案解析】答案为：12(b＋c﹣a).解析：如图，MN→＝12(MB→＋MC→)＝12[(OB→﹣OM→)＋(OC→﹣OM→)]＝12(OB→＋OC→﹣2OM→)＝1

2(OB→＋OC→﹣OA→)＝12(b＋c﹣a).15.已知空间三点A(1，1，1)，B(﹣1，0，4)，C(2，﹣2，3)，则AB―→与CA―→的夹角θ的大小是_______.【答案解析】答案为：120°；解析：A

B―→＝(﹣2，﹣1，3)，CA―→＝(﹣1，3，﹣2)，cos〈AB―→，CA―→〉＝2113＋3214²14＝－714＝﹣12，∴θ＝〈AB―→，CA―→〉＝120°.16.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，

F分别是正方形A1B1C1D1和正方形ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角的大小是.【答案解析】答案为：45°；解析：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，C

(0，1，0)，E(12，12，1)，F(12，0，12)，EF→＝(0，﹣12，﹣12)，DC→＝(0，1，0)，∴cos〈EF→，DC→〉＝EF→²DC→|EF→||DC→|＝－22，∴〈EF→，DC→〉＝135°，∴异面直线EF和CD所成的角的大小是45°.三、解答题17.已知a＝

(1，﹣3，2)，b＝(﹣2，1，1)，点A(﹣3，﹣1，4)，B(﹣2，﹣2，2).(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE→⊥b？(O为原点)【答案解析】解：(1)2a＋b＝(2，﹣6

，4)＋(﹣2，1，1)＝(0，﹣5，5)，故|2a＋b|＝0252＋52＝52.(2)令AE→＝tAB→(t∈R)，所以OE→＝OA→＋AE→＝OA→＋tAB→＝(﹣3，﹣1，4)＋t(1，﹣1，﹣2)＝(﹣3＋t，﹣1﹣t，4﹣2t)，若OE→⊥b，则OE→²b＝0，所以﹣2

(﹣3＋t)＋(﹣1﹣t)＋(4﹣2t)＝0，解得t＝95.因此存在点E，使得OE→⊥b，此时E点的坐标为(﹣65，﹣145，25).18.若a＝(1，5，﹣1)，b＝(﹣2，3，5).分别求满足下列条件的实数k的值：(1)(ka＋b)∥(a﹣3b)；(2)(ka＋b)⊥(a﹣3b).【

答案解析】解：ka＋b＝(k﹣2，5k＋3，﹣k＋5)，a﹣3b＝(1＋3³2，5﹣3³3，﹣1﹣3³5)＝(7，﹣4，﹣16).(1)若(ka＋b)∥(a﹣3b)，则k－27＝5k＋3－4＝－k＋5－16，解得k＝﹣13.(2)若(ka＋b)⊥(

a﹣3b)，则(k﹣2)³7＋(5k＋3)³(﹣4)＋(﹣k＋5)³(﹣16)＝0，解得k＝1063.19.已知空间三点A(﹣2，0，2)，B(﹣1，1，2)，C(﹣3，0，4)，设a＝AB―→，b＝AC―→.(1)设|c|＝3，c∥BC―→，求c.

(2)若ka＋b与ka﹣2b互相垂直，求k.【答案解析】解：(1)∵BC―→＝(﹣2，﹣1，2)且c∥BC―→，∴设c＝λBC―→＝(﹣2λ，﹣λ，2λ).∴|c|＝22222＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，∴c＝(﹣2

，﹣1，2)或c＝(2，1，﹣2).(2)∵a＝AB―→＝(1，1，0)，b＝AC―→＝(﹣1，0，2)，∴ka＋b＝(k﹣1，k，2)，ka﹣2b＝(k＋2，k，﹣4).∵(ka＋b)⊥(ka﹣2b)，∴(ka＋b)²(ka﹣2

b)＝0.即(k﹣1，k，2)²(k＋2，k，﹣4)＝2k2＋k﹣10＝0.解得k＝2或k＝﹣52.20.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，2，3)，B(2，0，﹣1)，C(3，﹣2，0)，试求出平面ABC的一个法向量.【答案解析】解：设平面ABC的法向

量为n＝(x，y，z).∵A(1，2，3)，B(2，0，﹣1)，C(3，﹣2，0)，∴AB―→＝(1，﹣2，﹣4)，AC―→＝(2，﹣4，﹣3)，由题设得：n²AB―→＝0，n²AC―→＝0，即x－2y－4z＝0，2x－4y－3z＝0，解得x＝2y，z＝0，取y＝1，则x＝2

.故平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，0).21.如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD.应用空间向量方法解决下列问题.(1)求证：EF⊥B1C；(2)

求EF与C1G所成角的余弦值.【答案解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系.由已知有E(0,0,12)，F(12,12,0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，G(0,34,0

).(1)证明：EF―→＝(12,12,0)﹣(0,0,12)＝(12,12,﹣12)，B1C―→＝(0，1，0)﹣(1，1，1)＝(﹣1，0，﹣1)，EF―→²B1C―→＝12³(﹣1)＋12³0＋(﹣12)³(﹣1)＝0，得EF―→⊥B

1C―→，∴EF⊥B1C.(2)C1G―→＝(0,34,0)﹣(0，1，1)＝(0,﹣14,﹣1)，|C1G―→|＝02＋－14212＝174，由(1)得|EF―→|＝122＋122＋－

122＝32，且EF―→²C1G―→＝12³0＋12³－14＋－12³(﹣1)＝38，∴cos〈EF―→，C1G―→〉＝EF―→²C1G―→|EF―→|²|C1G―→|＝5117，∴异面直线EF与C1G

所成角的余弦值为5117.22.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E﹣ACD的

体积.【答案解析】解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO∥PB.又因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB

，AD，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB→的方向为x轴的正方向，|AP→|为单位长，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则D(0，3，0)，E(0,32,12)，AE→＝(0,32,12).设B(m，0，0)(m＞0)，则C(m，3，0)，AC→＝

(m，3，0).设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则n1²AC→＝0，n1²AE→＝0，即mx＋3y＝0，32y＋12z＝0，可取n1＝3m，－1，3.又n2＝(1，0，0)为平面DAE的法

向量，由题设得|cos〈n1，n2〉|＝12，即33＋4m2＝12，解得m＝32.因为E为PD的中点，所以三棱锥E﹣ACD的高为12.三棱锥E﹣ACD的体积V＝13³12³3³32³12＝38.23.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，E为PD上一点.(1)若PB//平

面EAC，试说明点P的位置并证明的结论；(2)若E为PD的中点，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB,∠ABC＝60°，求二面角C﹣AE﹣D的余弦值.【答案解析】解：