【文档说明】高考数学备考冲刺140分问题12三角形中的不等问题(含解析).doc，共(10)页，731.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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问题12三角形中的不等问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问.二、经验分享(1)求角的范围或三角函数值的范围要注意三角形内角和为π这一限制条件．(2)求边的范围可利用正弦定理把边转化为三角函数,利用

三角函数的有界性求范围．或根据角的范围利用余弦定理求边的范围,同时要注意两边之和大于第三边.(3)求周长或面积的范围与最值可转化为边与角的范围,也可利用基本不等式求范围．三、知识拓展(1)若△ABC是锐

角三角形,则,、(2)若△ABC中,若A是锐角,则222abc；若A是钝角,则222abc(3)△ABC中,若π3A,则,,=.(4)若,,abc成等差数列,则π3B.四、题型分析(一)角或角的三角函数的范围或最值【

例1】【湖北省2019届高三1月联考】在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tanA＝3tanB，进

而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【解析】∵acosB﹣bcosA，∴由正弦定理化简得：sinAcosB﹣sinBcosAsinCsin（A+B）sinAcosBcosAsinB，整理得：sinAcosB＝3cosAsinB，∴cosAcosB＞0，∴tanA＝3ta

nB；∴则222．∴可得的最小值为．故选D．【点评】求三角函数式的范围一般是先确定角的范围,利用利用三角函数的单调性及有界性求范围与最值,有时也利用基本不等式求最值.【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题,属于难题.求范围问题的常见方法有①配方法；②换元法

；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后,首先确定函数的定义域,然后准确地找出其单调区间,最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BECF表示为关于t的函数,再根据方法⑤解

答的.【小试牛刀】【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟】的内角所对的边分别为，已知，，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，由余弦定理，得，即.(三)周长的范围或最值【例3】【2018届江西省K12联

盟高三教育质量检测】在锐角ABC中,2c,.（1）若ABC的面积等于3,求a、b；（2）求ABC的周长的取值范围.【分析】（1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积,余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长,

利用三角函数的有界性求解即可．（2）由正弦定理得,,记ABC周长为l,则,又23AB,,ABC为锐角三角形,.【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题

途径.【小试牛刀】C中,角、、C所对的边为a、b、c,且．（1）求角；（2）若2a,求C的周长的最大值．【答案】（1）60A；（2）6．(四)面积的范围与最值【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ中,∠POQ＝90°,OP＝22,点M在

线段PQ上．(1)若5OM,求PM的长；(2)若点N在线段MQ上,且∠MON＝30°,问：当∠POM取何值时,△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．【分析】第(1)题利用余弦定理求MP的长,难度不大；第(2)题求△OMN的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM为自变量,因此,本题

的中点就是如何将△OMN的面积表示为∠POM的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM和ON的长表示为∠POM的函数是关键.【解析】(1)在OMP中,,5OM,22OP,由余弦定理得,,得,解得1MP或3MP．由31cosA,不

妨设外接圆的半径R＝3．则OA＝OB＝OC＝3．∵cos∠COD＝13ODOC,∴OD＝1,DC＝＝22．∴B(−22,0),C(22,0),O(0,1),A(m,n)．则△ABC外接圆的方程为：x2＋(y－1

)2＝9．(*)∵,∴(－m,1－n)＝x(−2−m,−n)＋y(2−m,−n),∴’∵1xy时,否则COxCB,由图可知是不可能的.∴可化为,代入(*)可得,化为18(x＋y)＝9＋32xy,【答案】D【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与

其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题.【小试牛刀】【山东省日照2019届高三上学期第二次检测】已知M是△ABC内的一点，且=4，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，则的最小值是

（）A．20B．18C．16D．9【答案】D【解析】因为=4，∠BAC=30°，所以。所以。因为△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，所以，所以。所以。当且仅当即时，上式取“=”号。所以，时，取最小值9.故选D。7．【2018届四川省绵阳市高三二诊】在ABC中,,,abc分别为所对

的边,若函数有极值点,则的最小值是（）A.0B.32C.32D.-1【答案】D【解析】,∴f′（x）=x2+2bx+（a2+c2-ac）,又∵函数有极值点,∴x2+2bx+（a2+c2-ac）=0有两个不同的根,∴△=（

2b）2-4（a2+c2-ac）＞0,即ac＞a2+c2-b2,即ac＞2accosB；即cosB＜12,故∠B的范围是（π3，），所以23B5,33,当时的最小值是-1,故选D8．【2018届河南省郑州市高中毕业班第一次质量检测】在ABC中,角,,ABC的对边分别为,,a

bc,且,若ABC的面积为3Sc,则ab的最小值为（）A.28B.36C.48D.56【答案】C9．【2018四川省成都市高三上学期12月月考】锐角．．ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,若3a,则22bc的取值范围是（）A.5,6B.3,5C.3,6D

.5,6【答案】A【解析】,由正弦定理可得,,化为,由余弦定理可得,为锐角,可得3A,3,a由正弦定理可得,可得,,可得,,可得,故选A.10.【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】在锐角ABC中

,若2AB,则ab的范围是（a,b分别为角A,B的对边长）（）A．(2,3)B．(3,2)C.(0,2)D．(2,2)【答案】A11.【2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联合考试】如图所示,在平面四边形ABCD中,1AB,

2BC,为ACD正三角形,则BCD面积的最大值为__________．【答案】31【解析】在△ABC中,设∠ACB=α,∠ACB=β,由余弦定理得：AC2=12+22−2×1×2cosα=5−4cosα,∵△ACD为正三

角形,∴CD2=5−4cosα,由正弦定理得：1ACsinβsinα,∴AC⋅sinβ=sinα,∴CD⋅sinβ=sinα,∵(CD⋅cosβ)2=CD2(1−sin2β)=CD2−sin2α=5−4c

osα−sin2α=(2−cosα)2∵β<∠BAC,∴β为锐角,CD⋅cosβ=2−cosα,∴,当56时,.17．【2019年上海市普陀区高考数学一模】在中，三个内角A，B，C所对的边依次为a，b，c，且．求的值；设，求的取值范围．18．【河南省开封市2019届高三

上学期第一次模拟】在中，内角，，所对的边分别为，，，且.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求面积的最大值.【解析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得：，∵，∴，∵∴，∵∴.（Ⅱ）的面积，由及余弦定理得，又，故，当且仅当时，等号成立.∴面积的最大值为.19．【四川省

绵阳市2019届高三第二次（1月)诊断】△ABC的内角A．B．C的对边分别为a，b，c，己知＝b（c－asinC）。（1)求角A的大小；(2）设b=c，N是△ABC所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若BN=4，CN=2，求四边形ABNC面积的最大值．（2）在△BCN中，由余弦定

理得BC2=NB2+NC2-2NBNCcosN，∵BN=4，CN=2，∴BC2=16+4-16cosN=20-16cosN．由（1）和b=c，得△ABC是等腰直角三角形，于是AB=AC=BC，∴四边形ABCD的面积S=S△ABC+

S△BCN=====．∴当N=时，S取最大值，即四边形ABCD的面积的最大值是．