【文档说明】宁夏中卫市2021届高三下学期第二次优秀生联考（5月）数学（理）（含答案）.doc，共(20)页，1.152 MB，由MTyang资料小铺上传

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号证考准姓名场考点考绝密★启用前2021年中卫市高考第二次优秀生联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅱ卷第22、23题为选考题，其他题为必考题。考生做答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答题前，考生先

将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上。2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚。3

、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卡面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小

题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案涂到答题卡上）1.已知全集UR，集合2230Axxx与21BxxkkZ，关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.设复数1iz

（i是虚数单位），则22zz（）A．1B．2C．3D．23.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A.8B.12C.16D.204.已知实数x，y满

足0≤≤33013yxyxx≥，则yxz2的最大值为（）A.5B.1C.2D.35.已知π2sinsintan142，则tan（）A．2B．2C．12D．126.已知函数(2)yfx的图象关于直线2x对称，在(0,)x时，()

fx单调递增．若ln34af，(2)ebf，1lncf（其中e为自然对数的底数，为圆周率），则,,abc的大小关系为（）A.acbB.abcC.cabD.cba7.已知直线2yxm

与圆221xy相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，且0OAOB，则实数m的取值范围是（）A．1010,,22B．10105,,522C．55,,22

D．5,58.设直三棱柱111ABCABC的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是31040，1AAACAB，120BAC°，则此直三棱柱的高是（）A．24B．4C．32D.229.设抛物线22ypx=（0p>）的焦点为F，过点F作倾斜角

为60的直线交抛物线于点A，B（点A位于x轴上方），O是坐标原点，记△AOF和△BOF的面积分别为1S，2S，则12SS=（）A.9B.4C.3D.210.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方

亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为1V，“刍甍”的体积为2V，若3112VV，台体的体积公式为''31SSSShV，其中'SS，分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为A.512

B.514C.512D.51411.已知2ba，且a，b的夹角为60，若向量1≤ac，则cb的取值范围是A.]44[，B.]3232[，C.]320[，D.]40[，12.已知函数sin1xxfxe，则下列结论不正确的是（）A.函数

fx在0,π上单调递减B.函数fx在π,0上有极小值C.方程12fx在π,0上只有一个实根D.方程1cosxxfxex在ππ,00,22上有两个实根二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共2

0分）13.已知函数xxxfesin)(，则曲线)(xfy在00，处的切线方程为.14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X(小时)近似服从正态分布，人均活动时间约40小

时.若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市n名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为.15.已知1F，2F分别为双曲线:C12222byax（0a>，0b>）的左、右焦点，过点2F作C的一条

渐近线的垂线，垂足为G.连接1FG，设直线1FG，2FG的斜率分别为1k，2k，若3121kk，则双曲线C的离心率为.16.钝角ABC的面积是4153，2AC，3BC，角A的平分线交BC于点D，则AD.三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，

证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）数列{}na的前n项和为ns，11a，对任意的*nN有0na，21nnas.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设数列{}nb，15-2b，*111,2()nnnnnNbba，求数列

{}nb的通项公式.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDE中，BC⊥平面ABE，DE∥BC，36DEBC，45BAC，60DAEABE.（Ⅰ）求证：AE⊥AC；（Ⅱ）设F为棱AD上一点，且AB∥平面CEF，求二面角DCFE的大小.19.（本小题满分12分）某中学组

织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由A，B两个系统组成，其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成.各个电子元件能够正常工作的概率均为p(01p)，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常

工作，否则就需要维修.（Ⅰ）当12p时，每个系统维修费用均为200元.设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望；（Ⅱ）当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测.从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个系

统？20．（本题满分12分）已知函数2ln1fxxax.（Ⅰ）若0fx，求实数a的值；（Ⅱ）求证：2222112111nnnnnen(*nN).21．（本小题满分12分）已知点D是圆22:(4)72Qxy上一

动点，点40，A，线段AD的垂直平分线交线段DQ于点B.（Ⅰ）求动点B的轨迹方程C；（Ⅱ）定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T与曲线C相似，且焦点在同一条直线上，曲线T经过点30E，，

30F，.过曲线C上任一点P作曲线T的切线，切点分别为MN，，这两条切线PMPN，分别与曲线C交于点GH，(异于点P)，证明：MNGH是一个定值，并求出这个定值.选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号

涂黑）22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cosm，曲线2C的极坐标方程为22123sin．（Ⅰ）求曲线1C的直角坐标方程和曲线2C的

参数方程；（Ⅱ）设曲线1C与曲线2C在第二象限的交点为A，曲线1C与x轴的交点为H，点(1,0)M，求AMH的周长l的最大值．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知0a，0b，0c，且2abc．（Ⅰ）求2abc的取值范围；（Ⅱ）求证：18941c

ba．答案：1.已知全集UR，集合2230Axxx与21BxxkkZ，关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】C2.设复数1iz（i是虚数单位），

则22zz（）A．1B．2C．3D．2【解析】2222(1i)2i+1i1i1izz，222zz.故选B.3.从4位男生，2位女生中选3人组队参加学习强国答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A.8B.12C.16D.20【解析】可分两种

情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有1224CC12（种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有2124CC4（种）．根据分类加法计数原理知，至少有l位女生人选的不同的选法有16种．

故选C.4.已知实数x，y满足0≤≤33013yxyxx≥，则yxz2的最大值为（）A.5B.1C.2D.3【解析】画出线性约束区域，所以当直线zxy2121经过0.3点时，目标函数yxz2有最大值，最大值为3.

故选D.5.已知π2sinsintan142，则tan（）A．2B．2C．12D．12【解析】由π2sinsintan142，得2sincos2sin12.因为2cos12sin2，所以

sincoscos，即sin2cos，所以tan2，故选A.6.已知函数(2)yfx的图象关于直线2x对称，在(0,)x时，()fx单调递增．若ln34af，(2)eb

f，1lncf（其中e为自然对数的底数，为圆周率），则,,abc的大小关系为（）A.acbB.abcC.cabD.cba【答案】A【解析】【分析】由函数(2)yfx的图象关于直线2x对称，可得()fx的图象关于y轴对称，结合单调性进行比较可得选项

.【详解】因为函数(2)yfx的图象关于直线2x对称，所以()fx的图象关于y轴对称，因为(0,)x时，()fx单调递增，所以(,0)x时，()fx单调递减；因为ln3ln01444,0221,lnlnln1eee，所以ac

b.故选：A.7.已知直线2yxm与圆221xy相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，且0OAOB，则实数m的取值范围是（）A．1010,,22B．10105,,522

C．55,,22D．5,5【答案】B【分析】A、B为直线与圆的交点,设1122,,,AxyBxy，联立可得：2221yxmxy，即225410xmxm，22

1620(1)0mm，解得：55m.则212122121(2)(2=++)42yyxmxmxxmxxm，则22222122214482105555mmmxxOymAOyBm

,解得：102m或102m.综上：10105,,522m故选：B.8.设直三棱柱111ABCABC的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是31040，1AAACAB，

120BAC°，则此直三棱柱的高是（）A．24B．4C．32D.22解析：设.21mAAACAB因为120BAC°，所以,30ACB于是rrm(230sin2是ABC外接圆的半径），.2mr又球心到平面ABC的距离等于侧棱长1AA的一半，所以球的半径为

.5)2(22mmm所以球的表面积为,31040)5(343m解得.2m于是直三棱柱的高是.2221mAA故选D.9.设抛物线22ypx=（0p>）的焦点为F，过点F作倾斜角为60的直线交抛物线于点A，B

（点A位于x轴上方），O是坐标原点，记△AOF和△BOF的面积分别为1S，2S，则12SS=（）A.9B.4C.3D.2【解析】由题意可知，直线AB的方程为）（23pxy，代入22ypx=，整理得0413522ppxx.设点A、B的坐标分别为()11xy，，()22xy，

，因为点A位于x轴上方，所以132xp=，216xp=，所以11112222232ypxSxSyxpx====，故选C.10.《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”.沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉

截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”.现记截面之间几何体体积为1V，“刍甍”的体积为2V，若3112VV，台体的体积公式为''31SSSShV，其中'SS，分别为台体的上、下底面的面积.则“方亭”的上、下底面边长之比为（）A.512

B.514C.512D.514【解析】设“方亭”的上底面边长为a,下底面边长为b,高为h，则2213Vhaabb，211122Vhaabhaab22222211112326VVVhaabbhaabhaabb∴222222

11221151613322aahbaabVabbVbaahaabbb．故选A．11.已知2ba，且a，b的夹角为60，若向量1≤ac，则cb的取值范围是（）A.]44[，B

.]3232[，C.]320[，D.]40[，【解析】解法1：取cOCbOBaOA，，，则点C在以A为圆心，半径为1的圆面上（包括边界），设向量cb，的夹角为，由图可知，取值范围为]2π6π[，；cos2cosccbcb，由于

cosc为向量c在向量b上的投影，且2≤≤cos0c.故cb的取值范围是]40[，.选D.解法2：不妨设20a，，31，b，cxy，.因为1≤ac，所以1222≤yx，设cos2rx，sinr

y，10≤≤r，R，所以6πsin22sin3cos23rrryxcb，由于16πsin1≤≤≤≤rrr，故40，cb.故选D.12.已知函数sin1xxfxe，则下列结论不正确的是（）A.函

数fx在0,π上单调递减B.函数fx在π,0上有极小值C.方程12fx在π,0上只有一个实根D.方程1cosxxfxex在ππ,00,22上有两个实根【答案】C【详解】

由题意，函数sin1xxfxe，可得cossin1xxxfxe，当0fx，即cossin10xx，所以32cos()42x，所以3322,444kxkkZ，解得22,2kxkkZ，当0k

时，02x；当1k时，322x，当0fx，即cossin10xx，所以32cos()42x，所以5322,444kxkkZ，解得222,2kxkkZ，当0k时，22x；当1k

时，302x，所以当(0,)x时，0,fxfx单调递减，所以A正确；又因为当(,)2x时，0fx，当(,0)2x时，0fx，所以fx在2x出取得极小值，所以B正确；因为,()0,(

0)12feff，所以12fx在(,0)上不只有一个实数根，所以C不正确；因为方程1cosxxfxex，即sin11cosxxxxeex，即sincosxxxex，所以tanxexx，正切函数tanyx

在ππ,00,22为单调递增函数，又由函数exyx，可得2(1)xexyx，当π,02x和0,1x时，0y，当π1,2x时，0y，且当π,02x时，0xeyx，作出两函数的大致图象，如图所示，由

图象可得，当ππ,00,22x，函数tanyx与exyx的图象有两个交点，所以D正确.13.已知函数xxxfesin)(，则曲线)(xfy在00，处的切线方程为.【解析】因为x

xxxfesincos'，10'f，00f，所以切线方程为xy.14.某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动.据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长X(小时)近似服从正态分布，人均活动时间约40小时.若某高中

学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人.据此，可推测全市n名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为.【解析】由题意，40，则240~，NX，由3.0)50＜30(XP≤，可得35.0)50＞(XP，故累计时长超过50小时

的人数大约有n0.35人.15.已知1F，2F分别为双曲线:C12222byax（0a>，0b>）的左、右焦点，过点2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为G.连接1FG，设直线1FG，2FG的斜率分别为1k，2k，若3121

kk，则双曲线C的离心率为.【解析】已知焦点1F，2F的坐标分别为0,c，0,c，其中22cab=+.根据对称性，不妨设点G在渐近线byxa=上，则直线2FG的方程为cxbay，与byxa=联立

，得cabcaG，2，所以1222ababckaaccc==++，由3121kk，得3122bacaab，化简得222ca=，故2e.16.钝角ABC的面积是4153，2AC，3BC，角A的

平分线交BC于点D，则AD.【解析】由4153sin21CBCACSABC，得415sinC，若角C为锐角，则41cosC，此时10cos2222CBCACBCACAB，即10AB，由于ACBCAB＞＞，则ABC为

锐角三角形，不符合题意.故C为钝角，此时41cosC，16cos2222CBCACBCACAB，故4AB.在ACD中，由正弦定理得CADCDACDADsinsin，同理，在ABD中，BADBDBDAD

sinAsin，而在ABC中，ACDABBDACsinAsin，由于BADCAD，故21ABACBDCD，由于3BC,故1CD，所以6cos2222CCDACCDACAD，所以6

AD.17.数列{}na的前n项和为ns，11a，对任意的*nN有0na，21nnas.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设数列{}nb，15-2b，*111,2()nnnnnNbba，求数列{}nb的通项公式.【解析】（1）214nnas，2

n+11(+1)4nas-得到11124nnnnnaaaaa，所以1120nnnnaaaa因为10nnaa所以12nnaa所以数列{}na为等差数列，又因为11a所以21nan（2）因为*111,2()nnnnnNbba

所以11112122nnnnnanbb所以11232211()())()nnnnnbbbbbbbbbb（1322-12353522222nnnn所以12212n-12353252222nnnnb

④.所以④-得到1222222112222nnnnnb=2111-)212322112212nnnnn（18.如图，在四棱锥ABCDE中，BC⊥平面ABE，DE∥BC，36DEBC，45

BAC，60DAEABE.(1)求证：AE⊥AC；(2)设F为棱AD上一点，且AB∥平面CEF，求二面角DCFE的大小.(1)证明：∵DE∥BC，BC⊥平面ABE，∴DE⊥平面ABE.又∵AE平面A

BE，∴DE⊥AE.在RtADE中，由60DAE，6DE得，23AE.又∵45BAC，BC⊥AB，∴2ABBC.在ABE中，2222cosAEABBEABBEABE，解得4BE.∴222BEABAE，即ABAE.而BCAE，∴A

E⊥平面ABC.又∵AC平面ABC，∴AE⊥AC.„„„„„„„„„„5分(2)解：连接BD交CE于点G，连接FG.∵AB∥平面CEF，平面ABD平面CEFFG，∴AB∥FG，∴AFBGFDGD.在直角梯形BCDE中，BCGDEG

，∴13BGBCGDDE，∴13AFFD.如图，以E为坐标原点，EB，ED所在的直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，D(0，0，6)，C(4，0，2).又∵A(330，，)，∴13334442AFAD，，

，∴9333442F，，，∴7331442CF，，，404DC，，.令平面CDF的一个法向量为mxyz，，，由00CFmDCm，得733200.xyzxz，

取1x，得131m，，.同理，平面CEF的一个法向量为336n，，，∴cos0mnmnmn，，即二面角DCFE的大小为.2„„„„„„„„„12分19.某中学组织学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子产品.该电子产品由A，B两个系统组成，

其中A系统由3个电子元件组成，B系统由5个电子元件组成.各个电子元件能够正常工作的概率均为p(01p)，且每个电子元件能否正常工作相互独立.每个系统中有超过一半的电子元件正常工作，则该系统可以正常

工作，否则就需要维修.(1)当12p时，每个系统维修费用均为200元.设为该电子产品需要维修的总费用，求的分布列与数学期望；(2)当该电子产品出现故障时，需要对该电子产品A，B两个系统进行检测.从A，B两个系统能够正常工作概率的大小判断，应该优先检测哪个

系统？解：(1)A系统需要维修的概率为231311112222C，B系统需要维修的概率为23452155111111222222CC，设X为该电子产品需要维修的系统个数，则12

XB，，200X.221120001222kkkPkPXkCk，，，∴的分布列为∴120022002E.„„„„„„„„„„6分(2)A系统3个元件至少有2个正常工

作的概率为223323123APCppppp，B系统5个元件至少有3个正常工作的概率为2334455511BPCppCppp54361510ppp，则2543226151233121BAfpPPppppppp

.∵01p.令0fp，解得112p.所以，当112p时，B系统比A系统正常工作的概率大，当该产品出现故障时，优先检测A系统；当102p时，A系统比B系统正常工作的概率大，当该产品出现故

障时，优先检测B系统；当12p时，A系统与B系统正常工作的概率相等，当该产品出现故障时，A，B系统检测不分次序.„„„„„„„„„„„12分20.已知函数2ln1fxxax.(1)若0fx，求实数a的值；020040

0P141214(2)求证：2222112111nnnnnen(*nN).解：(1)2ln1fxxax，则22axfxaxx.①当0a

时，0fx，fx在0，上单调递增.∵10f，∴当1x时，10fxf，不符合题意，舍去；②当02a时，21a，由0fx得，20xa；由0fx得，2xa.∴fx在20a，上单调递

增，在2a，上单调递减.∵10f，∴当21xa，时，10fxf，不符合题意，舍去；③当2a时，21a，由0fx得，01x；由0fx得，1x.∴fx在0

1，上单调递增，在1，上单调递减.又∵10f，∴0fx成立.④当2a时，21a，由0fx得，20xa；由0fx得，2xa.∴fx在20a，上单调递增，在2a

，上单调递减.∵10f，∴当21xa，时，10fxf，不符合题意，舍去；综上得，2a.„„„„„„„„„„6分(2)由(1)知，当2a时，0fx在1，上成立，即ln1xx.令211kxn

(12kn，，，)，则22ln111kknn，∴2222112ln1ln1111111nkknnnnn

22221121112121112121nnnnnnnnnn，即2222112111ln21

nnnnnn，∴2222112111nnnnnen(*nN).„„„„„„„„„„12分21.已知点D是圆22:(4)72Qxy上一动点，点40，A，线段AD的垂直平分线交线段DQ于点B.(1)求动点B

的轨迹方程C；(2)定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线T与曲线C相似，且焦点在同一条直线上，曲线T经过点30E，，30F，.过曲线C上任一点P作曲线T的切线，切点分别为MN，，这两条切线PMPN，分别与曲线C交于点

GH，(异于点P)，证明：MNGH是一个定值，并求出这个定值.解：(1)由题意知7262BQBABQBDDQ，且628AQ，根据椭圆的定义知，交点B的轨迹是以点AQ，为焦点的椭圆，且262a，28c，∴22218162bac，∴曲线C的方程为221

182xy.„„„„„„„„„„4分(2)∵曲线T与曲线C相似，且它们的焦点在同一条直线上，曲线T经过点30E，，30F，，∴可设曲线T的方程为22182xy(0).将点30F，的坐标代入上式得，12

，∴曲线T的方程为2219xy.设P(00xy，)，M(11xy，)，G(22xy，).①当切线PG的斜率不存在时，切线PG的方程为3x，代入221182xy得1y，此时，PG(PH)

与曲线T相切，M为PG的中点，N为PH的中点，所以12MNGH是一个定值；同理可求，当切线PH的斜率不存在时，12MNGH也是一个定值.②当切线PG和PH的斜率都存在时，设切线PG的方程为ykxm，分别代入2219xy和221182xy，化简得

2229118990kxkmxm①，22291189180kxkmxm②.由题意知，方程①有两个相等的实数根1x；方程②有两个不相等的实数根02xx，，∴110221891kmxxxxk，∴021

2xxx，∴0202112222yykxxmkxmy,此时，M为PG的中点.同理可证，N为PH的中点，12MNGH是一个定值.综上可知，12MNGH是一个定值.„„„„„„„„„„12分22.选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中

，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的极坐标方程为cosm，曲线2C的极坐标方程为22123sin．（1）求曲线1C的直角坐标方程和曲线2C的参数方程；（2）设曲线1C与曲线2C在第二象限的交点为A，曲线1C与x轴的交点为H，点(1,0)M，求AMH的周长l

的最大值．【解答】解：（1）曲线1C的极坐标方程为cosm，转换为直角坐标方程为：xm．曲线2C的极坐标方程为22123sin．转换为直角坐标方程为223412xy，整理得22143xy，转换为参数方程为2cos(3sinxy为参数）．（2）曲线1C

与曲线2C在第二象限的交点为(2cos,3sin)A，(1,0)M，(2cos,0)H所以22||||||3sin12cos(2cos1)(3sin)3sin12cos2cos23sin()33ABClAMMHAH

当sin()13时，AMH的周长l的最大值为233．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知0a，0b，0c，且2abc．（1）求2abc的取值范围；（2）

求证：18941cba．解：（1）0a，0b，0c且2abc，20abc，02a，22217(2)()24abcaaa，2272(22)44abc„，2

abc的取值范围为7[,4)4．（2）0a，0b，0c，1494949()()14bacacbabcabcabacbc，494914222bacacbabacbc…14242923636，当且仅当12,,133abc时等号成立，又

2abc，18941cba．