【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步章末小结》同步练习（解析版）.doc，共(15)页，856.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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格致课堂第八章章末测试题一、选择题1．如图所示，,,,,,lABABlDCCl，则平面ABC与平面的交线是（）A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC【答案】C【解析】由题意知，Dl，

l，∴D，又∵DAB，∴D平面ABC，即D在平面ABC与平面的交线上，又C平面ABC，C，∴点C在平面ABC与平面的交线上，∴平面ABC平面CD，故选C．2．正方体内切球与外接球体积之比为()A．1∶3B．1∶

3C．1∶33D．1∶9【答案】C【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为12a，它的外接球的半径为32a，故所求体积之比为1︰33.故答案为C．3．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为

球O的直径，且2SC，则此棱锥的体积为（）A．26B．36C．23D．22【答案】A【解析】根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，格致课堂延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1=233323

，∴116133OO，∴高SD=2OO1=263，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=34，∴132623436SABCV三棱锥．4．设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若mn，//n

，则mB．若//m，，则mC．若m，n，n，则mD．若mn，n，，则m【答案】C【解析】对于A，当m为内与n垂直的直线时，不满足m，A错误；对于B，设l，则当m为内与l平行的直

线时，//m，但m，B错误；对于C，由m，n知：//mn，又n，m，C正确；对于D，设l，则当m为内与l平行的直线时，//m，D错误.故选：C.5．已知直线a，b分别在两个不同的平面，内.则“

直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a和直线b相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立；格致课堂当“平面α和平面β相交”，则“直线a和直线b可以没有公共点”，

即必要性不成立.故选A.6．如图所示，在长方体1111ABCDABCD中，121ABBCAA，，则1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为（）A．63B．255C．155D．105【答案】D【解析】如图所示，在平面1111DCBA内过点1C作11BD的垂线，垂足为E，连

接BE.1111111111CEBDCEBBCEBDBBB平面11BDDB，1CBE的正弦值即为所求.221215BC，122222CE，111210sin55CECBEBC.7．已知正四棱柱1111ABCD

ABCD中，12AAAB，E为1AA中点，则异面直线BE与1CD所成角的余弦值为()A．1010B．15C．31010D．35【答案】C【解析】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于090,故选C.取DD1中点F，则1FCD为所求角,2221251310cos102

25FCD，选C.格致课堂8．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】C【解析】因为AD是等腰直角△ABC斜

边BC上的高，所以2,902BDDCACADCADB，因此BDC‘是二面角的平面角，∠B′AC＝60°．所以BAC‘是等边三角形，因此=BCABAC‘，在BDC‘中=90BDC‘.故选

：C二、多选题9．下列命题为真命题的是（）A．若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C．垂直于同一条直线的两条直线相互平行D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它

们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直【答案】BD【解析】A错，两个平面相交时，也有无数个公共点；B选项就是面面垂直的判定定理，正确；C错，比如a，b，c，显然有abrr，ac，但b与c也可能相交；D利用反证法证明，假设这条直线与另一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的

任何一条直线，当然就垂直于这条交线，与已知条件矛盾，所以原说法正确.故选：BD.10．如图,在棱长均相等的四棱锥PABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,有下列结论正确的有：()格致课堂A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直线PD与直线MN所成角

的大小为90D．ONPB【答案】ABD【解析】选项A,连接BD，显然O为BD的中点，又N为PB的中点，所以PD∥ON,由线面平行的判定定理可得，PD∥平面OMN；选项B,由M,N分别为侧棱PA,PB的中

点,得MN∥AB,又底面为正方形，所以MN∥CD，由线面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又选项A得PD∥平面OMN，由面面平行的判定定理可得，平面PCD∥平面OMN；选项C,因为MN∥CD，所以∠PDC为直线PD与直线MN所成的角，又因为所有棱长

都相等，所以∠PDC=60，故直线PD与直线MN所成角的大小为60；选项D，因底面为正方形，所以222ABADBD,又所有棱长都相等，所以222PBPDBD,故PBPD,又PD∥ON，所以ONPB，故ABD均正确.11、正方

体1111ABCDABCD的棱长为2,,,EFG分别为11,,BCCCBB的中点,则（）A．直线1DD与直线AF垂直B．直线1AG与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为92D．点C与点G到平面AEF的距离相等【答案】BC【解析】A．若1DDAF，又因为1DDAE且AE

AFA，所以1DD平面AEF，所以1DDEF，所以1CCEF，显然不成立，故结论错误；B．如图所示，取11BC的中点Q，连接1,AQGQ，格致课堂由条件可知：//GQEF，1//AQAE，且1,CQAQQEFAEE，所以平面1//AGQ平面AEF，又因为1AG平面1AGQ，所

以1//AG平面AEF，故结论正确；C．如图所示，连接11,DFDA，延长1,DFAE交于点S，因为,EF为1,CCBC的中点，所以1//EFAD，所以1,,,AEFD四点共面，所以截面即为梯形1AEFD，又因为2214225DSAS，122AD，所以1

221222225622ADSS，所以139=6=42AEFDS梯形，故结论正确；D．记点C与点G到平面AEF的距离分别为12,hh，因为11111123323CAEFAEFACEFVShV

，又因为21112223323GAEFAEFAGEFVShV，所以12hh，故结论错误.故选：BC.格致课堂12．正方体1111ABCDABCD的棱长为2，已知平面1AC，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（）A．截面形状可能为

正三角形B．截面形状可能为正方形C．截面形状可能为正六访形D．截面面积最大值为33【答案】ACD【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立，如图设截面为多边形GMEFNH，设1AGx，则01x，则2,2(2),22,GHMENFxMGHNEFxMN所以多边形G

MEFNH的面积为两个等腰梯形的面积和，所以1211()()22SGHMNhMNEFh因为22221222133[2(2)]()(22)(2)(2)2222xhxxxx，22222(2)223(2)[]22xxhx，所以2

21313(222)(2)[222(2)]2222Sxxxx232323xx当1x时，max33S，故D成立。故选：ACD．三、填空题格致课堂13．一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是____．【答案】14【解析

】依题意可得，圆柱的高为1，底面周长为1，则底面半径为12，所以圆柱体积为2111()24.故答案为：14.14．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线

段EF的长度等于________．【答案】2【解析】如图:因为//EF平面1ABC,EF平面DABC,且平面1ACB平面ABCDAC,所以//EFAC,又因为E为AD的中点,所以F为CD的中点,所以12EFAC,因为正方体的棱长为2.所

以22AC,所以2EF.故答案为:2.格致课堂15．如图所示，在正方体1111ABCDABCD中，MN，分别是棱1AA和AB上的点，若1BMN是直角，则1CMN________.【答案】90°【解析】

因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，所以MN⊥MB1，因为B1C1是棱，所以MN⊥B1C1，所以MN⊥平面MB1C1，所以∠C1MN=90°故答案为90°1

6．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝b(b<a)．若Q是CD上的动点，则三棱锥Q-D1EF的体积为________．【答案】216ab【解析】VQD1EF＝VD1QEF＝13S△QEF·DD1＝1132

b×a×a＝16a2b.四、解答题17．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积．格致课堂【答案】表面积为845π，体积为485π.【解析】过C点

作CD⊥AB，垂足为D．△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥高的和为AB＝5，底面半径DC＝ACBCAB＝125，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝845π.V＝13π·DC2·AD＋13π·DC2·BD＝13π·DC2(AD＋BD

)＝485π.即所得旋转体的表面积为845π，体积为485π.18．如图是一个以111ABC为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为△ABC，已知11112ABBC，11190ABC，14AA，13BB，12CC，求：（1）该几何体的体积；（2

）截面△ABC的面积.【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）6.【解析】（Ⅰ）过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，格致课堂则该几何体的体积

V＝1112222--ABCABCCABBAVV＋＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6，（Ⅱ）在△ABC中，AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝2.则S△ABC＝×2×＝19．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）111ABCABC中，AC=9

，BC=12，AB=15，AA1=12，点D是AB的中点（1）求证：1ACBC；（2）求证：1//AC平面1CDB【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）直三棱柱111ABCABC1CC面ABC1CCAC又AC=9，BC=12，A

B=15222ABBCABACBC1CCBCCAC面11BBCC1ACBC（2）格致课堂取11AB的中点1D，连结11CD和1ADAD//11DB，且AD=11DB四边形11ACBD为平行四边形1AD∥1DB1AD面1CDB1CC∥1DD，且1CC=1DD四边形11

CCDD为平行四边形11CD∥CD11CD面1CDB1111ADCDD面11ACD∥面1CDB1//AC平面1CDB20．在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB，过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．（1）求

证：平面EFG∥平面ABC．（2）求证：BCSA．【答案】（1）见解析（2）见解析格致课堂【解析】[证明]（1）∵ASAB，AFSB，垂足为F，∴F是SB的中点，又因为E是SA的中点，∴EF∥AB，∵EF平面ABC，AB平面ABC，∴EF∥平

面ABC；同理EG∥平面ABC.又EFEGE，∴平面EFG∥平面ABC.（2）∵平面SAB平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AFSB，∴AF平面SBC，∵BC平面SBC，∴AFBC，又因为ABBC，AFABA

，AF、AB平面SAB，∴BC平面SAB，∵SA平面SAB，∴BCSA.21．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝33，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．(1)求

证：BC′⊥平面AC′D；(2)求点A到平面BC′D的距离．【答案】(1)详见解析(2)6【解析】(1)证明∵点'C在平面ABD上的射影O在AB上，∴'CO平面ABD，DA平面ABD，∴'CODA．又∵ADAB，'ABCOO，∴DA平面'ABC，又

'BC平面'ABC，∴'DABC．又∵BCCD，∴''BCCD．∵'DACDD，∴'BC平面'ACD．(2)如图所示，过A作'AECD，垂足为E，连接BE．格致课堂∵'BC平面'ACD，AE平面

'ACD，∴'BCAE，又'''BCCDC，∴AE⊥平面'BCD．故AE的长就是A点到平面'BCD的距离．∵ADAB，'DABC，'ABBCB，∴AD平面'ABC，又'AC平面'ABC，∴'DAAC．在'RtACB中，22''32ACABBC．在'RtBCD中，'33

CDCD．在'RtCAD中，由面积关系，得'3236'33ACADAECD．∴点A到平面'BCD的距离是6．22．如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．(1)求证：PA∥面BDE；平面PAC⊥平面BDE；(2)

若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．【答案】(1)详见解析(2)3618a【解析】(1)证明:连接OE，如图所示．∵,OE分别为,ACPC中点，∴OEPAP．∵OE面BDE，PA面BDE，∴PA面BDE．∵PO面ABCD，BD面ABCD，∴

POBD．格致课堂在正方形ABCD中，BDAC，又∵POACO，∴BD面PAC．又∵BD面BDE，∴面PAC面BDE．(2)取OC中点F，连接EF．∵E为PC中点，∴EF为POC的中位线，∴EFPO．又∵PO

面ABCD，∴EF面ABCD，由（1）可知BD面PAC，而OE面PAC，所以OEBD，∵OFBD，∴EOF为二面角EBDC的平面角，∴30EOF．在RtOEF中，112244OFOCACa，∴6tan3012EFOFa，∴626

OPEFa．∴231663618PABCDVaaa．