【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册(精练)7.3《复数的三角表示》（解析版）.doc，共(17)页，775.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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7.3复数的三角表示（精练）【题组一复数的三角表示】1．（2020·全国高一课时练习）将复数4cossin22i化成代数形式，正确的是（）A．4B．-4C．4

iD．4i【答案】D【解析】4cossin22i401i4i故选：D.2．（2020·全国高一课时练习）画出下列复数对应的向量，并把这些

复数表示成三角形式：（1）6；（2）1+i；（3）13i；（4）3122i；【答案】（1）6(cos0sin0)i,画向量见解析（2）2cossin44i,画向量见解析（3）552cossin33i,画向量见解析（4）55cossin66i,画

向量见解析【解析】（1）6对应的向量如答图中1OZ，6,cos1,sin0r，又[0,2)，0,66(cos0sin0)i.（2）1i对应的向量如答图中2OZ，222,cos,sin22r，又[0

,2),412cossin44ii.（3）13i对应的向量如答图中3OZ13132,cos,sin22r，又5[0,2),3，55132cossin33ii.（4）3122i对应的向

量如答图中4OZ，311,cos,sin22r，又5[0,2),6，3155cossin2266ii.3．（2020·全国高一课时练习）下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.（1）1cossin244i

；（2）1cossin233i；（3）155sincos21212i；（4）77cossin55i；（5）2cossin36i.【答案】（4）是三角形式；（1）

（2）（3）（5）不是三角形式.（1）177cossin244i；（2）144cossin233i（3）1cossin21212i；（5）2cossin44i.【解析】（1）中间是“-“号，不是三角形式.1coss

in244i177cossin244i；（2）括号前面是负数，不是三角形式，1cossin233i144cossin233i（3）

括号内前面是正弦，后面是余弦，不是三角形式，155sincos21212i1cossin21212i；（4）是三角形式．（5）括号内前后两个角不相等，不是三角形式

，2cossin36i2cossin44i4．（2020·全国高一课时练习）把下列复数表示成代数形式：（1）32cossin44i；（2）11118cossin66i；（3

）9(cossin)i（4）446cossin33i.【答案】（1）33i；（2）434i；（3）9；（4）333i.【解析】（1）原式22323322ii；（2）原式31843422ii

；（3）原式9(10)9i；（4）原式13633322ii.5．（2020·全国高一课时练习）将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）22i；（2）20；（3）33i.【答案】（1）7722cossin

44i；（2）20(cos0sin0)i；（3）5532cossin44i【解析】解：（1）∵222(2)22r，2cos2，2sin2，又[0,2)，∴74，∴77

2222cossin44ii；（2）∵22020r，cos1，sin0，又[0,2)，∴0，∴2020(cos0sin0)i；（3）∵22(3)(3)32r，2cos2，2sin2，又[0,2)

，∴54，∴553332cossin44ii．6．（2020·全国高一课时练习）将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：（1）-5i；（2）-10；（3）13i；（4）3i.【答案】（1）335cossin22i

；（2）10(cossin)；（3）222cossin33i；（4）11112cossin66i．【解析】（1）∵2(5)5r，cos0,sin1，又

0,2，∴32，∴3355cossin22ii；（2）∵2(10)10r，cos1，sin0，又0,2，∴，∴1010(cossin)i

；（3）∵22(1)(3)2r，1cos2，3sin2，又0,2，∴23，∴22132cossin33ii；（4）∵22(3)(1)2r，3cos2，1sin2，又0,2，∴116

，∴111132cossin66ii．7．（2020·全国高一课时练习）把下列复数表示成三角形式，并且画出与它们对应的向量：（1）4；（2）i；（3）232i；（4）1322i

.【答案】（1）44(cos0sin0)i；作图见解析（2）33cossin22ii；作图见解析（3）2324cossin66ii；作图见解析（4）1344cossin2233ii;作图见解析【解析

】（1）44(cos0sin0)i；（2）33cossin22ii；（3）2324cossin66ii；（4）1344cossin2233ii.134,,232,22iii分别对应向量1

234,,,OZOZOZOZ，如图所示.【题组二复数的辅角】1．（2020·全国高一课时练习）下列各角不是复数333i的辐角的是（）A．6B．116C．4D．356【答案】C【解析】∵22(33)(3)6r，3cos2，1sin2

，∴辐角主值116，故可以作为复数333i的辐角的是1126k，kZ.∴当1k时，11(2)66；当0k时，1111066；当2k时，1135466；故选：C

．2．（2020·全国高一课时练习）复数sin45icos45的辐角主值是（）A．45B．135C．225D．315【答案】D【解析】∵2222122r，2cos2，2sin2

，∴辐角主值315，故选：D．3．（2020·全国高一课时练习）复数cossin44zi的辐角主值是（）A．34B．4C．34D．4【答案】B【解析】由辐角主值的定义，知复数cossin44zi的辐角主值是4.故选：B.4．（2020·大

连市普兰店区第一中学高一月考）复数313izi，则argz_______.【答案】2【解析】3(3)(13)13(13)(13)iiiziii2223331(3)iiii413ii复数z在复平面内，对应点的坐标为0,1，点0

,1在y轴上，所以arg2z，故答案为：2.【题组三复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义】1．（2020·全国高一课时练习）cossincossin6633ii（）A．1B．-1C．iD．i【答案】C【解析

】cossincossin6633iicossin6363icossin22ii故选：C.2．（2020·全国高一课时练习）4cos60sin603cos150si

n150ii（）A．636iB．636iC．636iD．636i【答案】D【解析】4cos60sin603cos150sin150ii12cos60150sin

60150i12cos210sin210i311222i636i故选：D.3．（2020·全国高一课时练习）4cossin2cossin33ii

（）A．13iB．13iC．13iD．13i【答案】C【解析】4(cossin)2cossin33ii2cossin33i222

cossin33i13i故选：C.4．（2020·全国高一课时练习）22cos60isin60（）A．1322iB．1322iC．3122iD．3122i【答案】B【解析】

22cos60sin602cos0sin0ii2cos60sin60icos060sin060i13sin60cos6022ii.故选：B.5．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）3cossin3cossin33

66ii；（2）10cossin2cossin2244ii；（3）2210cossin5cossin3333ii；（4）3312cossin6cossin2266i

i.【答案】（1）9i；（2）1010i；（3）13i；（4）13i.【解析】（1）原式33cossin9cossin9363622iii

（2）原式102cossin2424i332225cossin254422ii1010i；（3）原式1022cossin2cossin53333

33ii1321322ii；（4）原式1233cossin62626i4413

2cossin2133322iii.6．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）8cossin2cossin6644i；（2）4455

2cossin4cossin3366ii；（3）32cos240sin240cos60sin602i；（4）3cos18sin182cos54sin545cos108sin108i

.【答案】（1）4(62)4(62)i（2）434i（3）63244i（4）30【解析】（1）8cossin2cossin6644ii5582cossin16cossi

n64641212ii6262164(62)4(62)44ii；（2）44552cossin4cossin3366ii4545131324coss

in8cossin363666ii31843422ii；（3）32cos240sin240cos60sin602ii362cos24060sin

24060cos300sin30022ii61363222244ii；（4）3cos18sin182cos54sin545cos108sin1

08iii32cos1854sin18545cos108sin108ii6cos72sin725cos108sin108ii65c

os72108sin7210830cos180sin180ii30(10)30i.另解（4）题还可以这样解：原式325cos1854108sin18541

08i30cos180sin180i30(10)i30.7．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）772212cossin6cossin4433ii；（2）

3cos150sin1502cos225sin225ii；（3）2cossin44i；（4）2cos120sin120ii.【答案】（1）266222i（2）3

33344i（3）22i（4）3144i【解析】（1）772212cossin6cossin4433ii72722cossin4343i

13132cossin2cossin12121212ii2662266224422ii；（2）

3cos150sin1502cos225sin225ii3cos150225sin1502252i3362623333cos75sin75444422iii

；（3）2cossin44i2(cos0sin0)cossin44ii2cos0sin044i

222cossin2224422iii；（4）2cos120sin120ii3322cossin2cossin2233ii13232155cossincossin2232326

6ii1313122244ii.另解第（3）题还可以这样解：原式22222i2222222222222iii

22i.第（4）题还可以这样解：原式132222ii(13)(13)(13)iiii3144i.【题组四综合运用】1．（多选）（2020·山东济南市·高一期末）任何一个复数zabi（

其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成：cossinzri的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：ncossincoissnnnzinrirnnN，我们称这个结论为棣莫弗定理.根

据以上信息，下列说法正确的是（）A．22zzB．当1r，3时，31zC．当1r，3时，1322ziD．当1r，4时，若n为偶数，则复数nz为纯虚数【答案】AC【解析】对于A选项，cossinzri

，则22cos2sin2zri，可得222cos2sin2zrir，222cossinzrir，A选项正确；对于B选项，当1r，3时，33cossincos3sin3cossin1ziii，B选项错误；对

于C选项，当1r，3时，13cossin3322zii，则1322zi，C选项正确；对于D选项，cossincossincossin44nnnnzinini，取4n，则n为偶数，则4cossin1zi

不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.2．（2020·全国高一）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式ixecosisinxx，这个公式在复变论中占有非常重要的地

位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①iπe10；②201913i122；③ii2coseexxx；④ii2sineexxx.其中所有正确结论的编号是（）A．①②③B．②④C．①②D．①③【答案】A【解析】因为i

πcosin1esi，故iπe10，故①正确.i-icossin,cossineecossinxxxixxixxix，所以iiee2cosxxx，iiee2sinxxix，故③正确，④错误.

而2019201913icosisin22332019i673i3eecos673isin6731.故②正确，故选：A．3．（2020·河南郑州市·高二期末（文））欧拉公式coss

iniei把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.若复数izei，则||z（）.A．22B．1C．2D．22【答案】C【解析】由题意得，cossin1izeiiii

，所以22||(1)(1)2z，故选：C4．（2020·全国高一课时练习）把复数1z与2z对应的向量OA，OB分别按逆时针方向旋转4和53π后，与向量OM重合且模相等，已知213zi，求复数1z的代数式和它的辐

角主值.【答案】22i,34【解析】由复数乘法的几何意义得1255cossincossin4433zizi,又244132cossin33zii

144552cossincossin3333cossin44iizi2cos3sin344i22i

1z的辐角主值为345．（2020·全国高一课时练习）已知(1,1)OP，将OP按逆时针方向旋转3得到OZ，则Z点对应的复数为________.【答案】131322i【解析】由题意得，P点对应的复数为1i，由复数乘法的几何意义得：1313(1)c

ossin3322ziii，故填131322i.故答案为：131322i.6．（2020·全国高一课时练习）若复数z满足111,arg23zzzz，则z的代数形式是z_____________.【答案】313i【解析】

设01zzz，则001,arg23zz，∴0113cossin23344zi，∴11344ziz，解得313zi.故答案为：313i.7.（2020·江苏省丰县中学高二期中）一般的，复数都可以表示为cossin

zri的形式，这也叫做复数的三角表示，17世纪的法国数学家棣莫弗结合复数的三角表示发现并证明了这样一个关系：如果1111cossinzri，2222cossinzri，

那么12121212cossinzzrri，这也称为棣莫弗定理.结合以上定理计算：10cossin2cossin2244ii______.（结果表示为abi，,abR的形式）【答案】1010i

【解析】10cossin2cossin2244ii33102cossin20cossin242444ii2220101022ii

．故答案为：1010i．