【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册(精练)6.3.2《平面向量数量积的坐标表示》（解析版）.doc，共(21)页，1.406 MB，由MTyang资料小铺上传

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6.3.2平面向量数量积的坐标表示（精练）【题组一数量积的坐标运算】1．（2021·深圳市龙岗区）已知向量1,3a，5,4b，则ab（）A．15B．16C．17D．18【答案】C【解析】因为向量

1,3a，5,4b，所以153417ab，故选：C2．（2020·广东高一期末）若(1,2),(2,3)ab则(2b)ba（）A．-5B．5C．-6D．6【答案】A【解析】因为(1,2),(2,3)ab，所以(2b)ba(4,1

)(2,3)42135.故选：A.3．（2020·湖北高一期末）已知向量4,5a，22,11ab，则向量a在向量b方向上的投影为（）A．1B．22C．22D．-1【答案】B【解析】由题意，4,5a，22

,11ab，可得26,6b，则3,3br，所以43353ab，223332b，所以向量a在向量b方向上的投影为32232abb.故选：B.4．（2020·湖北武汉市·高一期末）已知1,2A，4,1B，3

,2C，则cosBAC（）A．210B．210C．22D．22【答案】D【解析】由已知得3,1ABuuur，2,4AC，∴222232142coscos,23124ABACBACABACABAC.故选：D

.5．（2020·安徽合肥市·高一期末）已知点1,1A，1,2B，2,1C，3,4D，则向量CD在BA方向上的投影是（）A．35B．322C．35D．322【答案】A【解析】由题可知，(1,1)A，(1,2)B，(2,1)C

，(3,4)D，所以(2,1)BA，(5,5)CD，则向量CD在BA方向上的投影是2515355||BACDBA.故选：A.6．（2020·四川内江市）已知向量(1,2)a，(,4)bx，(2,)cy，若//abrr，ac，

则()bac（）A．14B．-14C．10D．6【答案】C【解析】向量(1,2)a，(,4)bx，(2,)cy，//ab，可得142x，解得2x，(2,4)b，ac，可得1220y，解得1y，(1,3)a

c，则()21210bac．故选：C．7．（2020·山东聊城市·高一期末）向量(1,3)ar，(3,1)b，则向量ab与ab的夹角为（）A．12B．6C．3D．2【答案】D【解

析】设为ab与ab的夹角，(1,3)a，(3,1)b，则1+31+3ab（，），1331ab（-，-）||=62ab，||62ab又0cos04abababab，0

,2.故选：D.8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知向量(1,2)a，(,4)abm，若ab，则m（）A．3B．2C．2D．3【答案】A【解析】(,4)1,

2(1,2)babamm，因为ab，所以112230abmm，解得：3m，故选：A9．（2020·全国高一课时练习）设(3,4)a，ab且b在x轴上的投影为2，则b（）A．8(2,)3B

．3(2,)2C．8(2,)3D．3(2,)2【答案】B【解析】由题意，向量b在x轴上的投影为2，可设(2,)byr，因为ab，可得2340aby，解得32y，所以3(2,)2b.故选：B.10．（2021·江苏高一）已知平

面向量(1,)am，0,2b，若(3)bamb，则实数m（）A．1B．0C．1D．2【答案】B【解析】因为(3)bamb，所以(3)0bamb，即23abmb，又(1,)am，0,2b，故324mm

，解得0m.故选：B.11．（2020·全国高一）已知向量126,,3,2ee，若12,ee为钝角，则的范围是（）A．(,9)B．(9,)C．(,4)(4,9)D．(,4)(4,9)【答案

】D【解析】12,ee为钝角，12·0ee且12,ee不共线，18201230，解得9且4，的范围是(，4)(4，9).故选：D.12．（多选）（2021·江苏高一）已知向量,3am，2,4b，若ab

a，则（）A．1m或3mB．1m或3mC．2ab或10abrrD．2ab或26ab【答案】AC【解析】因为向量,3am，2,4b，所以2,1bmarr，若aba，则2130mm，即2230mm，解得1m

或3m，故A正确，B错；当3m时，22212bma；当1m时，222110abm；故C正确，D错.故选：AC.13．（多选）（2020·全国高一）设向量

2,0a，1,1br，则（）A．abrrB．//abbC．abbD．a与b的夹角为π4【答案】CD【解析】因为2,0a，1,1br，所以2,2ab，所以abrr，故A错误；因为2,0a，1,1br，所以=1,1ab

rr，又1,1br，则1111，所以ab与b不平行，故B错误；又110abbrrr，故C正确；又22cos,222abababrrrrrr，又a与b的夹角范围是0,，所以a与

b的夹角为π4，故D正确.故选：CD.14．（2020·全国高一）已知向量1,2ar，4,3b，22c.若a与bc垂直，则向量a与c的夹角的余弦值是______.【答案】1010【解析】由已知14(2)32ab

，5ar，∵a与bc垂直，∴()0abcabac，∴2acab，∴210cos10522acacac以．故答案为：1010．15．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）已知向量

1,2ar，与向量,1bxr（1）当x为何值时，ab；（2）当3x为何值时，求向量a与向量b的夹角；（3）求2ba的最小值以及取得最小值时向量b的坐标．【答案】（1）2x；（2）4；（3）最小值3，(2,

1)b．【解析】（1）20abx，2x，所以2x时，ab；（2）由题意(3,1)b，322cos,2510ababab，所以,4ab；（3）由已知2(2,3)bax，所以22(2)9bax

，所以2x时，2ba取得最小值3，此时(2,1)b．【题组二巧建坐标解数量积】1．（2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中）如图，在矩形ABCD中，4AB，3AD，点P为CD的中点，点Q在BC上，且2BQ．（1）求APAQ；（2

）若ACAPAQ（，R），求的值.【答案】（1）14；（2）23.【解析】如图，分别以边AB，AD所在的直线为x轴，y轴，点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则0,0A，2,3P，4,0B，4

,3C，4,2Q.（1）∵2,3AP，4,2AQ，∴243214APAQ.（2）∵4,3AC，2,3AP，4,2AQ，由ACAPAQ，得4,324,32，∴244,323,

解得1,23,4∴23.2．（2020·江西高一期末）如图，在ABC中，已知2AB，4AC，60BAC，D为线段BC中点，E为线段AD中点.（1）求ADBC的值；（2）求EB，EC夹角的余弦值.【答案】（1）6；（2）5217

.【解析】（1）依题意可知ABC为直角三角形，23BC，如图建立坐标系：则(0,0)B，(0,2)A，(23,0)C，因为D为BC的中点，故()3,0D，∴3,2AD，23,0BC，∴3236ADBC.（2）由E为线段AD中点可知3,12E

，∴3,12EB，33,12EC，∴cos,||||EBECEBECEBEC222233311522217333(1)(1)22

.3．（2020·河北邢台市·高一期中）如图，扇形OAB的圆心角为90，2OA，点M为线段OA的中点，点N为弧AB上任意一点.（1）若30BON，试用向量OA，OB表示向量ON；（2）求MBON的取值范围.【答案】（1）1322ONOAOB；（2）2,4.

【解析】（1）如图，以O为坐标原点，建立直角坐标系xOy，则0,0O，0,2A，2,0B，3,1N，所以0,2OA，2,0OB，3,1ON.设ONxOAyOB，则2123xy，解得1232xy，所以1322ONOAOB

.（2）设0θ90BON，则2cos,2sinN，0,1M，则2,1MB，2cos,2sinON，所以4cos2sin25cosMBON，其中25co

s5，5sin5（为锐角）.因为090，所以90，则max25coscos5，min5coscos90sin5，所以MBON

的取值范围为2,4.【题组三数量积与三角函数综合运用】1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知向量(4sin,1cos),(1,2)ab,若2ab,则22sincos2s

incos()A．1B．1C．27D．12【答案】A【解析】由2ab，得4sin2(1cos)2，整理得1tan2，所以2221sincostan2112sincos2tan112

，故选：A.2．（2020·辽宁高一期末）已知向量1,cos2ax，sin2,3bx，将函数fxab的图象沿x轴向左平移0个单位后，得到的图象关于原点对称，则的最小

值为（）A．12B．6C．512D．3【答案】D【解析】sin23cos22sin23fxabxxx，将函数fx的图象向左平移个单位，得到2sin22sin2233yxx

，该函数的图象关于原点对称，该函数是奇函数，23k，kZ，62k，kZ，又0，min3.故选：D.3．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）

已知是锐角，3(,sin)2a，1(,2cos)3b，且ab，则为（）A．15°B．45°C．75°D．15°或75°【答案】D【解析】ab，3(,sin)2a，1(,2cos)3b，112sinco

s0sin222abrr，又0,90o，则()20,180Î，230o或150，解得15°或75°.故选：D4．（2020·辽宁大连市·）已知向量1,tan3a，1,cosb，若ab，则3cos2

（）A．13B．13C．223D．223【答案】A【解析】若ab，则1tancos03ab，即1sin3，所以31cossin23.故选：A5．（2020·陕西宝鸡市·

高一期末）已知向量(sin70,cos70)a，(cos80,sin80)b，则ab的值为（）A．1B．3C．2D．4【答案】B【解析】(sin70,cos70)a，(cos80,sin80)b22sin70(cos70)1a，22cos80(sin80)1b

，1sin70cos80cos70sin80sin1502ab?+==，22223ababaabb.故选：B.6．（2020·泰兴市第二高级中学高一期末）已知(cos,sin)a，(cos,sin)b，其中0.（1）求向量ab

与ab所成的夹角；（2）若kab与akb的模相等，求2的值（k为非零的常数）.【答案】（1）90；（2）4.【解析】（1）由已知得：1abrr，则：22·0ababab

，因此：()()abab，因此，向量ab与ab所成的夹角为90；（2）由(cos,sin)a，(cos,sin)b，可得coscos,sinsinkabkk，

coscos,sinsinakbkk，22(coscos)(sinsin)kabkk，22(coscos)(sinsin)akbkk，2222(coscos)(sinsin)(coscos)(sinsin)kkkk

，整理可得：222cos112coskkkk，即：4cos0k，0k，cos0，即cos0，00，因此：2，即：

24.7．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知向量2sin,1a，1,cosb.（1）若角的终边过点3,4，求ab的值；（2）//ab，且角为锐角，求角的大小；【答案】（1）115；（2）4．【解析】（1）角

的终边过点3,4，点(3,4)到原点距离为22345r，∴4sin5=，3cos5，∴43112sincos2555ab；（2）∵//ab，∴2sincos10，sin21，又为锐角，∴22，∴4．

8．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）在平面直角坐标系xoy中，已知向量22(,)22m，(sin,cos)nxx，(0,)2x．（1）若mn，求tanx的值；（2）若m与n的夹角为3，求x的值．【答案】（1）t

an1x（2）512．【解析】（1）∵mn，∴0mn，故22sincos022xx，∴tan1x．（2）∵m与n的夹角为3，∴22sincos122cos,112xxmnmnmn

||||，故1sin()42x，又(0,)2x，∴(,)444x，46x，即512x．故x的值为512．9．（2020·广西桂林市·高一期末）已知向量(sin,1)mx，

向量13cos,2nx，函数()()fxmnm.（1）求fx的最小正周期T及其图象的对称轴的方程；（2）若方程0fxt在,42上有解，求实数t的取值范围.【答案】（1），23k

x，kz；（2）3,22.【解析】（1）∵(sin,1)mx，13cos,2nx，∴1sin3cos,2mnxx，可得1()()sin(sin3cos)2fxm

nmxxx21sin3sincos2xxx∵21sin(1cos2)2xx，1sincossin22xxx∴131()(1cos2)sin2sin212226fxxxx因此，fx的最

小正周期22T.∵262xk，kz，∴对称轴方程为23kx，kz.（2）∵,42x，可得52,636x，∴1sin2,162x

，得()sin216fxx的值域为3,22.∵方程()0fxt在,42x上有解，∴fxt在,42x上有解，即得实数t的取值范围为

3,22.10．（2020·甘肃白银市·高一期末）设向量3cos,2sina．（1）当43时，求ar的值：（2）若3,1b，且//abrr，求22cos122sin4的值．【答案】（

1）212；（2）23．【解析】（1）43，所以4433cos,2sin,3332a，所以22321322a；（2）//abrr，则3cos32sin0

，所以1tan2，故22cos1cos122sincostan132sin4．11．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）已知向量2sin,cos

amxx，sincos,4sinbxxmx，,02x.（1）若//ab，tan2x，求实数m的值；（2）记fxab，若1fx恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）28；（2）(,21]

.【解析】（1）∵//ab，∴228sincos(sincos)mxxxx，整理得：228tantan1mxx∵tan2x，2321m，解得：28m（2）∵fxab，2sin,cosamxx，sincos,4sinbxxmx

，∴()2sin(sincos)4sincosfxmxxxxx22sin2sincosmxmxx(1cos2)sin2mxmx(sin2cos2)mmxx2sin(2)4mmx∵(,0)2x，∴32444x，∴21sin(2)42x

，∴012sin(2)124x，若()2sin(2)14fxmmx恒成立，则112sin(2)4mx恒成立，又∵11211212sin(2)4x，∴21m，故实数m的取值

范围为(,21].12．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（理））已知sin,cosaxxr，sin,2sincosbxxx，0,4，若2fxab其图像关

于点,08M对称（1）求fx的解析式；（2）求fx在0,2上的单调区间；（3）当ab时，求x的值.【答案】（1）22sin24fxx；（2）fx在0,2上的

增区间是30,8，减区间是3,82；（3）28kx，kZ.【解析】（1）sin,cosaxxr，sin,2sincosbxxx∴2222sin4sincos2cosfxabxxxx2sin22cos2xx

22sin24x∵fx的图象关于点,08M对称∴284k，kZ即41k，kZ∵0,4∴1∴22sin24fxx.（2）

22sin24fxx的单调递增区间为：322224288kxkkZkxkkZ；单调递减区间为：33722224288kxkkZkxkkZ

；所以fx在0,2上的增区间是30,8，减区间是3,82；（3）∵ab∴222sin204fxabx即24xk，kZ解得28kx

，kZ13．（2020·广东高一期末）已知向量3(1,2cos),3sin,0,23axbxx.（1）若//ab，求tan2x的值；（2）若f（x）＝a•b

，则函数f（x）的值域．【答案】（1）33,（2）(3,6]【解析】（1）因为//ab，所以323sincos02xx，所以1sin22x，因为03x，所以2023x，所以26x，所以3tan2tan63x.（2）()fxab

33sin2cos3sin3cos2xxxx6sin()4x，因为03x，所以74412x，所以2sin()(,1]42x，所以()(3,6]fx.14．（202

1·广东湛江）已知向量33cossin22xxa，，cossin()22xxb，，且0.2x，（1）求ab及ab的值；（2）若·2fxabab的最小值是32，求实数的值．【答案】（1）

·cos2abx，2cosabx，（2）12【解析】（1）因为向量33cossin22xxa，，cossin()22xxb，，所以33·coscossinsincos22222xxxxabx，33coscos,s

insin2222xxxxab，所以2233(coscos)(sinsin)2222xxxxab22223333cos2coscoscossin2sinsinsin22222222xxxxxxxx22cos

2x24cosx因为02x，，所以cos0x，所以2cosabx，（2）由（1）可得2·2cos24cos2cos4cos1fxababxxxx，令costx，则[0,1]t，令2()

241gttt，其图像的对称轴为直线44t，则问题转化为当为何值时，函数2()241gttt在[0,1]t上有最小值32，①当0时，则函数()gt在[0,1]上递增，最小值为3(0)12g，不合题意，舍去，②0

1时，则函数()gt在[0,]上递减，在[,1]上递增，则最小值为23()212g，解得12或12（舍去），③当1时，则函数()gt在[0,1]上递减，最小值为3(1)142g，解得58，不合题意，舍去，综上，

12【题组四数量积与几何综合运用】1．（2020·全国高一课时练习）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是5,7、3,5、3,4，则第四个顶点的坐标不可能是（）A．1,8B．5,2C．11,6D．5,2【答案】D【解析】设点5,7

A、3,5B、3,4C，设第四个顶点为,Dxy，分以下三种情况讨论：①若四边形ABDC为平行四边形，则ACBDuuuruuur，即2,33,5xy，即3253xy

，解得52xy，此时，点D的坐标为5,2；②若四边形ABCD是平行四边形，则ADBC，则5,76,1xy，即5671xy，解得116xy，此时，点D的

坐标为11,6；③若四边形ACBD为平行四边形，则ADCB，即5,76,1xy，即5671xy，解得18xy，此时，点D的坐标为1,8.综上所述，

第四个顶点的坐标为11,6或5,2或1,8，所以不可能是5,2，故选：D.2．（2020·辽宁）已知向量．（1）若为直角三角形，且为直角，求实数的值．（2）若点能构成三角形，求实数应满足的条件．【答案】（1）；（2

）．【解析】∵即：（2）若点能构成三角形，则不共线∴∴实数应满足的条件是3．（2021·重庆市）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OAOBOCxy,(4,1)OD．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求

,xy的值；（2）若ABC为等腰直角三角形，且B为直角，求,xy的值．【答案】（1）2,5xy；（2）0{3xy或2{3xy．【解析】（1）(1,5)AD，(1,)BCxy，由ADBC得x=-2,y=-5．

（2）(3,1),AB(1,)BCxy，若B为直角，则ABBC，∴3(1)0xy，又ABBC，∴22(1)10xy，再由3(1)yx，解得0{3xy或2{3xy

．4．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面上三点,,ABC，2,3BCk，2,4AC.（1）若BCAC，求实数k的值.（2）若ABC是以BC为斜边的直角三角形，求实数k的值.【答案】（1）211k（2）2k【解析】（1）由于BCAC，则22222324

k，解得211k.（2）,1ABACBCk由题意得A为直角，则•0ABAC.即240k，故2k.5．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（文））已知向量OA=3,4,OB=6,3,OC=

5,3mm,O为坐标原点.（1）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值；（2）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件.【答案】（1）74m；（2）12m【解析】（1）因为OA=3,4，OB=6,

3，OC=5,3mm，所以(3,1)ABOBOA，(2,1)ACOCOAmm，若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则ABAC，∴3（2﹣m）+（1﹣m）＝0，解得74m．（2）若点A，B，C能构成三角形，则这三点不共线，即AB与AC不共线，

得3（1﹣m）≠2﹣m，∴实数12m时，满足条件．6．（2020·广东云浮市·高一期末）（1）已知向量a，b满足5a，1,2b，且//ab，求a的坐标．（2）已知1,4A、5,2B、3,4C，判断并证明以A，B，C为顶点的三

角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【答案】（1）1,2a或1,2a；（2）ABC为直角三角形，BÐ为直角，证明见解析.【解析】（1）设,axy，则225xy，又//ab，所以20xy，联立2252xyyx

，解得12xy或12xy．于是1,2a或1,2a．（2）ABC是直角三角形，BÐ为直角．证明如下：∵1,45,26,6BA，3,45,22

,2BC，∴62620BABC，∴BABC，即ABC为直角三角形，BÐ为直角．7．（2020·湖北襄阳市·襄阳五中高一月考）已知向量(3,4)OA，(6,3)OB，(5,3)OCxy，(4,1)OD．（Ⅰ）若四边形ABCD是平行四边形，求

x，y的值；（Ⅱ）若ABC为等腰直角三角形，且BÐ为直角，求x，y的值．【答案】（Ⅰ）2,5；（Ⅱ）03xy或23xy．【解析】（Ⅰ）(3,4)OA，(6,3)OB，(5,3)OCxy，(1,5)AD，(1,)BCxy

，由ADBC，2x，5y；（Ⅱ）(3,1)AB，(1,)BCxy，B为直角，则ABBC，3(1)0xy，又||||ABBC，22(1)10xy，再由3(1)yx，解得：03xy或23

xy．