【文档说明】2021年高中数学新教材必修第一册：1.4《充分条件与必要条件》精品学案（含答案）.doc，共(8)页，114.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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【新教材】1.4充分条件与必要条件学案（人教A版）1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．1.数学抽象：充分条件、必要条件

与充要条件含义的理解；2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条件、充要条件的判断；3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不

等式和不等式组；4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻

辑思维能力。重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念．．难点：能够利用命题之间的关系判定充要关系．一、预习导入阅读课本17-22页，填写。1．充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系P

_______qP_______q条件关系p是q的_______条件q是p的_______条件p不是q的_______条件q不是p的_______条件2.充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此

时，我们说p是q的______________，简称______________．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．概括地说，(1)如果p⇔q，那么p与q______________条件．(2)若

p⇒q，但q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p⇒/q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．3.从集合角度看充分、必要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A_______B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是

q的必要条件，若B_______A，则p是q的必要不充分条件若A_______B，则p，q互为充要条件若A_______B，且B_______A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件1．判断(正确

的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是q的必要条件,则q是p的充分条件.()(2)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立.()(3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.()2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若p是q的充

分条件,q是r的充分条件,则p是r的条件.(2)“a>0,b>0”是“ab>0”的条件.(3)“若p,则q”的逆命题为真,则p是q的条件.3．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题型一充分条件、必要

条件、充要条件的判断例1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)对于实数x，

y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：ab＜1.解题技巧：（充分条件与必要条件的判断方法）(1)定义法若p⇒q，qp，则p是q的充分不必要条件；若pq，q⇒p，则p是q的必

要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则

p是q的充要条件；若A⫋B，则p是q的充分不必要条件；若B⫋A，则p是q的必要不充分条件．(3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系

进行判断．跟踪训练一1．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题型二充要条件的探求与证明例2(1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为()A．0<x<4B

．0<x<2C．x>0D．x<4(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：1x<1y的充要条件是xy>0.解题技巧：(探求充要条件一般有两种方法)(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B

)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必

要性分开来说明．跟踪训练二2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是()A．x∈(0,2)B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1)D．x∈(1,3)(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件

是a＋b＋c＝0.题型三利用充分、必要条件求参数的范围例3已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为____变式．[变条件]【例3】本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求

m的取值范围．解题技巧：（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围）(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数

范围．跟踪训练三3．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．1．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不

充分也不必要条件2．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1B．a

＞b－1C．a2＞b2D．a3＞b34．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．5．下列说法正确的是________．(填序号)①“x＞0”是“x＞1”的必

要条件；②“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；③在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件；6．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△A

BC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；7．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一个必要条件但不是充分条件，求实数a的取值范围．8．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件．答案小试牛刀1

．答案：(1)√(2)×(3)×2．（1）充分（2）充分（3）必要3．A自主探究例1【答案】见解析【解析】(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p

，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(4)由于a＜b，当b＜0时，ab＞1；当b＞0时，ab＜1，故

若a＜b，不一定有ab＜1；当a＞0，b＞0，ab＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，ab＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．跟踪训练一1．【答案】D例2【答案】（1）B（2）见解析【解析】(1)由x2－4x<0得0<x<4，则充分不必要条件是集合{x|0<x<4}的

子集，故选B.(2)法一：充分性：由xy>0及x>y，得xxy>yxy，即1x<1y.必要性：由1x<1y，得1x－1y<0，即y－xxy<0.因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以1x<1y的充要条件是

xy>0.法二：1x<1y⇔1x－1y<0⇔y－xxy<0.由条件x>y⇔y－x<0，故由y－xxy<0⇔xy>0.所以1x<1y⇔xy>0，即1x<1y的充要条件是xy>0.跟踪训练二2．【答案】（1）B（2）见解析【解析】（1）由x

(x－2)<0得0<x<2，因为(0,2)⫋[－1，＋∞)，所以“x∈[－1，＋∞)”是“不等式x(x－2)<0成立”的一个必要不充分条件．（2）证明假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，

即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a

－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.例3【答案】{m|m≥9}(或[9，＋∞))【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2

x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q⇒/p.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，所以m>0，1－m<－2，1＋m≥10或1－m≤－2，m>0，1＋m>10

，解得m≥9.变式．【答案】见解析【解析】由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p⇒/q.则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}⫋{x|－2≤x≤10}所以

m>01－m≥－21＋m≤10，解得0<m≤3.即m的取值范围是(0,3]．跟踪训练三3．【答案】见解析【解析】因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.所以a－4≤1a＋4≥3解得－1≤a≤5即a的取值范围是[－1,5]．当堂检测1-3．CAA4．(－∞，1)5．

①6．【答案】见解析【解析】(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边

形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件．7．【答案】见解析【解析】由于p：x2－2x－3<0⇔－1<x<3，－a<x－1<a⇔1－a<x<1＋a(a>0)．依题意，得{x|－1<x<3}⫋{x|1－a<x<1＋a}(a>0)，所以1－a≤－1，1＋a

≥3，2a>4，解得a>2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]．8．【答案】见解析【解析】当a＝0时，x＝－12符合题意．当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1＞0，当a＞0时，－1a<0，若Δ＝4－4a≥0，则a≤1，即0＜

a≤1时，f(x)有两个负实数根．当a＜0时，因为f(0)＝1，Δ＝4－4a＞0恒成立，所以方程恒有负实数根．综上所述，a≤1为所求．