【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册(精练)6.2.1《平面向量的线性运算》（解析版）.doc，共(14)页，835.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.21平面向量的线性运算（精练）【题组一向量的加法运算】1．（2020·全国高一课时练习）化简．（1）ABCDBCDA．（2）ABMBBOBCOM．【答案】（1）0；（2）AC.【解析】（1）0ABCDBCDAABBCCDDA；（2）ABMBB

OBCOMABBOOMMBBCAC.2．（2020·江西高一期末）下列四式不能化简为AD的是（）A．MBADBMB．()()ADMBBCCMC．()ABCDBCD．OCOACD【答案】A【解析】对B，()()ADMBBCCMADMBBCCMAD

，故B正确；对C，()ABCDBCABBCCDAD，故C正确；对D，OCOACDACCDAD，故D正确；故选：A.3．（2020·全国高一课时练习）（1）如图（1），在ABC中，计算ABBCCA；（2）如图（2），在四边形ABCD中，计

算ABBCCDDA；（3）如图（3），在n边形123nAAAA中，12233411?nnnAAAAAAAAAA证明你的结论.【答案】（1）0（2）0（3）0，见解析【解析】（1）0ABBCCAA

CCAACAC（2）0ABBCCDDAACCDDAADDAADAD.（3）122334n110nnAAAAAAAAAA.证明如下：12233411nnnAAAAAAAAAA

133411nnnAAAAAAAA1411nnnAAAAAA11110nnnnAAAAAAAA4．（2020·全国高一课时练习）（1）已知向量a,b,求作向量c，使0abc.（2）（1）中表示a,b,c的有向线段能构成三角形吗？【答案】（1）见

解析.【解析】（1）方法一：如图所示，当向量a,b两个不共线时，作平行四边形OADB，使得OAa，OBb，则abOD，又0abc，所以0ODc，即ODcOC，方法二：利用向量的三角形法则，

如下图：作ABC，使得ABa，BCb，CAc，则0ABBCCA，即0abc，当向量a,b两个共线时，如下图：使得ABa，BCb，DEc则ABBCab，DEab，所以，0ABBCDE，即0abc.（2）向量a,b两个不共线时，表示

a,b,c的有向线段能构成三角形，向量a,b两个共线时，a,b,c的有向线段不能构成三角形.5．（2020·全国高一课时练习）一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为16/kmh，同时河水流速的大小为4/kmh求船实际航行的速度的大小与方向（精确

到l°）.【答案】417km，方向与水流方向成76°角【解析】设船的航行速度为1v，水流速度为2v，船的实际航行速度为v，v与2v的夹角为，则222212||164416/17(/)vvvkmhkmh由16tan44，得

76.船实际航行的速度的大小为417km，方向与水流方向成76°角.6．（2020·全国高一课时练习）一架飞机向北飞行300km，然后改变方向向西飞行400km，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.【答案】飞机飞行的路程为700km；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行500km

.【解析】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是700km；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行500km.【题组二向量的减法运算】1．（2021·全国练习）已知向量a，b，c，求作abc和abc.【答案】详见解析

【解析】由向量加法的三角形法则作图：abc由向量三角形加减法则作图：abc2．（2020·安徽滁州市））化简：ABCBCDEDAE（）A．0B．ABC．BAD．CA【答案】A【解析】ABCBCDEDAEABBCCDDEAE0AEAE．故选：

A．3．（2020·全国高一课时练习）化简：（1）ABBCCA；（2）()ABMBBOOM；（3）OAOCBOCO；（4）ABACBDCD；（5）OAODAD；（6）ABADDC；（7）NQQ

PMNMP.【答案】（1）0.（2）AB（3）BA.（4）0（5）0（6）CB.（7）0【解析】（1）原式0ACAC.（2）原式ABBOOMMBAB（3）原式OAOCOBOCBA.（4）原式0ABBDDCCA（5）原式0OAADDO

（6）原式()ABADDCABACCB.（7）原式0MNNQQPPM4．（多选）（2020·全国高三专题练习）下列各式中，结果为零向量的是（）A．ABMBBOOMB．ABBCCAC．OAOCBOCOD．ABACBDCD【答案】BD【解析】对

于选项A：ABMBBOOMAB，选项A不正确；对于选项B：0ABBCCAACCA，选项B正确；对于选项C：OAOCBOCOBA，选项C不正确；对于选项D：0ABACBDCDABBDACCDADADuuuruuuruuuruuuruuuruu

uruuuruuuruuuruuurr选项D正确.故选：BD5．（多选）（2020·全国高一课时练习）已知,ab为非零向量,则下列命题中正确的是()A．若abab,则a与b方向相同B．若abab,则a与b方向相反C．若abab,则a与b有相等的模D．若abab

,则a与b方向相同【答案】ABD【解析】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,ab不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||ababab.当,ab同向时有|

|||||abab,||||||abab.当,ab反向时有||||||||abab,||+||||abab故选：ABD【题组三向量的数乘运算】1．（2020·全国高一课时练习）化简：（1）5(32)4(23)abba；（2）111(2)(32)()342ababab

；（3）()()xyaxya．【答案】（1）32ab；（2）111123abvv；（3）2yav.【解析】（1）原式151081232abbaab；（2）原式123111111334222123abababab；（3）

原式2xayaxayaya．2．（2020·全国高一课时练习）化简下列各式：（1）2(32)3(5)5(4)ababba；（2）1[3(28)2(42)]6abab．【答案】(1)149ab；(2)11433abvv.

【解析】（1）原式64315205149ababbaab．（2）原式11114(62484)(228)6633abababab．3．（2020·全国高一课时练习）作图验证：（1）11()()22ababa（2）11

()()22ababb【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】如图，在平行四边形ABCD中，设,ABaADb，则11(),()22AOabOBab.（1）因为AOOBAB，所以11()()22ab

aba（2）因为AOOBAOBOAOODAD，所以11()()22ababb4．（2020·全国高一课时练习）已知点B是平行四边形ACDE内一点，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用,,abc表示向量CD、BC、BE、CE及BD．【答案】

CDcBCba；；BE=ca；CE＝cb；BD＝bac．【解析】∵四边形ACDE为平行四边形．∴CD＝AE＝c；BC＝AC－AB＝ba；BE＝AE－AB＝ca；CE＝AE－AC＝cb

；BD＝BC＋CD＝bac．4．（2020·六安市城南中学）如图，四边形OADB是以向量OAa，OBb为边的平行四边形，又13BMBC，13CNCD，试用a、b表示OM、ON、MN.【答案】1566OMabuuurrr；23ONab

；1126MNabuuurrr【解析】13BMBC，BCCA，16BMBA，111()()666BMBAOAOBab．115666OMOBBMbabab．13CNCD，CDOC，2222()3333ONOCCNODOAOBab

．221511336626MNONOMababab．5．（2020·全国高一课时练习）向量,,,,abcderrrurr如图所示，据图解答下列问题：（1）用,,ade表示DB；（2）用,bc表示DB；（3）用,,abe表示EC；

（4）用,dc表示EC.【答案】（1）DBdeauuururrr；（2）DBbcuuurrr；（3）ECeabuuurrrr；（4）ECcduuurrur.【解析】由图知,,,,ABaBCbCDcDEdEAe,（1）DBDEEAAB

dea；（2）DBCBCDBCCDbc；（3）ECEAABBCeab；（4）ECCECDDEcd【题组四向量的共线定理】1．（2021·全国）设12,ee是两个不共线的向量,若向量12aeeR与212bee

共线,则()A．λ=0B．λ=-1C．λ=-2D．λ=-12【答案】D【解析】由已知得存在实数k使akb,即12212eekee,于是1=2k且λ=-k,解得λ=-12.2．（2020·全国高一课时练习）设,ab是不共线的两个非零向量，已知2ABapb，,2

BCabCDab，若,,ABD三点共线，则p的值为()A．1B．2C．-2D．-1【答案】D【解析】因为,,ABC，故存在实数，使得ABBD，又2BDab，所以22apbab，故1,1p，故

选D.3．（2020·全国高一课时练习）判断下列各小题中的向量a与b是否共线：（1）2ae，2be；（2）12aee，1222bee．【答案】（1）a与b共线；（2）a与b共线．【解析】

（1）2bea，所以a与b共线；（2）1212222()2beeeea，所以a与b共线．4．（2021·四川乐山市·高一期末）已知向量m，n不是共线向量，32amn，64bmn，cmxn（1）判断a，b是否共线；（2）若ac，求x的值【答案】（1）a与b不共线.

（2）23x【解析】（1）若a与b共线，由题知a为非零向量，则有ba，即6432mnmn，∴6342得到2且2，∴不存在，即a与b不平行.（2）∵ac∥，则cra，即32mx

nrmrn，即132rxr，解得23x.5．（2020·全国高一课时练习）已知非零向量12,ee不共线，且122APee，1234PBee，122CQee，1245QDee，能否判定A，B，D三点共线？请说明理由．【答案】无法判定A，B，D三点共线，见解析

【解析】无法判定A，B，D三点共线，证明如下：1212122343ABAPPBeeeeee，12121224526CDCQQDeeeeee，所以2CDAB

，所以向量AB与CD共线．由于向量共线包括对应的有向线段平行与共线两种情况，所以无法判定A，B，D三点共线．6．（2020·全国高一课时练习）设12,ee是两个不共线向量，已知1228ABee，123CBee，122CDee．若

123BFeke，且B，D，F三点共线，求k的值．【答案】12k【解析】12121212234,3BDCDCBeeeeeeBFeke，∵B，D，F三点共线，∴BFBD，即121234ekeee．由题意知12,e

e不共线，得34k，解得12k．7．（2020·全国高一课时练习）已知12,ee是两个不共线的向量，若1228ABee，123CBee，122CDee，求证：A，B，D三点共线．【答案】见解析【解析】∵123CBee，122CD

ee，∴214BDCDCBee．又12122824ABeeee，∴，∴ABBD．∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．8．（2020·全国高一课时练习）如图所示,在平行四边形ABCD中,ADa，ABb

,M为AB的中点,点N在DB上,且2DNNB.证明:M,N,C三点共线.【答案】证明见解析【解析】∵2DNNB,∴111()()333NBDBABADba.连接,MNNC,则1111()2363MNMBBNMBNBbbaba,2122()33

3NCDCDNABNBbbaba,∴2NCMN,∴NC与MN共线.又NC与MN有公共点N,∴M,N,C三点共线.9．（2020·全国高一课时练习）如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段OB的一个靠近点B的三等分点,设,ABaAOb

.(1)用向量a与b表示向量,OCCD;(2)若45OEOA,求证:C,D,E三点共线.【答案】(1)OCba,5133CDab;(2)证明见解析.【解析】(1)∵ABa,AOb,∴OCOAACba,11151()2()

33333CDCBBDCBBOCBBAAOaabab.(2)证明:45OEOA413555CEOEOCbababCD,∴CE与CD平行,又∵CE与CD有共同点C,∴C，D，E三点共线.10．（2020·全国高一课时练习）如

图所示，已知D，E分别为ABC的边AB，AC的中点，延长CD至点M使DMCD，延长BE至点N使BEEN，求证：M，A，N三点共线．【答案】见解析【解析】连接BM，CN（图略）．∵D为MC的中点，且D为AB的中点，∴四边形ACBM为平行四边形，∴ABAM

AC，∴AMABACCB．同理可证，ANACABBC．∴AMAN，∴AM，AN共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线．