【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册(精练)6.1《平面向量的概念》（解析版）.doc，共(18)页，1.008 MB，由MTyang资料小铺上传

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6.1平面向量的概念（精练）【题组一向量与数量的区别】1．（2021·全国高三专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是()A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数

量，③⑥是向量【答案】D【解析】由物理知识可得：密度，温度，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量；而速度、位移既有大小又由方向，因此是向量．选D．2．下列量不是向量的是（）A．力B．速度C．质量D．加速度【答案】C【解析】【解析】质量只有大小，没有方向，不

是向量.故选C3．下列说法中，正确的个数是()①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．A．1B．2C．3D．4【答案】B【

解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．故选B.4．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度

；⑥路程．其中是向量的有()A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】向量是既有大小又有方向的量，故②③④⑤是向量.质量和路程都只有大小，没有方向，故不是向量.所以是向量的有4个.5．（2021·

全国课时练习）给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB的坐标是一个实数，

实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正

确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量AB，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确；④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0

，④正确.故选：D.【题组二向量的几何表示】1．（2020·全国高一课时练习）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且5AC.（1）画出所有的向量AC；（2）求BC的最大值

与最小值．【答案】(1)见解析；(2)最大值为41，最小值为5.【解析】(1)画出所有的向量AC，如图所示：(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|取得最小值2212=5；②当

点C位于点C5或C6时，|BC|取得最大值2245=41；所以|BC|的最大值为41，最小值为5．2．（2021·全国课时练习）一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，

按此方法继续操作下去.（1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？【答案】见解析.【解析】（1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；（2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．按（1）的方式作图，则所作

图形是内角为180的正多边形，由多边形的内角和定理可得(180)(2)180nn，解得360n，且3,*nnN．故α应满足的条件为360n，且3,*nnN．3．（2020·全国高一课时

练习）一名模型赛车手遥控一辆赛车，称先前进1m，然后原地逆时针转动角为一次操作.（1）当45时，至少需要几次操作，赛车才可以回到出发点？按照适当的比例作图加以说明.（2）如果0180，且按此操

作，赛车能够回到出发点，那么应该满足什么条件？【答案】（1）8次，说明见解析；（2）3603,4,5,nn【解析】（1）因为360458属于至少需要8次操作，赛车可以回到出发点，如图所示.（2）0180，要使赛车回到出发

点，则赛车走过的是一个正多边形路径，考虑外角和为360，故每次转动的角度应该是360除以一个正整数所得的商，即3603,4,5,nn.4．（2020·全国高一课时练习）在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图

中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km）.【答案】A地至B，C两地的位移分别用,ABAC表示；A地至B，C两地的实际距离分别为15(),31()kmkm.【解析】A地至B，C两地的位移分别用,ABAC表示，图上A，B两点距离、A，C点距离分别为：1.5(

),3.1()cmcm，所以A地至B实际距离为：2641.510101.51015()km，A地至C地的实际距离为：2643.110103.11031()km.【题组三相等向量与共线向量】1．（2020·全国高一课时练习）如图所

示，在等腰梯形ABCD中，ABCD∥，对角线ACBD，交于点O，过点O作MNAB，交AD于点M，交BC于点N，则在以ABCD，，，，M，ON，为起点和终点的向量中，相等向量有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】B【解析】由题,OMNOMOON，故相等向量有两对故选：B2．（202

1·全国高一专题练习）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量OB，OC，OD，OE，OF，AB，BC，CD，DE，EF，FA中，与OA共线的向量有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】在向量OB，OC，OD，

OE，OF，AB，BC，CD，DE，EF，FA中与OA共线的向量有：向量OD，BC，EF．故选C．3（多选）（2020·全国高一单元测试）若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（）A．,ADCB共线B．,ACBD相等C．,ADCB

模相等，方向相反D．,ACBD模相等【答案】ACD【解析】∵四边形ABCD是矩形，,ADBCACBD‖,所以,ADCB共线，,ACBD模相等,故A、D正确;∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,,ACBD模相等,但的方向不同，故B不正确;|AD|=|CB|且AD∥CB，所以,ADC

B的模相等，方向相反，故C正确.4．（2020·全国高一）如图，设O是边长为1的正六边形ABCDER的中心，写出图中与向量AB相等的向量______.（写出两个即可）【答案】OC，FO，ED【解析】解：由题可得：与AB相等的向量是：OC，F

O，ED；故答案为：OC，FO，ED.5．（2020·全国）如图所示，ABC和ABC是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设ABC的边长为a，图中列出了长度均为3a的若干个向量则：（1）与向量GH相等的向量有_______；（2）与向量GH共线，且模

相等的向量有________；（3）与向量EA共线，且模相等的向量有________.【答案】DB，HCEC，DE，DB，GB，HCEF，FB，HA，HK，KB【解析】（1）与向量GH相等的向量是DB，HC；（2）与向量GH共线且模相等的向量是EC，DE

，DB，GB，HC，（3）与向量EA共线且模相等的向量EF，FB，HA，HK，KB故答案为：（1）DB，HC；（2）EC，DE，DB，GB，HC；（3）EF，FB，HA，HK，KB.6．（2020·四川省越西中学高一月考）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是

单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与AB相等的向量共有几个；（2）与AB方向相同且模为32的向量共有几个；【答案】（1）5；（2）2.【解析】由题可知，每个小方格都是单

位正方形，每个小正方形的对角线的长度为2且都与AB平行，则222222AB，（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与AB相等的向量共有5个，如图1；（2）与AB方向相同且模为32的

向量共有2个，如图2.7．（2020·全国高一专题练习）已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC相等的向量；（2）与OB长度相等的向

量；（3）与DA共线的向量.【答案】（1）AD；（2）BO，OC，CO，OA，AO，ODuuur，DO；（3）,,ADBCCB【解析】画出图形，如图所示．（1）易知BC//AD，BC＝AD，所以与BC相等的向量为AD.（2）

由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，所以与OB长度相等的向量为BO，OC，CO，OA，AO，ODuuur，DO.（3）与DA共线的向量为AD，BC，CB.8．（2020·全国）如图，

D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与FE共线及相等的向量.【答案】（1）与FE共线的向量：EF，FG，GF，EG，GE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.（2）与FE相等的向量：EG，BD，DC.【解析】（1）与FE共线的向量：EF，FG，GF，EGuuu

r，GE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.（2）与FE相等的向量：EGuuur，BD，DC.9．（2020·全国）如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所标出的

向量中，（1）分别写出与AO，BO相等的向量；（2）写出与AO共线的向量；（3）写出与AO模相等的向量.【答案】（1）AOBF，BOAE；（2）与AO共线的向量有CO，BF，DE；（3）与AO模相等的向量有CO，BF，DE，AE，BO，DO，CF.【解析】（1）AOBF，

BOAE.（2）与AO共线的向量有CO，BF，DE.（3）与AO模相等的向量有CO，BF，DE，AE，BO，DO，CF.10．（2021·全国）如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点.(1)写出图中所示

向量与向量DE长度相等的向量；(2)写出图中所示向量与向量FD相等的向量；(3)分别写出图中所示向量与向量DE，FD共线的向量.【答案】(1)EF，FD，AF，FC，BD，DA，CE，EB.(2)CE，EB.(3)与DE共线的向量是AC，AF，FC；与FD共线的向量是CE，EB，CB.【解析

】(1)与DE长度相等的向量是EF，FD，AF，FC，BD，DA，CE，EB．(2)与FD相等的向量是CE，EB．(3)与DE共线的向量是AC，AF，FC；与FD共线的向量是CE，EB，CB．11．（2020·全国高三专题练习）如图，半圆的直径6

AB，C是半圆上的一点，D、E分别是AB、BC上的点，且1AD，4BE，3DE.（1）求证：ACDE；（2）求AC.【答案】（1）见解析；（2）185AC【解析】(1)由题意知，在BED中，5BD，3DE，4B

E，所以222DEBEBD，DEB是直角三角形，90DEB因为点C为半圆上一点，所以90ACB所以//ACDE，故ACDE∥(2)因为//ACDE，所以ABCDBE，ACABDEBD，即635AC，解得185AC，即185AC=。12．（2020·全国高一

课时练习）如图，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，ABDC且CNMA，求证：DNMB.【答案】见解析【解析】因为ABDC，所以ABDC且//ABDC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以DACB且//DACB.又DA与CB的方向相同，所以CBDA.同理可证，四边

形CNAM是平行四边形，所以CMNA.因为CBDA，CMNA，所以MBDN，又DN与MB的方向相同，所以DNMB【题组四平面向量的概念区分】1．（2021·甘肃省）下列关于向量的描述正确的是()A．若向量a，b都是单位向量，则abB．若向量a，b都是单位向

量，则1abC．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1，方向不定，故向量a和b不一定相同，故选项A错误；对于选项B

：因为coscosabab，由cos1,1知，1ab不一定成立，故选项B错误；对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；对于选项D：因为所有单位向量的模为1，且共

起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D正确；故选：D.2．（2021·武汉市）下列说法中，正确的个数是（）①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a

与b不共线，则a与b都是非零向量（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；②零向量的模为零，故②错；③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；④零向量与任意向量都共线，因此若向

量a与b不共线，则a与b都是非零向量，即④正确.故选：B.3．（2020·广东深圳市·红岭中学高一月考）下列说法正确的个数为（）①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量a共线的单位向量不唯一A．0B．1C．2D

．3【答案】B【解析】零向量的方向是任意的，故①错；向量的模是非负数，故②错；与非零向量a共线的单位向量不唯一，分别是||aa，故③正确.故选：B.4．（2020·全国高一课时练习）下列说法中,正确的

有()①如果非零向量a与b共线,那么ab的方向必与,ab之一的方向相同;②在ABC中,必有0ABBCCA;③若0ABBCCA,则A,B,C为ABC的三个顶点;④若,ab均为非零向量,则

||ab与ab一定相等A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】①当0ab时,结论不成立;②0ABBCCA，所以结论正确;③当A,B,C三点共线时,也可以有0ABBCCA,此时不能构成三角形，结论不成立;④只有,ab同向时结论才成立.故选：B5．（2020·

全国高一课时练习）下列命题中正确的个数是()①向量就是有向线段②零向量是没有方向的向量③零向量的方向是任意的④任何向量的模都是正实数A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确；零向量

的模等于0，故④错.故选：B.6．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（）A．零向量是没有方向的向量B．零向量的长度为0C．任意两个单位向量的方向相同D．同向的两个向量可以比较大小【答案】B【解析】零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两个单

位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.故选：B7．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（）A．向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上B．向量a与b平行，则a与b的方向

相同或相反C．向量AB与向量BA是平行向量D．单位向量都相等【答案】C【解析】A项考查的是有向线段共线与向量共线的区别.事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线段可以在平行直线上，不一定在同一直线上，故A项错误.由于零向量与任一向量平行，因此

，若a，b中有一个为零向量时，其方向是不确定的.故B项错误.由于向量BA与向量AB方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确.单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同.故D项错误.故选：C8．（2020·新泰市第

二中学高一期中）下列命题中正确的个数有（）①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】对于①，若向向量AB与

CD是共线向量，则//ABCD，或A,B，C，D在同条直线上，故①错误；对于②，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故②错误；对于③，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，

可以是任意方向，所以相等，故③错误；对于④，比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故④错误.故选：A．9．（2020·全国高一课时练习）设0a为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则0aaa；②若a与0a平行，则0aaa；③若a与0a平行且1a，则0a

a上述命题中，假命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与0||aa的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题，若a与0auur平行，则a与0auur的方向相同或相反

，反向时0||aaa，故②③也是假命题，综上所述，假命题的个数是3，故选D。10．（2020·全国高一课时练习）以下说法正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．零向量没有方向C．共线向量又叫平行向量D

．若a和b都是单位向量，则ab【答案】C【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，零向量是没有方向的向量，B错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；若a，b都是单位向量，两向量的方向不定，D错误；故选：C.

11．（2020·全国高一课时练习）下列关于向量的结论：（1）若||||ab，则ab或abrr；（2）向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量

a与b同向，且||||ab，则ab．其中正确的序号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）【答案】D【解析】（1）若||||ab，由于,ab的方向不清楚，故不能得出ab或abrr，故（1

）不正确.（2）由零向量与任何向量平行，当向量a与b平行时，不能得出a与b的方向相同或相反，故（2）不正确.（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确.（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.故选:D．12．（2020

·浙江高一期中）有下列说法：①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形ABCD是平行四边形，则ABCD；③若//ab，//bc，则//ac；④若ABCD，则ABCD=uuuruuur且//ABCD．其中正确说法的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】对于①，当两个向量不

相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确；对于②，若四边形ABCD是平行四边形，则ABDC，故②不正确；对于③，当0b时，a与c可以不共线，故③不正确；对于④，“若ABCD，则ABCD=uuuruuur且//ABCD或AB与CD在一条直线上”，故④不正确.故选：A.13．（多

选）（2021·涟水县）在下列结论中，正确的有（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．平行向量又称为共线向量C．两个相等向量的模相等D．两个相反向量的模相等【答案】BCD【解析】A.若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故

错误；B.平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C.相等向量方向相同，模相等，正确；D.相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD14．（多选）（2020·全国高一单元测试）设0a为单位向量，下列命题是假命题的为（）A．

若a为平面内的某个向量，则0aaaB．若a与0a平行，则0aaaC．若a与0a平行且1a，则0aaD．若a为单位向量，则0aa【答案】ABC【解析】对于A，向量既有大小又有方向，a与0aa的模相同，但方向不一定相同，故A是假命

题；对于B，C，若a与0a平行，且1a，则a与0a的方向同向或反向，同向时0aaa，此时0aa；反向时0aaa，此时0aa，故B，C是假命题；对于D，0a为单位向量，a为单位向量，则01aa，故D是真命题．故选：ABC

15．（2020·全国高一课时练习）对下列命题：（1）若向量a与b同向，且||||ab，则ab；（2）若向量||||ab，则a与b的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量||||ab，若a与b的方向相

同，则ab；（4）由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；（5）向量a与b平行，则向量a与b方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________【答案】1【解析】（1）向量不可比较大小，故（1）错误；（2）向量的模长相等，

不能确定方向的关系，故（2）错误；（3）当向量模长相等，且方向相同时，则向量相等，故（3）正确；（4）0与任意向量平行，故（4）错误；（5）若a与b有一个向量是零向量，则方向不确定，故（5）错误.故正确的命题个数为1.故答案为：1.16．（2020·全国高一课时练习

）给出下列四个条件:（1）ab；（2）||ab|=|；（3）a与b方向相反；（4）0a或0b其中能使//ab成立的条件是________.(填序号)【答案】（1）（3）（4）【解析】若ab，则a与b大小相等且方向相同，所以//a

b，故（1）正确；若||||ab，则a与b的大小相等，但方向不确定，因此不一定有//ab，故（2）错误；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方向相反，则//ab，故（3）正确；零向量与任意向量都平行，所以若||0a或||0b成立，则//ab成

立，故（4）正确.故答案为：（1）（3）（4）17．（2020·全国高一课时练习）判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由.（1）若a与b都是单位向量，则ab.（）（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量

是共线向量.（）（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.（）（4）若a与b是平行向量，则ab.（）（5）若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合.（）（6）海拔、温度、角度都不是向量

.（）【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√；（6）√.【解析】（1）×因为单位向量的长度（模）尽管都是1，但方向不一定相同.（2）√因为两个向量的方向相反，所以是共线向量.（3）×因为x轴与y轴只有方向，没有大小，所以不是向量.（4）×

因为同向或反向的向量是平行向量，a与b的方向不一定相间，模也不一定相等，ab不一定成立.（5）√假设点M与N重合，则AMAN，这与AM与AN不相等矛盾.所以点M与N不重合.（6）√因为海拔、温度、角度只有大小，没有方向，所以

它们都不是向量.故答案为：×；√；×；×；√；√