【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册练习：第八章《立体几何初步 章末总结》（解析版）.doc，共(17)页，1.092 MB，由MTyang资料小铺上传

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第八章立体几何初步一、单选题1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．（1）是棱台B．（2）是圆台C．（3）是棱锥D．（4）不是棱柱【答案】C【解析】对于（1），由于几何体上下底面不相似，所以不是棱台，A选项错误.对于（2），由于几何体上下底面不平行，所以不

是圆台，B选项错误.对于（3），几何体是棱锥，所以C选项正确.对于（4），几何体有两个平面平行且全等，侧面都是平行四边形，故是棱柱，所以D选项错误.故选：C.2．若P为两条异面直线lm，外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与lm，都平行B．过点P有且仅有一条直线与lm，都垂直C．

过点P有且仅有一条直线与lm，都相交D．过点P有且仅有一条直线与lm，都异面【答案】B【解析】因为若点P是两条异面直线lm，外的任意一点，则过点P有且仅有一条直线与lm，都垂直，选B3．如图，四棱柱1111ABCDABCD中，,EF分别是1AB、1BC的中点，

下列结论中，正确的是（）A．1EFBBB．EF平面11BCCBC．//EF平面1DBCD．//EF平面11ACCA【答案】D【解析】连接1BC交1BC于F，由于四边形11BCCB是平行四边形，对角线平分，故F是1BC的中点.因为E是1AB的中

点，所以EF是三角形1BAC的中位线，故//EFAC，所以//EF平面11ACCA.故选D.4．一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】设圆柱底面半径为为r，02r，则圆柱的高为42r，其侧面积2

2(42)4(2)Srrrr，根据二次函数性质，当1r时，侧面积取得最大值max4S.故选：C5．如图，三棱锥ABCD中，90DABDACBAC，1ABADAC，M，N分别为C

D，BC的中点，则异面直线AM与DN所成角余弦值为（）A．16B．36C．56D．56【答案】B【解析】取NC中点P,连接,APMP,又因为M为CD中点,故//DNMP,故AM与DN所成角即为AM与MP所成的角.由题得121,44ACNPCPBC,又N为BC的中点,1ABAC,

90BAC,所以1222ANBC,ANBC.故22104APANNP,又2211116122224MPDNADAN.又1222AMDC,故2221353288cos2626224A

MMPAPAMPAMMP所以异面直线AM与DN所成角余弦值为36.故选：B.6．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的

三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABCABC，其中ACBC，若11AAAB，当“阳马”即四棱锥11BAACC体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABCABC的表面积为A．21B．31C

．2232D．332【答案】C【解析】四棱锥11BAACC的体积是三棱柱体积的23，11111122ABCABCVACBCAAACBC222111()444ACBCAB，当且仅当22ACBC时，取等号．∴122222(1)122222S3222．故

选C．7．三棱锥PABC中，,,PAPBPC互相垂直，1PAPB，M是线段BC上一动点，若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是62，则三棱锥PABC的外接球的表面积是（）A．2B．4C．8D．16【答案】

B【解析】M是线段BC上一动点，连接PM，∵,,PAPBPC互相垂直，∴AMP就是直线AM与平面PBC所成角，当PM最短时，即PMBC时直线AM与平面PBC所成角的正切的最大．此时62APPM，63PM，在直角△PBC中，26··123PBPCBCPMPCPCPC

．三棱锥PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为1122，∴三棱锥PABC的外接球的半径为1R，∴三棱锥PABC的外接球的表面积为244R．选B.8．在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABBC，E，F分别为棱PB，P

C的中点，过E，F的平面分别与棱AB，AC相交于点D，G，给出以下四个结论：①//EFDG；②//PAED；③EDDG；④ACFG.则以上正确结论的个数是A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】因为E，F分别为棱PB，PC的中点，所以//EFB

C，可得//EF平面ABC，平面EFGD与平面ABC的交线为DG，所以//EFDG，故①正确；当截面EFGD与棱AB的交点D是AB的中点时，//PAED，否则PA与ED相交，故②错误；由PA底面ABC，可得PADG，由//EFDG可得//DGBC，又ABBC，所以ABDG

，所以DG平面PAB，所以EDDG，故③正确；只有当截面EFGD与AC的交点G是AC的中点时，//PAFG，此时可得ACFG，否则AC与FG不垂直，故④错误.所以正确结论的个数是2.故选：B．二、多选题9．已知两条直线l，m及三个平面，，，则的

充分条件是（）．A．l，lB．l，m，lmC．，D．l，m，lm【答案】ABC【解析】由面面垂直定理可以判断,,ABC正确，对于选项D，l，m，lm，也可以得到∥，故D错.故选：ABC.10．在正四面体AB

CD中，E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，下面四个结论中正确的是（）A．//BC平面AGFB．EG平面ABFC．平面AEF平面BCDD．平面ABF平面BCD【答案】ABD【解析】A．F､G分别是CD､DB的中点

，//GFBC，则//BC平面AGF，故A正确．B．E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，CDAF，CDBF，即CD平面ABF，//EGCD，EG平面ABF，故B正确．D．E､F､G分别是BC､CD､DB的中点，CDAF，CDBF，即

CD平面ABF，CD面BCD，平面ABF平面BCD，故D正确，只有C错误，故选：ABD．11．在三棱锥D-ABC中，1ABBCCDDA，且ABBC，CDDA，M，N分别是棱BC，CD

的中点，下面结论正确的是（）A．ACBDB．//MN平面ABDC．三棱锥A-CMN的体积的最大值为212D．AD与BC一定不垂直【答案】ABD【解析】根据题意，画出三棱锥D-ABC如下图所示，取AC中点O，连接,OBOD：对于A，因为1ABBCCDDA，且A

BBC，CDDA，所以,ABCADC为等腰直角三角形，则,,ODACBOAC且ODBOO，则AC平面BOD，所以ACBD，即A正确；对于B，因为M，N分别是棱BC，CD的中点，由中位线定理可得//MNBD，而BD平面ABD

，MN平面ABD，所以//MN平面ABD，即B正确；对于C，当平面DAC平面ABC时，三棱锥A-CMN的体积最大，则最大值为111212113222248ACMNNACMVV，即C错误；对于D，假设ADBC，由ABBC

,且ADABA,所以BC⊥平面ABD，则BCBD，又因为ACBD，且ACBCC，所以BD平面ABC，由OB平面ABC，则BDOB，由题意可知OBOD，因而BDOB不能成立，因而假设错误，所以D正确；综上可知，正确的为ABD，故选：ABD

.12．如图，在正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1BC上运动，则（）A．直线1BD平面11ACDB．三棱锥11PACD的体积为定值C．异面直线AP与1AD所成角的取值范围是45,90D．直线1CP与平面1

1ACD所成角的正弦值的最大值为63【答案】ABD【解析】对于选项A,连接11BD,由正方体可得1111ACBD,且1BB平面1111DCBA,则111BBAC,所以11AC平面11BDB,故111ACBD；同理,连

接1AD,易证得11ADBD,则1BD平面11ACD,故A正确；对于选项B,1111PACDCAPDVV,因为点P在线段1BC上运动,所以1112ADPSADAB,面积为定值,且1C到平面11APD的距离即为1C到平面11ABCD的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确；对于

选项C,当点P与线段1BC的端点重合时,AP与1AD所成角取得最小值为60,故C错误；对于选项D,因为直线1BD平面11ACD,所以若直线1CP与平面11ACD所成角的正弦值最大,则直线1CP与直线1B

D所成角的余弦值最大,则P运动到1BC中点处,即所成角为11CBD,设棱长为1,在Rt△D1C1B中,111126cos33CBCBDBD,故D正确故选：ABD三、填空题13．如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，,PDABCDPDAD，则PA与BD所成角的度数为______

______.【答案】60【解析】构造正方体ABCDSRQP，如图所示：显然//,BDRPAPR为等边三角形，则60APR，即PA与BD所成的角是60.14．如图，在直角梯形ABCD中，0190,//,12AADBCADABBC，将ABD沿BD折起，使

得平面ABD平面BCD.在四面体ABCD中，下列说法正确的序号是____________.①平面ABD平面ABC，②平面ACD平面ABC，③平面ABC平面BCD，④平面ACD平面BCD【答案

】②【解析】∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=12BC=1，∠A＝90°，在BCD中，BD=2，BC=2，45DBC，由余弦定理得90BDC，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩

平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又由AD⊥AB，CDADD∴AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC．故填②．15．如图，在正方体1111ABCDABCD中，点O为线段BD的中点.设点P在线段1CC上，直线OP与平面1ABD所成的角为，则s

in的取值范围是___________.【答案】6,13【解析】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是111,,22AOACOA，不妨取AB=2

．在Rt△AOA1中，sin∠AOA1=1126342AAAO，sin∠C1OA1=1111sin2sin22sincosAOAAOAAOAAOA6322623333，∴sin的取值范围是6,13.16．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有

深度为h的水，再放入一个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h的值为____________.【答案】32【解析】设圆锥的底面半径为r，体积为V，半球的体积为1V，水（小圆

锥）的体积为2V，如图则,1,2,OArOCOBBEh，所以2rhED，2241rr，解得243r，所以218239Vr，123V，23211()329rhVhh，由12VVV

，得3821939h，解得32h.故答案为：32四、解答题17．图（1）为一个几何体的表面展开图.（1）沿图中虚线将它折叠起来，是哪一种几何体？画出其空间图形.（2）需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长

为6的正方体？若图（2）是棱长为6的正方体，试在图中画出这几个几何体的一种组合情况.【答案】（1）这个几何体是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱推，作图见解析（2）需要3个这样的几何体，作图见解析【解析】（1）这个几何体是有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四

棱推，如图（3）.（2）需要3个这样的几何体.如图（4），分别为四棱锥111DABBA，1DABCD，111DBCCB（答案不唯一）18．如图，四棱锥PABCD，PA平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，//

ADBC，90BAD，2BCAD，E为PB中点.（1）求证：//AE平面PCD；（2）求证：AEBC.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】如图，取PC的中点F，连接,EFDF，E为PB中点，//EFBC，且12EFBC，又//ADBC，2BCAD

，ADEF，//ADEF,AEFD为平行四边形，即//AEDF，又AE平面PCD，DF平面PCD，所以//AE平面PCD.（2）由PA平面ABCD，所以PABC，又因为//ADBC，90BAD，所以BCAB，PAABA，BC平面PAB，又AE平面PA

B，AEBC.19．如图所示，已知AB平面ABCD，M，N分别是AC，AD的中点，BCCD.（1）求证：//MN平面BCD；（2）求证：平面BCD平面ABC；（3）若1AB，3BC，求直线AC与平面

BCD所成的角.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）30°【解析】（1）因为M,N分别是AC,AD的中点,所以//MNCD.又MN平面BCD且CD平面BCD,所以//MN平面BCD.（2）因为AB平面BCD,CD平面BCD,所以ABCD.又CDBC且ABBCB,所以

CD平面ABC.又CD平面BCD,所以平面BCD平面ABC.（3）因为AB平面BCD,所以ACB为直线AC与平面BCD所成的角.在直角ABC中,1AB,3BC,所以3tan3ABACBBC.所以

30ACB.故直线AC与平面BCD所成的角为30°.20．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：//PB平面AEC;（2）设1AP，3AD，三棱锥PABD的体积

34V，求A到平面PBC的距离．【答案】（1）证明见解析（2）A到平面PBC的距离为31313【解析】(1）设BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB

平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）1366VPAABADAB由，可得.作交于．由题设易知，所以故，又31313PAABAHPB所以到平面的距离为法2：等体积法1366VPAABADAB

由，可得.由题设易知,得BC假设到平面的距离为d，又因为PB=所以又因为(或)，，所以21．如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，//ABDC，2ADDCAP，1AB，点E为棱PC的中点.（Ⅰ）

证明：BEDC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正切值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）22【解析】（1）如图，取PD中点M，连接,EMAM.由于,EM分别为,PCPD的中点，故//EMBC，且12EMDC，又由已知，可得//EMA

B且EMAB，故四边形ABEM为平行四边形，所以//BEAM.因为PA底面ABCD，故PACD，而CDDA，从而CD平面PAD，因为AM平面PAD，于是CDAM，又//BEAM，所以BECD

.（2）连接BM，由（Ⅰ）有CD平面PAD，得CDPD，而//EMCD，故PDEM.又因为ADAP，M为PD的中点，故PDAM，从而PDBE，所以PD平面BEM，故平面BEM平面PBD.所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，而

BEEM，可得EBM为锐角，故EBM为直线BE与平面PBD所成的角.依题意，有22PD，而M为PD中点，可得2AM，进而2BE.故在直角三角形BEM中，12tan22EMABBEMBEBE

所以直线BE与平面PBD所成的角的正切值为2222．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，1PAAB，点A到平面PBC的距离为33，且直线AC与PB垂直．

（Ⅰ）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角BACE的大小．【答案】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与平面ACE平行，证明详见解析；（Ⅱ）34．【解析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与平面ACE平行，证明：连

接BD，交AC于点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为PDB△的中位线，则//OEPB，OE平面ACE，PB平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意ACPB，PA底面ABCD，AC底面ABCD，则有

ACPA，PAPBP，所以AC平面PAB，由（Ⅰ）可知//OEPB，又ACPB，所以OEAC，AC平面PAB，ABÌ平面PAB，所以ABAC，取BC中点F，连接OF，由于O是AC中点，则

//OFAB，OFAC，∴EOF为二面角BACE的平面角，其为钝角，那么PB，AB所成的角即为二面角BACE的补角，等腰直角PAB△中，4PBA，因此二面角BACE的大小为34．