【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册课时同步检测6.1.3《相等向量与共线向量》（解析版）.doc，共(8)页，385.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第六章平面向量及其应用6.1.3相等向量与共线向量一、基础巩固1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若ab，则ab；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A．0B．1C．2D．3【

答案】B【详解】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4

）错，2．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若,ab都是单位向量，则ab；③向量AB与BA相等．则所有正确命题的序号是（）A．①B．③C．①③D．①②【答案】A【详解】根据零向量的定义可知①正确；根据单位向

量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向AB与BA互为相反向量，故③错误．3．将向量(1,3)a向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标为（）A．1,3B．2,2C．0,4D．0,2【答案

】A【详解】因为将向量进行平移变换不改变向量的长度和方向，所以平移以后的向量与原向量相等，所以向量(1,3)a向右平移1个单位，再向下平移1个单位，所得向量的坐标为1,3.4．下列关于向量的结论：（1）若||||ab，则ab或abrr；（2）

向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a与b同向，且||||ab，则ab．其中正确的序号为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3

）【答案】D【详解】（1）若||||ab，由于,ab的方向不清楚，故不能得出ab或abrr，故（1）不正确.（2）由零向量与任何向量平行，当向量a与b平行时，不能得出a与b的方向相同或相反，故（2）不正确.（

3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确.（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.5．以下说法正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．零向量没有方向C．共线向量又叫平行向量D．若a和b都是单位向量，则a

b【答案】C【详解】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，零向量是没有方向的向量，B错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；若a，b都是单位向量，两向量的方向不定，D错误；6．下列命题正确的是（）A

．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．三个向量共面，即它们所在的直线共面C．若//ab，则存在唯一的实数，使λab=D．零向量是模为0，方向任意的向量【答案】D【详解】A选项，若0b，则根据零向量方向的任意性，

可的a与b共线，b与c共线；但a与c不一定共线，故A错；B选项，因为向量是可以自由移动的量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B错；C选项，根据共线向量定理，若//ab，其中0brr，则存在唯一的实数使λab=；故C错；D选项，根据零向量的定义可得，零

向量是模为0，方向任意的向量；即D正确.7．下列说法错误的是（）A．向量OA的长度与向量AO的长度相等B．零向量与任意非零向量平行C．长度相等方向相反的向量共线D．方向相反的向量可能相等【答案】D【详解】A.向量OA与向量AO的方向相反，长度相等，故A正确；B.规定零

向量与任意非零向量平行，故B正确；C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，8．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若//abrr，则

a与b的方向相同或相反；③若//abrr且//bc，则//ac；④若ab，则2ab．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B.【详解】①，两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同，根据相等向量的知识可知①是正确的.②，若//abrr，则可能b为零向量，方向任意，所

以②错误.③，若//abrr且//bc，则可能b为零向量，此时,ac不一定平行，所以③错误.④，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，所以④错误.故正确的命题有1个.9．（多选）若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（）A．,ADCB共线B．,

ACBD相等C．,ADCB模相等，方向相反D．,ACBD模相等【答案】ACD【详解】∵四边形ABCD是矩形，,ADBCACBD‖,所以,ADCB共线，,ACBD模相等,故A、D正确;∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,,ACBD模相等,但的方向不同，故B不

正确;|AD|=|CB|且AD∥CB，所以,ADCB的模相等，方向相反，故C正确.10．（多选）如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是（）A．ABDCB．ABDCC．ABDCD．BCAD∥【答案】BD【详解】解：AB与DC显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误；AB与DC

表示等腰梯形两腰的长度，所以ABDC，故B正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以//BCAD，故D正确；11．（多选）下列说法中正确的是（）A．模相等的两个向量是相等向量B．若230OAOBOC，AOCS，AB

CS分别表示AOC，ABC的面积，则:1:6AOCABCSSC．两个非零向量a,b，若||||||abab，则a与b共线且反向D．若ab∥，则存在唯一实数使得ab【答案】BC【

详解】相等向量是大小相等、方向相同的向量，向量的模相等，但方向不一定相同，故A选项错误；设AC的中点为M，BC的中点为D，因为230OAOBOC.所以2220OMOD，即2OMOD，所以O是线段MD上靠近点M的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的13，而B到AC

的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的16，根据三角形面积公式可知B选项正确；C选项中，当a与b共线且反向时，可知||||||abab成立，当a与b不共线或共线方向相同时，结论不成立，故C选项正确；D选项错误，例如0b，12．（多选）已

知向量,ab是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使,ab共线的是()A．234abe且22abeB．存在相异实数,，使0abC．0xayb（其中实数,xy满足0xy）D．已知梯形ABCD．其中,ABaCDb【

答案】AB【详解】对于A，向量,ab是两个非零向量，234abe且22abe，28,77aebe，此时能使,ab共线，故A正确；对于B，存在相异实数,，使0ab，要使非零向量,ab是共线向量，由共线定理即可成立，故B

正确；对于C，0xayb（其中实数,xy满足0xy）如果0xy则不能使,ab共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，ABa，CDb，如果,ABCD是梯形的上下底，则正确，否则错误；二、拓展提升13．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点

，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所标出的向量中，（1）分别写出与AO，BO相等的向量；（2）写出与AO共线的向量；（3）写出与AO模相等的向量.【答案】（1）AOBF，BOAE；（2）与A

O共线的向量有CO，BF，DE；（3）与AO模相等的向量有CO，BF，DE，AE，BO，DO，CF.（3）根据模相等向量的定义求解即可.【详解】解：（1）AOBF，BOAE.（2）与AO共线的向量有CO，BF，DE.（3）与AO模相等的向量有CO，BF，DE，AE，BO，DO，

CF..14．将向量用具有同一起点O的有向线段表示.（1）当OM与ON是相等向量时，判断终点M与N的位置关系；（2）当OM与ON是平行向量，且2|1OMON时，求向量MN的长度，并判断MN的方向与ON的方向之间的关系.【答案】（1）

M与N重合（2）答案不唯一，具体见解析【详解】解：（1）M与N重合.（2）①当OM与ON同向时，如图（1），1||2MN，MN与ON方向相反；②当OM与ON反向时，如图（2），13122MN，MN与ON方向相同.15．如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC-A1B1C1.(1)在分别以正

三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出与向量AB相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，举出向量AC的相反向量；(3)若E是BB1的中点，举出与向量AE平行的向量．【答案】（1）见解析；（2）见

解析；（3）见解析【详解】(1)由正三棱柱的结构特征知与相等的向量只有向量.(2)向量的相反向量为，.(3)取AA1的中点F，连接B1F，则，，都是与平行的向量．