【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册练习：6.2.3《向量的数乘运算》（解析版）.doc，共(6)页，101.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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6.2.3向量的数乘运算（用时45分钟）【选题明细表】知识点、方法题号线性表示1,2,5,7,8向量共线3,4,6,9综合应用10,11,12基础巩固1．下列各式计算正确的个数是()①(－7)·5a＝－35a；②a－2b＋

2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中

点，则向量CD→＝()A.BC→－12BA→B．－BC→＋12BA→C．－BC→－12BA→D.BC→＋12BA→【答案】B【解析】∵D是AB的中点，∴BD→＝12BA→，∴CD→＝CB→＋BD→＝－BC→＋12BA→.3．已知向量a，b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－

2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D【答案】A【解析】AD→＝AC→＋CD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(a＋2b)＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋

6b＝3AB→，∴A，B，D三点共线．故选A.4．若AB→＝3e1，CD→＝－5e1，且|AD→|＝|BC→|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰的梯形【答案】C【解析】因为AB→＝－35CD→，所以AB

∥CD，且|AB→|≠|CD→|.而|AD→|＝|BC→|，所以四边形ABCD为等腰梯形．5．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于()A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14

bD.13a＋23b【答案】B【解析】如图所示，∵E是OD的中点，∴OE→＝14BD→＝14b.又∵△ABE∽△FDE，∴AEFE＝BEDE＝31.∴AE→＝3EF→，∴AE→＝34AF→，在△AOE中，AE→＝AO→＋OE

→＝12a＋14b，∴AF→＝43AE→＝23a＋13b.故选B.6．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则k＝________.【答案】－4【解析】∵ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，∴ke1＋2

e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋λke2.∴k＝8λ，2＝λk，解得λ＝12，k＝4或λ＝－12，k＝－4.∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，∴λ＝－12，k＝－4.7．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e

1＋12e2，则向量a写为λ1b＋λ2c的形式是________．【答案】－118b＋727c【解析】若a＝λ1b＋λ2c，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，∴－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2.∴4λ1－3λ2＝－

1，2λ1＋12λ2＝3.解之，得λ1＝－118，λ2＝727.8．如图所示，向量OA→，OB→，OC→的终点A，B，C在一条直线上，且AC→＝－3CB→.设OA→＝p，OB→＝q，OC→＝r，那么r用p，q怎么表示？【答案】r＝－12p＋32q.【解析】∵OC→＝OB→＋BC→，AC→＝－

3CB→＝3BC→，∴BC→＝13AC→.∴OC→＝OB→＋13AC→＝OB→＋13(OC→－OA→)．∴r＝q＋13(r－p)．∴r＝－12p＋32q.能力提升9．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条

件中，一定可以使a，b共线的是()①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使ab＝0；③xayb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中A．①②B．①③C．②D．③④【答案】A【解析】由2a－3b＝－2(

a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．10．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝

mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．【答案】2【解析】在△ABC中，连接AO.由于O是BC的中点，因此AO→＝12(AB→＋AC→)＝12AB→＋12AC→.由于AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则AO→＝12mAM→＋12nAN→.由于M，O，N三点共线，则12m

＋12n＝1，从而m＋n＝2.11．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE＝23AD，AB→＝a，AC→＝b.(1)用a，b分别表示向量AE→，BF→；(2)求证：B，E，F三点共线．【答案】（1）AE→＝13(a＋b)．BF→＝－a＋

12b.（2）见解析.【解析】(1)∵AD→＝12(AB→＋AC→)＝12(a＋b)，∴AE→＝23AD→＝13(a＋b)．∵AF→＝12AC→＝12b，∴BF→＝AF→－AB→＝－a＋12b.(2)证明：由(1)知BF→＝－

a＋12b，BE→＝AE→－AB→＝13(a＋b)－a＝－23a＋13b＝23－a＋12b，∴BE→＝23BF→，∴BE→与BF→共线．又BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．素养达成12．设e1，e2是两个不共线的向量，如果AB→＝3e1－2e2，BC→＝4

e1＋e2，CD→＝8e1－9e2.(1)求证A，B，D三点共线；(2)试确定λ的值，使2λe1＋e2和e1＋λe2共线；(3)若e1＋λe2与λe1＋e2不共线，试求λ的取值范围．【答案】(1)见解析．(2)λ＝±22.(3)当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．【

解析】(1)证明：因为BD→＝BC→＋CD→＝4e1＋e2＋8e1－9e2＝12e1－8e2＝4(3e1－2e2)＝4AB→，所以AB→与BD→共线．因为AB→与BD→有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)因为2λe1＋e2与e1＋λe2共线，所以存在实数μ，使2λe1＋e2＝μ(e1

＋λe2)．因为e1，e2不共线，所以2λ＝μ，1＝λμ.所以λ＝±22.(3)假设e1＋λe2与λe1＋e2共线，则存在实数μ，使e1＋λe2＝μ(λe1＋e2)．因为e1，e2不共线，所以

1＝λμ，λ＝μ所以λ＝±1.所以当λ≠±1时，e1＋λe2与λe1＋e2不共线．