【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册(精讲)6.3.1《平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算》（解析版）.doc，共(17)页，1.351 MB，由MTyang资料小铺上传

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6.3.1平面向量的基本定理及加减数乘坐标运算（精讲）思维导图常见考法考法一平面向量的基本定理【例1-1】（2021·陕西）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．120,0,1,2eeB．

121,2,5,7eeC．123,5,6,10eeD．12132,3,,24ee【答案】B【解析】对A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；对B：因为710，故B中两个向量不共线；对C：因为31056

，故C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；对D：因为312342，故D中两个向量共线，故D中向量不可作基底.故选：B.【例1-2】（2020·怀仁县大地学校高一月考）如图在梯形ABCD中，2BCAD，DEEC，设BAa，BCb，则BE（）A．1124ab+rr

B．1536abC．2233ab+rrD．1324ab【答案】D【解析】因为2BCAD，DEEC，所以111113222224BEBDBCBAADBCBABCBCBABC

，又BAa，BCb，所以1324BEab.故选：D.【例1-3】（2020·全国高一课时练习）在三角形ABC中，M为AC的中点，若,ABBMBCR，则下列结论正确的是（）A．1B．3C．20

D．20【答案】C【解析】因为M为AC的中点，所以1122BMBABC，所以2ABBMBC，又,ABBMBCR，所以2，1，故选：C.【例1-4】（2020·全国高一课时练习）在边长为2的正方形ABCD中，E为CD

的中点，AE交BD于F.若3AFxAByAD，则xy（）A．1B．59C．13D．59【答案】B【解析】建立以A为原点，AB为x轴的直角坐标系，则2,0ABuuur，0,2ADuuur，32,6xAByADxy.又根据题意，得12

FEDEAFAB，1,2AE，则224,333AFAE.所以223x，463y，则13x，29y，125399xy.故选:B.【一隅三反】1．（2020·上海）下列各组向量中，能成为平面内

的一组基向量的是（）．A．122,1,6,3eeB．122,1,6,3eeC．122,1,6,3eeD．122,1,0,0ee【答案】B【解析】对于A，因为1

213ee，所以1e与2e共线，不能成为平面内的一组基向量，故A不正确；对于B，因为2316120，所以1e与2e不共线，能成为平面内的一组基向量，故B正确；对于C，因为1213ee，所以1e与2e共线，不能成为平面内的一组基向量，故C不正确

：对于D，因为20e，所以1e与2e共线，不能成为平面内的一组基向量，故D不正确；故选：B.2．（2020·河南高一其他模拟）如图，在ABC中，点Q为线段AC上靠近点A的三等分点，点P为线段BQ上靠近点B的三等分点，则PAPC（）A．1233BABCB．5799

BABCC．11099BABCD．2799BABC【答案】B【解析】23PAPCBABPBCBPBABCBQ2()3BABCBAAQ1233BABC13AC1257()3999BABCBCBABABC.故选：B

.3．（2020·湖北高一期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则AF=（）A．1588ABACB．5188ABACC．1588ABACD．5188ABAC【答案】D【解析】∵12AFABAE111222ABAD

111242ABABAC5188ABAC，故选D．4．（2021·甘肃）设D为ABC所在平面内一点，1433ADABAC，若()BCDCR，则()A．3B．3C．2D．2【答案】A【解析】若()BCDCR

，ACABACAD，化为11ADABAC，与1433ADABAC比较，可得：113，143，解得3．则3．故选A．5．（2020·株洲市九方中学高一期末）如图，已知OAB，若点C满足2ACCB，,OCxOAyOB

xyR，则11xy（）A．14B．34C．92D．29【答案】C【解析】由2ACCB得2OCOAOBOC，即1233OCOAOB，又,OCxOAyOBxyR，所以1323xy，因此1139322xy.故选：C.6．

（2020·全国高一课时练习）ABC中，5AB，10AC，25ABAC，点P是ABC内（包括边界）的一动点，且32()55APABACR，则||AP的最大值是()A．332B．37C．39D．41【答案】B【解

析】ABC中，5AB，10AC，25ABAC，510cos25A，1cos2A，60A，90B；以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，5AB，10AC，60BA

C，(0,0)A，(5,0)B，(5C，53)，设点P为(,)xy，05x剟，03y剟，3255APABAC，(x，3)(55y，20)(55，53)(32，23)，32

23xy，3(3)yx，①直线BC的方程为5x，②，联立①②，得523xy，此时||AP最大，22||5(23)37AP．故选：B．考法二加减数乘的坐标运算【例2】（1）（2020·北京

高一期末）已知点1,2A，1,0B，则ABuuur（）A．2,0B．2,2C．2,2D．0,2（2）（2020·陕西省商丹高新学校高一期中）已知0,1A，0,3B，则AB（）A．2B．10C．4D．210（3）（2020·河南开封市·高一期中

）已知3,2M，5,1N，若NPMN，则P点的坐标为（）A．（3，2）B．（3，-1）C．（7，0）D．（1，0）（4）（2021·黑龙江）已知向量1,2ar，2,3b，3,4c，且12cab，则1，2

的值分别为（）A．2，1B．1，2C．2，1D．1，2【答案】（1）C（2）C（3）C（4）D【解析】（1）点1,2A，1,0B，则11,022,2AB.故选：C.（2）由题得AB=（0,4）所以2||0(3

1)4AB．故选C（3）设点P的坐标为,xy，则(5,1)NPxy，(53,12)(2,1)MN，因为NPMN，即(5,1)(2,1)xy，所以5211xy

，解得70xy，所以7,0P.故选：C.（4）因为1,2ar，2,3b，所以111,2ar，2222,3b，1212122,23abrr，因为3,4c，12cab，所以1223，12

234，解得11，22，故选：D.【一隅三反】1．（2020·咸阳百灵学校高一月考）已知点M(－3，3)，N(－5，－1)，那么MN等于（）A．(－2，－4)B．(－4，－2)C．(2，4)D．(4，2)【答案】A【解析】M

(－3，3)，N(－5，－1)，=2,4MN.故选：A2．（2020·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末）已知点3,2A，5,1B，则与AB反方向的单位向量为（）A．255,55B．2

55,55C．525,55D．525,55【答案】B【解析】3,2A，5,1B,()2,1AB\=-，则22215AB，所以与AB反方向的单位向量为255,55ABAB骣琪

-=-琪桫.故选：B.3．（2020·全国高一）已知向量(1,2)a，(2,1)b，则ab等于（）A．(3,1)B．(1,3)C．(1,3)D．(3,1)【答案】D【解析】因为向量(1,2)a，(2,1)b，所以=(3,1)ab,故选：D4．（2020·北京二十中高一

期末）已知向量,2am，1,2br，若0ab，则实数m的值为（）A．-4B．4C．-1D．1【答案】C【解析】由题意，向量,2am，1,2b，所以1,00,0abm，可得50m，解得1m

.故选：C.考法三共线定理的坐标表示【例3-1】（多选）（2020·三亚华侨学校高一月考）已知点4,6A，33,2B，与向量AB平行的向量的坐标可以是（）A．14,33B．97,2C．14,33D．(7，9)【答案】ABC【解析】

由点4,6A，33,2B，则972，AB选项A.91473023,所以A选项正确.选项B.9977022,所以B选项正确.选项C.91473023

,所以C选项正确.选项D.979702,所以选项D不正确故选：ABC【例3-2】（2020·全国高一课时练习）已知非零向量a，b，c，若1,ax，4

,1b，且//ac，//bc则x（）A．4B．-4C．14D．14【答案】D【解析】由题意知//ac，//bc，所以//ab；又(1,)ax，(4,1)b，所以1(1)40x，解得14x．故选：D【例3-3】（2020·全国高一）若0,2A，1,0B

，,2Cm三点共线，则实数m的值是（）A．6B．2C．6D．2【答案】B【解析】因为三点0,2A，1,0B，,2Cm共线，所以(1,2),(1,2)ABBCm,若0,2A，1,0B，,2Cm三点共线，则AB和BC共线可得：(1)(2

)(2)(1)m，解得2m；故选：B【一隅三反】1．（2020·北京昌平区）下列各组向量中不平行．．．的是（）A．1,1,2ar，2,2,4brB．1,0,0cr，3,0,0drC．1,1,0er，0,0,0frD．2,3,5

gur，2,3,5hr【答案】D【解析】对于A，有2ba，所以a与b是平行向量；对于B，有3dc，所以c与d是平行向量；对于C，fur是零向量，与e是平行向量；对于D，不满足gh，所以g与h不是平行向量.故

选：D．2．（2020·浙江杭州市·高一期末）与(1,3,2)a平行的一个向量的坐标是（）A．1,1,13B．13,,122C．13,,122D．(2,3,22)【答案】C【解析】若向量b与向量a平行，则ba，(1,3,2)a，

则(,3,2)br设向量,,bxyz，则x与y符号相同，y与z符号相反，所以可知A，B，D不成立，选项C：若12，则12x，32y，1z，故C正确.故选：C.3．（2020·全国高一）已知3,am，21,1bm，

则“1m”是“//ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由//ab可得213mm，解得32m或1m，所以“1m”是“//ab”充分不必要条件.故选：A.4．（2020·全国高一课时练

习）已知向量1,1a，2,1br，若2//abab，则实数（）A．8B．8C．2D．2【答案】D【解析】由1,1a，2,1br，可得24,2ab

，1,2ab，因为2//abab，所以24210，解得2.故选：D.5．（2020·全国高一单元测试）已知向量1,2a，,1bmr．若向量ab与a平行，则m＝________.【答案

】12【解析】向量1,2a，,1bmr，所以1,3abmrr，若向量ab与a平行，可得13210m，解得12m.故答案为:12考法四向量与三角函数的综合运用【例4-1】（2021·湖南）已知向量(cos2sin,2)a

，(sin,1)b，若a//b，则tan2的值为（）A．14B．34C．815D．415【答案】C【解析】因为a//b，故可得22cossinsin，故可得14tan，又222842

11tan15116tantan.故选：C【例4-2】（2020·本溪市燕东高级中学高一月考）设向量(4cos,sin)a，(sin,4cos)bbb=，(cos,4sin)c．（1）若a与2bc垂直，求tan()的值；（2）求||bc的最大值；（3）若t

antan16，求证：a∥b．【答案】（1）2；（2）42；（3）证明见解析．【解析】（1）由a与2bc垂直，则220abcabac，即4sin()8cos()0，则tan()2．（2）(sincos,4cos

4sin)bc，22222||sin2sincoscos16cos32cossin16sinbc1730cossin1715sin2，最大值为32，所以bcrr的最

大值为42．（3）由tantan16得sinsin16coscos，即4cos4cossinsin0，所以ab．【一隅三反】1．（2021·新疆）已知平面向量sin,2019a，cos,2020

b，若//abrr，则tan（）A．20192020B．20202019C．20192020D．20202019【答案】A【解析】∵//abrr，∴2020sin2019cos0，∴sin2019cos202

0，∴2019tan2020．故选：A．2．（2020·全国高一课时练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量2(2m，2)2，(sin,cos)nxx，(0,)x，若//mn，则tanx的值（）A．4B．3C．1D．0【答案】C【解析】在平面直角坐标系xOy中，向

量2(2m，2)2，(sin,cos)nxx，(0,)x，因为//mn，可得22cossin022xx，即cossinxx，所以sintan1cosxxx.故选：C．3．（2020·山东省五莲县第一中学高一月

考）设0≤θ<2π，已知两个向量1OP＝(cosθ，sinθ)，2OP＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量12PP长度的最大值是()A．2B．3C．32D．23【答案】C【解析】∵12PPuuuur＝2OP－1OP＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ

)，∴|12PPuuuur|＝222sincos2cossin108cos32.当1cos时，12PP有最大值32.故选C.考法五奔驰定理解三角形面积【例5】（1）（2

020·衡水市第十四中学高一月考）若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53AMABAC，则ABM与ABC的面积比为（）.A．15B．25C．35D．45（2）（2020·江西宜春市·高一期末）已知O为正三角形ABC

内一点，且满足10OAOBOC，若OAB的面积与OAC的面积之比为3，则（）A．12B．14C．34D．32【答案】（1）C（2）A【解析】（1）如图，由5AM=AB+3AC得2AM=2AD+3AC-3AM，即2(AM-AD)=3(AC-AM)，

即2DM=3MC，故DM=3DC5，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC=3∶5.所以选C.（2）分别取AC、BC的中点D、E，连接DE、AE，如图，所以DE是ABC的中

位线，因为10OAOBOC，所以OAOCOBOC，所以ODOE，所以D、E、O三点共线，所以111363OACOABABCAECSSSS△△△△，所以13ODED即12ODOE，所以12即12.故选：A.【一隅三反】1．

（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知O为ABC内一点，且有23OAOCBC，则OBC和ABC的面积之比为（）A．16B．13C．12D．23【答案】C【解析】设D是AC的中点，则2OAOCOD，又因为23OAOCBC，所以223ODBC,3BCOD，//ODBC，所

以12OBCDBCABCABCSSDCSSAC故选：C2．（2020·怀仁市第一中学校云东校区）ABC内有一点O，满足3450OAOBOC，则OBC与ABC的面积之比为（）A．1:4B．4:5C．2:3D．3:5【答案】A【解析】由

题意，在ABC内有一点O，满足3450OAOBOC，由奔驰定理可得::3:4:5BOCAOCBOASSS，所以:3:121:4BOCABCSS，故选A．3．（2020·山西朔州市）已知点O是ABC内部一点，并且满足2350OAOBOC，OAC

的面积为1S，ABC的面积为2S，则12SS（）A．310B．38C．25D．421【答案】A【解析】∵2350OAOBOC，∴23OAOCOBOC．设AC中点为M，BC中点为N，则23OMON,∵MN为ABC的中

位线，且32OMON，∴36132255410OACOMCCMNABCABCSSSSS，即12310SS．选A．4．（2020·全国高三专题练习）点P是ABC所在平面上一点，若2355AAPBAC，则ABP△与ACP△的面积之比

是（）A．35B．52C．32D．23【答案】C【解析】因为点P是ABC所在平面上一点，又2355APABAC，所以2233-=-5555APABACAP,即23=55BPPC,即32=BPPC，则点P在线段BC上，且32=BPPC,又1sin2APCSAPPCAPC

，1sin2ABPSAPBPAPB,又APBAPC，即sinsinAPCAPB，所以点P在线段BC上，且32=BPPC,:ABPSAPCS1sin:2APBPAPB1sin2APPCAPC:3:2

BPPC，故选：C.5．（2021·山西）M是ABC所在平面上一点，满足2MAMBMCAB，则ABMABCSS为（）A．1:2B．1:3C．1:1D．1:4【答案】B【解析】因为22()33MAMBMCABMAMBMCMBMAMBMAMCCBMA所以13

ABMABCSAMSBC,选B.