【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册(精讲)6.2.1《平面向量的线性运算》（解析版）.doc，共(15)页，1.031 MB，由MTyang资料小铺上传

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6.2.1平面向量的线性运算（精讲）思维导图常见考法考法一向量的加法运算【例1-1】（2020·全国高一课时练习）如图，在下列各小题中，已知向量a、b，分别用两种方法求作向量ab．【答案】见解析【解析】将b的起点移到a的终点，再首尾相接，可得ab；将两个向量的起点移

到点A，利用平行四边形法则，以ar、b为邻边，作出平行四边形，则过点A的对角线为向量ab.如图所示，ABabuuurrr．（1）；（2）；（3）；（4）.【例1-2】（2020·全国高一课时练习）如果a表示“向东走10km”，b表

示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km”，那么下列向量具有什么意义？（1）aa；（2）ab；（3）ac；（4）bd；（5）bcb；（6）dad.【答案】（1）向东走20km；（2）向东走5km；（3）向东北走102km；（4）向西南走52km；（5）向西

北走102km；（6）向东南走102km.【解析】由题意知：a表示“向东走10km”，b表示“向西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南走5km”（1）aarr表示“向东走20km”（2）ab表示“向东走5km”（3）ac表示“向东北走102km”（

4）bdrur表示“向西南走52km”（5）bcb表示“向西北走102km”（6）dad表示“向东南走102km”【例1-3】（2021·重庆市大学城）向量ABMBBOBCOM﹒化简后等于（）A.AMB.0C.0D.AC【答案】D【解析】ABMBBOBC

OMABBOOMMBBCAOOMMBBCAMMBBCABBCAC,故选D.【例1-4】（2020·湖南长沙市·高一期末）已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列

等式中错误的（）A．FDDAFAB．0FDDEEFC．DEDAECD．DEDAFD【答案】D【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得FDDAFA，故A正确；由0FDDEEFFEEF

，故B正确；根据平行四边形法则，可得DEDADFEC，故C正确，D不正确.故选：D.【一隅三反】1.如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.【答案】见解析【解析】方法一可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如图①，首先在平面内任取一

点O，作向量OA→＝a，接着作向量AB→＝c，则得向量OB→＝a＋c，然后作向量BC→＝b，则向量OC→＝a＋b＋c为所求．①②方法二三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1)在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b；(2)作平行四边形AOBC，则OC→＝a＋b；(3)再作向量O

D→＝c；(4)作平行四边形CODE，则OE→＝OC→＋c＝a＋b＋c.即OE→即为所求.2．（2020·北京高二学业考试）在平行四边形ABCD中，ABAD等于（）A．ACB．BDC．BCD．CD【答案】A【解析】根据向量加法的

平行四边形法则可得ABADAC，故选：A.3．（多选）（2020·全国高一）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（）A．ABADACB．ACCDDOOAC．ABADCDADuuuruuuruuuruuurD．0ACBADA

【答案】ACD【解析】由向量加法的平行四边形法则可知ABADAC，故A正确；ACCDDOADDOAOOA，故B不正确；ABADCDACCDAD，故C正确；0ACBADABAACDABCDA

，故D正确.故选：ACD.4.化简(1)BC→＋AB→；(2)AO→＋BC→＋OB→；(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→.(4)DB→＋CD→＋BC→；(5)(AB→＋MB→)＋B

O→＋OM→.【答案】（1）AC→（2）AC→（3）0（4）0（5）AB→【解析】(1)BC→＋AB→＝AB→＋BC→＝AC→.(2)AO→＋BC→＋OB→＝AO→＋OB→＋BC→＝AB→＋BC→＝AC→.(3)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝AB→＋BC→

＋CD→＋DF→＋FA→＝AC→＋CD→＋DF→＋FA→＝AD→＋DF→＋FA→＝AF→＋FA→＝0.(4)DB→＋CD→＋BC→＝BC→＋CD→＋DB→＝BD→＋DB→＝0.(5)方法一(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→

)＋(OM→＋MB→)＝AO→＋OB→＝AB→.方法二(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→＝AB→＋(MB→＋BO→)＋OM→＝AB→＋MO→＋OM→＝AB→＋0＝AB→.方法三(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→＋OM→)＋MB→＝AM→＋MB→＝AB→.考法

二向量的减法运算【例2-1】（2020·全国高一课时练习）如图，在各小题中，已知,ab，分别求作ab．【答案】见解析【解析】将,ab的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，BAab，(1)(2)(3)(4)【例22-2】．（2020

·全国高一课时练习）化简下列各式：①ABCBCA；②ABACBDCD；③OAODAD；④NQQPMNMP.其中结果为0的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】①0ABCBCAABBCCAACCA；

②0ABACBDCDABBDACCDADADuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr；③0OAODADDAADuuruuuruuuruuuruuurr；④0NQQPMNMPNPPN

；以上各式化简后结果均为0,故选:D【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）如图，已知向量,,,abcd，求作向量ab，cd．【答案】见解析【解析】如下图所示，在平面内任取一点O，作OAa，OBb，OCc，ODd，则BAab，DCcd．2.如图，已知向量

a，b，c，求作向量a－b－c.【答案】见解析【解析】在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝BA→，再作向量BC→＝c，则向量CA→＝a－b－c.3．（2020·莆田第七中学高二期中）在五边形ABCDE

中（如图），ABBCDC（）A．ACB．ADC．BDD．BE【答案】B【解析】ABBCDCABBCCDAD.故选：B4．（2020·全国高一课时练习）化简ABCDACBD______.【答案】0【解析】0ABCDACBDABBDDCCA

．故答案为：0．5.化简（1）(AB→－CD→)－(AC→－BD→)(2)OA→－OD→＋AD→；(3)AB→＋DA→＋BD→－BC→－CA→．【答案】（1）（2）（3）AB→【解析】（1）方法一(统一成加法)(AB→－CD→

)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝AB→＋BD→＋DC→＋CA→＝AD→＋DA→＝0.方法二(利用OA→－OB→＝BA→)(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)－CD→＋BD→＝CB

→－CD→＋BD→＝DB→＋BD→＝0.方法三(利用AB→＝OB→－OA→)设O是平面内任意一点，则(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(OB→－OA→)－(OD→－OC→)－(OC→－OA→)＋

(OD→－OB→)＝OB→－OA→－OD→＋OC→－OC→＋OA→＋OD→－OB→＝0.(2)OA→－OD→＋AD→＝OA→＋AD→－OD→＝OD→－OD→＝0．(3)AB→＋DA→＋BD→－BC→－CA→＝AB→＋DA→＋

BD→＋CB→＋AC→＝(AB→＋BD→)＋(AC→＋CB→)＋DA→＝AD→＋AB→＋DA→＝AD→＋DA→＋AB→＝0＋AB→＝AB→．考法三向量的数乘的运算【例3-1】（2020·全国高一课时练习）把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积：（1）3ae，6be；（2）8ae

，14be；（3）23ae，13be；（4）34ae，23be．【答案】（1）2ba；（2）74ba；（3）12ba；（4）89ba．【解析】（1）623bee，2ba；（2）71484

bee，74ba；（3）112()323bee，12ba；（4）283()394bee，89ba．【例3-2】（2020·全国高一课时练习）如图，OADB是以向量,OAaOBb

为边的平行四边形，又11,33BMBCCNCD，试用,ab表示,,OMONMN．【答案】1566OMab，2233ONab，1126MNab【解析】14222,()33333CNCDONOCOAOB

ab11,,36BMBCBMBA1()6OMOBBMOBOAOB1566ab1126MNONOMab【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）计算：（1）(3)4a；（2）3()2()ababa；（3）

(23)(32)abcabc．【答案】（1）12a；（2）5b；（3）52abc.【解析】（1）原式(34)12aa；（2）原式33225ababab；（3）原式233252abcabcabc．2．（202

0·全国高一课时练习）化简：（1）522423abba；（2）634abcabc；（3）113256923abaab；（4）xyabxyab.【答案】（1）22ab；（

2）102210abc；（3）132ab；（4）2()xyb【解析】（1）522423101081222abbaabbaab.（2）6346186444102210abcabcabcabcabc

.（3）1115113256932693232262abaababaabab.（4）2xyabxyabxyxyaxyxybxyb

.3．（2020·全国高一课时练习）如图，解答下列各题：（1）用,,ade表示DB；（2）用,bc表示DB；（3）用,,abe表示EC；（4）用,dc表示EC．【答案】（1）DBdea．（2）DBbc．（3）ECeab．（4）E

Ccd．【解析】由题意知，ABa，BCb，CDc，DEd，EAe，则（1）DBDEEAABdea．（2）DBCBCDBCCDbc．（3）ECEAABBCeab．（4）()ECCECDDEc

d．考法四向量的共线定理【例4-1】（2020·全国高一课时练习）判断向量,ab是否共线(其中1e,2e是两个非零不共线的向量):(1)113,9aebe;(2)121211,3

223aeebee;(3)1212,33aeebee.【答案】(1)共线，(2)共线，(3)不共线.【解析】(1)∵113,9aebe,∴3ba,∴,ab共线.(2)∵1211,23aee

12121132623beeee,∴6ba,∴,ab共线.(3)假设()baR,则121233eeee,∴12(3)(3)0ee.∵12,ee不共线,∴30,30.

此方程组无解.∴不存在实数,使得ba,∴,ab不共线.【例4-2】（2020·全国高一课时练习）(1)已知向量12,ee不共线,若12210ABee,1228BCee,123CDee

,试证:,,ABD三点共线.(2)设12,ee是两个不共线向量,已知122ABeke,123CBee,122CDee,若,,ABD三点共线,求k的值.【答案】(1)见解析(2)-8【解析】(1)

1212122835BDBCCDeeeeee，12210ABee，2ABBD，BD与AB共线.又BD与AB有公共点B，,,ABD三点共线.(2)121212234BD

CDCBeeeeee.,,ABD三点共线，,ABBD共线.∴存在实数使ABBD，即121224ekeee.12(2)(4)eke.1e与2e不共线，24k

，，8k.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）判断下列各小题中的向量a,b是否共线（其中12,ee是两个非零不共线向量）．（1）115,10aebe；（2）121211,3223aeebee；（3）1212,33aeebee．【答案】(1)a与b

共线；(2)a与b共线；(3)a与b不共线．【解析】（1）∵2ba，∴a与b共线．（2）∵16ab，∴a与b共线．（3）设ab，则121233eeee，∴12(13)(13)0ee．∵1e与2e是两个非零

不共线向量，∴130，130．这样的不存在，∴a与b不共线．2．（2020·新泰市第二中学高一期中）设,ab是不共线的两个非零向量.（1）若233OAabOBabOCab，，，求证：ABC，，三点共线；（2）若8akb与2kab共线，求实

数k的值；（3）若232ABabBCabCDakb，，，且ACD，，三点共线，求实数k的值.【答案】（1）证明见解析；（2）4.（3）43k.【解析】证明：（1）22ABOBOAabACOCOAab，，所以ACA

B.又因为A为公共点，所以ABC，，三点共线.（2）设82akbkabR，，则82kk，，解得42k，或42k，，所以实数k的值为4.（3）2332ACABBCababab，

因为ACD，，三点共线，所以AC与CD共线.从而存在实数使ACCD，即322abakb，得322.k，解得324.3k，所以43k.3．（2020·洛阳市）O为ABC内一点，且20OAOBOC，ADtAC，若B

，O，D三点共线，则t的值为（）A．13B．14C．12D．23【答案】A【解析】由ADtAC有()ODOAtOCOA,所以(1)ODtOCtOA,因为B，O，D三点共线,所以BOOD,则2(1)OAOCtOC

tOA,故有2(1){1tt,13t,选A.