【文档说明】2021年人教版高中数学必修第二册(精讲)8.5《空间直线、平面的平行》（解析版）.doc，共(22)页，1.561 MB，由MTyang资料小铺上传

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8.5空间直线、平面的平行（精讲）思维导图考法一线面平行【例1-1】（2021·海原县第一中学高一期末）如图，正方体1111ABCDABCD中，E为1DD中点．求证：常见考法1//BD平面AEC．【答案】证明见解析.【解析】证明：连结BD与AC交于点H，

连结HE.在1BDD中，,EH分别为1DD、BD的中点.得1//EHBD.又因为1BD平面AEC，EH平面AEC，所以1//BD平面AEC【例1-2】（2020·浙江高一期末）如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，PD面ABCD，E

、F分别为PA、BC的中点．（1）求证：//EF面PCD；（2）若2AB，1ADPD，求三棱锥PBEF的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）112.【解析】（1）如下图所示，取PD的中点M，连接EM、CM，因为四边形ABCD

为矩形，则//ADBC且ADBC，E、M分别为PA、PD的中点，则//EMAD且12EMAD，F为BC的中点，所以，//EMCF且EMCF，所以，四边形CMEF为平行四边形，所以，//EFCM，EF平面PCD，CM平面PCD，//EF平面PCD

；（2）如下图所示，连接AF，取AD的中点N，连接EN，E为PA的中点，所以，点P、A到平面BEF的距离相等，所以，PBEFABEFEABFVVV，E、N分别为PA、AD的中点，则//ENPD且1

122ENPD，PD平面ABCD，EN平面ABCD，ABF的面积为111122222ABFSABBF△，因此，11111332212PBEFABEFEABFABFVVVSEN△.【一隅三反】1．（2020·陕西西安市·

高一期末）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，ABBC，D为AC的中点，12AAAB，3BC．求证：1//AB平面1BCD；【答案】详见解析【解析】如图所示：连接1BC与1CB交于点O，连接OD，因为O，D为中点，所以1//ODAB，又OD平面1BCD，1AB

平面1BCD，所以1//AB平面1BCD；2．（2021·全国高一课时练习）如图，在三棱锥SABC中，已知SAC是正三角形，G为SAC的重心，D，E分别为SC，AB的中点，F在AB上，且13AFAB.求证：//DE平面SGF【答案】证明见解析【解析】证明：连

接AD，∵D为SC的中点，G为SAC的重心，∴点G一定在AD上，且23AGAD，∵E为AB的中点，∴12AEAB，又13AFAB，∴12AEAB，即23AFAE，∴AGAFADAE，则//GFDE，∵GF平面SGF，DE平面SGF，∴//DE平面S

GF；3．（2020·咸阳市高新一中高一月考）正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P，Q，且APDQ．求证：//PQ平面BCE．【答案】证明见解析.【解析】如图所示，//P

MAB交BE于M，作//QNAB交BC于N，连接MN．正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，AEBD．又APDQ，PEQB．又////PMABQN，PMPEQBABAEBD，QNBQDCBD，PMQNABDC

．//PMQN且PMQN，即四边形PMNQ为平行四边形，//PQMN．又MN平面BCE，PQ平面BCE，//PQ平面BCE．考法二面面平行【例2】（2021·全国高一课时练习）如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，

F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：（1）直线EG//平面BDD1B1；（2）平面EFG//平面BDD1B1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG//SB.又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD

1B1，所以直线EG//平面BDD1B1.（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG//SD.又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，所以FG//平面BDD1B1，由（1）有直线EG//平面BDD1B1；又

EG平面EFG，FG平面EFG，EG∩FG=G，所以平面EFG//平面BDD1B1.【一隅三反】1．（2021·全国高一专题练习）下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是A．B．C．D．【答案】B【解析】B中，可证AB∥

DE，BC∥DF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF．又AB∩BC＝B，所以平面ABC∥平面DEF．故选B．2．（2021·全国高一课时练习）如图：在正方体1111ABCDABCD中，E为1DD的中点.（1）求证：1//BD

平面AEC；（2）若F为1CC的中点，求证：平面//AEC平面1BFD.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）连结BD交AC于O，连结EO.∵因为1111ABCDABCD为正方体，底面ABCD为正方形，对角线AC､

BD交于O点，所以O为BD的中点，又因为E为1DD的中点，在1DBD△中∴OE是1DBD△的中位线∴1//OEBD；又因为OE平面AEC，1BD平面AEC，所以1//BD平面AEC.（2）证明：因为F

为1CC的中点，E为1DD的中点，所以1//CFED，所以四边形1CFDE为平行四边形，所以1//DFEC，又因为EC平面AEC，1DF平面AEC，所以1DF∥平面AEC；由（1）知1//BD平面AEC，又因为1

11BDDFD，所以平面//AEC平面1BFD.3．（2021·全国高一）如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、PA的中点，AC、BD交于点O.（1）求证：平面//PBC平面EFO；（2）求三棱锥AEFO

与四棱锥PABCD的体积之比.【答案】（1）证明见解析；（2）116【解析】（1）∵四边形ABCD为平行四边形，E、F为PD、PA的中点，AC、BD交于点O，∴////EFADBC，又∵EF平面PBC，BC平面PBC，∴//EF平面PBC，又OE是PBD△的中位线，

∴//OEPB，又OE平面PBC，PB平面PBC，∴//OE平面PBC，∵EF平面EFO，OE平面EFO，EFOEE，∴平面//PBC平面EFO.（2）∵E、F、O为PD、PA、AC的中点，∴A

EFOEAFOVV，14AFOACPSS，∴18AEFOEAFODPACDPACVVVV，又12DPACPACDPABCDVVV，∴116AEFOPABCDVV.考法三平行的综合运用【例3】（2020·

全国高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析

.【解析】（1）取BB1的中点M，连接HM、MC1，四边则HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1．又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1．（2）取BD的中点O，连接EO、D1O，则OE∥1DC，OE＝112DC．又D1G∥DC，D1G＝12DC，∴OE∥D1G，OE＝D1G

，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O．又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D．（3）由（1）知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1、HD1⊂平面HB1D1，BF、BD⊂平面BDF

，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H．【一隅三反】1．（2021·全国高一）已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是（）A．若//a，b，则//abB．若//a，//b，则//abC．若//ab，b，则//aD．若//ab，//a，则//b

或b【答案】D【解析】对于A，若//a，b，则//ab或a与b异面；所以A错；对于B，若//a，//b，则//ab或a与b相交或a与b异面；所以B错；对于C，若//ab，b，则//a或a，所以C错；对于D，因为//a，所以在内存在直线c使得

//ac，因为//ab，所以//bc，因为c，所以b或b，当b时，因为c，//bc，所以//b，故D正确；故选：D．2．（2021·全国高一课时练习）设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则//的一个充分条件是（）A．存在一条直线a，//a

，//aB．存在一条直线a，a，//aC．存在两条平行直线a、b，a，b，//a，//bD．存在两条异面直线a、b，a，b，//a，//b【答案】D【解析】对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不

一定平行.故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，在直线b上取点B，过点B和直线a确定一个平面，交平面于a

，因为//a，所以//aa；又a，a，所以//a，又因为//b，baB，b，a，所以//；故选：D3．（2020·北京大兴区·高一期末）如图所示，在四棱锥PABCD中，//BC平面PAD，12BCAD，E是PD的中点.（1）求证：//B

CAD；（2）求证：//CE平面PAB；（3）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使//MN平面PAB？说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在；理由见解析.【解析】证明：（1）在四棱锥PABCD中，//BC平面PAD，BC平面A

BCD，平面ABCD∩平面PADAD，∴//BCAD；（2）取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点，∴//EFAD，12EFAD，又由（1）可得//BCAD，12BCAD，∴//BCEF，BCEF，∴四边形BCEF是平行四边形，∴//CEBF，∵CE平

面PAB，BF平面PAB，∴//CE平面PAB.（3）取AD中点N，连接CN，EN，∵E，N分别为PD，AD的中点，∴//ENPA，∵EN平面PAB，PA平面PAB，∴//EN平面PAB，又由（2）可得//CE平面PA

B，CEENE，∴平面//CEN平面PAB，∵M是CE上的动点，AN平面CEN，∴//MN平面PAB，∴线段AD上存在点N，使//MN平面PAB.考法四线面、面面平行的性质【例4-】（2020·全国高一课时练习）在如图所示的几何体中，D、H、G

分别是AC、BF、CE的中点，//EFDB．求证：//GH平面ABC．【答案】证明见解析【解析】证明：已知G，H分别是EC和FB的中点，再取CF的中点O，则OGEF//，又//EFDB，//OGBD，而BD平面

ABC，//OG平面ABC．同理，//OHBC，而BC平面ABC，//OH平面ABC．OGOHO，平面//OGH平面ABC，OG平面OGH，//GH平面ABC.【例4-2】（2020·全国高一课时练习）如图，在三棱柱111ABCABC中

，点D为AC的中点，点1D是11AC上的一点，若1BC//平面11ABD，则1111ADDC（）A．12B．1C．2D．3【答案】B【解析】若1BC//平面11ABD，则11111ADDC.①当点1D满足11111ADDC时，

由平行四边形11ADCD，可得1DC//1AD.又1DCQ平面11ABD，1AD平面11ABD，1DC//平面11ABD.同理DB//平面11ABD，又1DBDCDQ，∴平面1BDC//平面11ABD，1BC//平面11ABD，满

足已知条件.②假设点1D不是线段11AC的中点由1BC//平面11ABD，则可取线段11AC的中点E，由①可知，平面1BDC//平面1ABE，∴平面11ABD//平面1ABE，与平面11ABD平面11ABEAB相

矛盾，因此假设不成立，故点1D是线段11AC的中点.故选：B.【一隅三反】1．（2020·北京人大附中高一期末）如图，在直三棱柱111ABCABC中，2BAC，11AAABAC，1CC的中点为H，点N在棱11AB上，//HN平面1ABC，则111ANAB的值为________.【答案

】12【解析】取111,BBAB中点,MN，连接,HMMN，故MHBC，1MNAB∥，又,MHMH在平面1ABC外，,BCMN平面1ABC所以MH∥平面1ABC，MN∥平面1ABC，又,MHMH相交在平面HMN内，故平面1ABC平面HMN，即//HN平面1ABC，故1111

2ANAB.故答案为：12.2．（2021·全国高一课时练习）已知平面//平面，过点P的直线m与，分别交于A，C两点，过点P的直线n与，分别交于B，D两点，且6PA，9AC，8PD，则BD的长为___________.【答案】245或24【解析】如图：当点P在两平面

之外即在CA延长线上时，因为平面//平面，平面平面PCDAB，平面平面PCDCD，所以//ABCD，所以PAPBACBD，因为6PA，9AC，8PD，所以689BDBD，解得245BD，如图：当点P在两平面之间即在线段CA上时，因为平面//平面，

平面平面PCDAB，平面平面PCDCD，所以//ABCD，所以PAPBPCPD，因为6PA，963PCACPA，8PD，所以638PB，解得16PB，所以16824BDPBPD，综上所述：BD的长为245或24，故答案为：245或243．（2020·

河南高一月考）如图，一个侧棱长为l的直三棱柱111ABCABC容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱AC，BC，11BC，11AC的中点D，E，F，G．（1）求证：平面//DEFG平面1

1ABBA；（2）当底面ABC水平放置时，求液面的高．【答案】（1）证明见解析；（2）34l.【解析】（1）证明：∵D，E分别为棱AC，BC的中点，∴DE是ABC的中位线，即//DEAB．又DE平面11ABBA，ABÌ平面11ABBA，∴//DE平面11

ABBA．同理，DG//平面11ABBA，又DEDGD，DE平面DEFG，DG平面DEFG，∴平面//DEFG平面11ABBA．（2）由（1）可知，当直三棱柱111ABCABC容器的侧面11AABB水平放置时，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱111ABC

ABC容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，ABC的面积为S，由已知，有CDECAB△△且14CDESS△，所以34ABEDSS．由于液体体积前后不变，所以34ABEDVShSlSl，即34hl．∴

当底面ABC水平放置时，液面的高为34l．4．（2020·浙江杭州市·高一期末）如图，正三棱柱111ABCABC的底面边长为2，高为32，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P在棱11AC上，点Q在棱11BC上．（Ⅰ）证明：11//PQAB；（Ⅱ）当点P为棱11AC的中点时，求四棱锥CABQ

P的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）34.【解析】（1）因为平面//ABC平面111ABC，平面ABC平面ABQPAB，平面ABQP平面111ABCQP，所以//ABPQ，又因为11//ABAB，所以11//PQAB.（2）由点P为棱11AC的中点，可得Q为11B

C的中点，取PQ的中点F，分别连接CQ，CP和CF，因为正三棱柱111ABCABC，所以CQCP，则CFQP，取AB的中点H，连接,FHCH，在等边ABC中，因为2AB，可得3CH在等腰梯形ABQP中，72,1,2ABPQAPBQ

，可得62FH，连接CF，在直角CPF中，71,22CPPF，可得2262CFCPPF，所以222CFFHCH，可得CFFH，因为QPFHH，所以CF平面ABQP，即四棱锥CABQP的高为62CF，又由梯形ABQP的面积为11636()(21)2

224SABPAFH，所以四棱锥CABQP的体积为11366333424VSh.