2021年人教版高中数学选择性必修第二册精练:拓展三《含参函数单调性的分类讨论》(解析版)

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以下为本文档部分文字说明:

拓展三含参函数单调性的分类讨论【题组一导函数为一根】1.(2020·南宁市银海三美学校期末)设函数1lnfxaxx.讨论函数fx的单调性;【答案】(1)fx在10,a上单调递减,在1,a上单调递增;(2)1

33,e.【解析】10axfxxx当0a时,0fx,∴fx在0,上单调递减;当0a时,令0fx,则1xa,∴当10xa时,0fx;当

1xa时,0fx,∴fx在10,a上单调递减,在1,a上单调递增;2.(2020·重庆高二月考)已知函数2()2ln2fxxmxm,mR.(1)讨论函数()fx的单调性;(2)若函数()fx有极小值,求该极小值的取值范围.【答案】(

Ⅰ):当0m时,函数fx的单调递增区间为0,;当0m时,函数fx的单调递增区间为,m,单调递减区间为0,m;(Ⅱ)2,e【解析】(Ⅰ)函数fx的定义域为0,

,2222xmmfxxxx,①当0m时,0fx,函数fx在0,内单调递增,②当0m时,令0fx得xm,当0xm时,0fx,fx单调递减;当xm时,0fx,fx单调递增;综上所述:当0m时

,函数fx的单调递增区间为0,;当0m时,函数fx的单调递增区间为,m,单调递减区间为0,m.(Ⅱ)①当0m时,0fx,函数fx在0,内单调递增,没有极值;②当0m时,函数fx的单调递增区间为,m,单调递

减区间为0,m,所以ln1fxfmmm极小值,记ln1,0hmmmm,则2lnhmm,由0hm得2me,所以22222lnhmheeeee

,所以函数fx的极小值的取值范围是2,e3.(2020·四川乐山·高二期中(理))已知函数(),()lnxfxegxxax.讨论()gx的单调性;【答案】分类讨论,详见解析【解析】()gx定义域为(0,),因为(

)1axagxxx,若0a…,则()0gx,所以()gx在(0,)单调递增,若0a,则当(0,)xa时,()0gx,当(,)xa时,()0gx,所以()gx在(0,)a

单调递减,在(,)a单调递增.4.(2020·四川达州·高二期末(理))已知aR,函数lnfxxax,212gxxax.(1)讨论fx的单调性;(2)记函数hxgxfx,求hx在1,12

上的最小值.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析.【解析】(1)ln0fxxaxx,则1axafxxx.当0a时,当0,x时,0fx,函数yfx单调递增;当0a时,当,xa时,0fx,函数

yfx单调递增,当0,xa时,0fx,函数yfx单调递减.综上所述,当0a时,函数yfx的单调递增区间为0,;当0a时,函数yfx的单调递减区间为0,a,单调递增区间为,a;(2)21ln2hxgxfxxa

xxax,1,12x,2111xaxaxaxahxxaxxx.①当1a时,对任意的1,12x,0hx,函数yhx单

调递增,所以,函数yhx在1,12上的最小值为min13ln2282ahxha;②若12a,对任意的1,12x,0hx,函数yhx单调递减,所以,函数y

hx在1,12上的最小值为min112hxha;③若112a时,当1,2xa时,0hx,函数yhx单调递增,当,1xa时,0hx,函数yhx单调递减,又因为13ln2282aha

,112ha,13111ln2ln2282282aahhaaa.(i)当1ln2082aa时,即当1128ln24a时,112hh,此时,函数yhx在区间1,12

上的最小值为min112hxha;(ii)当1ln2082aa时,即当118ln24a时,112hh.此时,函数yhx在区间1,12上的最小值为min13l

n2282ahxha.综上所述,min31ln2,828ln2411,28ln24aaahxaa.5.(2020·四川省绵阳江油中学高二期中(文))设函数f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=1eexx,其中a∈R,e=

2.718…为自然对数的底数.讨论f(x)的单调性;【答案】当x10,)2a(时,'()fx<0,()fx单调递减;当x1+)2a(,时,'()fx>0,()fx单调递增;【解析】2121()2(0).axfxa

xxxx0a当时,()fx<0,()fx在0+(,)内单调递减.0a当时,由()fx=0有12xa.当x10,)2a(时,()fx<0,()fx单调递减;当x1+)2a(,时,()fx>0,()fx单调递增.【题

组二导函数为两根】1.(2020·黄梅国际育才高级中学高二月考(文))已知函数2()ln(21)fxxaxax.讨论()fx的单调性;【答案】见解析【解析】f(x)的定义域为(0,+),‘1211)22(1

xaxfxaxaxx.若a≥0,则当x∈(0,+)时,’)(0fx>,故f(x)在(0,+)单调递增.若a<0,则当x∈’)(0fx>时,’)(0fx>;当x∈1()2a,时,’)(0fx.故f(x)在’)(0fx

>单调递增,在1()2a,单调递减.2.(2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试(理))已知函数22()lnfxaxaxx,实数0a.讨论函数()fx在区间(0,10)上的单调性;【答案】见解析;【解析】由题知()fx的定义域为(0,),2222(2)(1)()aax

axfxaxxx.∵0a,20ax,∴由()0fx可得1xa.(i)当10,10a时,110a…,当(0,10)x时,()0,()fxfx单递减;(ii

)当1,10a时,110a,当10,xa时,()0fx,()fx单调递减;当1,10xa时,()0fx,()fx单调递增.综上所述,10,10a时,()fx在区间(0,10)上

单调递减;当1,10a时,()fx在区间10,a上单调递减,在区间1,10a上单调递增.3.设函数2122xfxxeaxax,讨论fx的单调性;【答案】见解

析【解析】(1)由题意得,1xxRfxxea,当0a时,当,1,0xfx;当1,x时,0fx;fx在,1单调递减,在1,单调递

增,当0a时,令0fx得1,lnxxa,当ae时,,1,0xfx;当1,lnxa时,0fx;当ln,xa时,0fx;所以fx在,1,ln,a

单调递增,在1,lna单调递减;②当ae时,0fx,所以fx在R单调递增,③当0ea时,,ln,0xafx;当ln,1xa时,0fx;

当1,x时,0fx;∴fx在,ln,1,a单调递增,在ln,1a单调递减;4.已知函数22()lnfxxaxax()aR,求函数fx的单

调区间【答案】见解析【解析】函数fx的定义域为0,.222121()2axaxfxaaxxx.若0a,1()0fxx.所以函数fx的单调递增区间为0,;若0a,令

(21)(1)()0axaxfxx,解得112xa,21xa.当0a时,fx,fx的变化情况如下表x10,a1a1,afx0fx单调递增极大值单调递减函数y

fx的单调递增区间是10,a,单调递减区间是1,a;当0a时,fx,fx的变化情况如下表x10,2a12a1,2afx0fx单调递增极大值单调递减函数

yfx的单调递增区间是10,2a,单调递减区间是1,2a.综上所述:0a,fx的单调递增区间为0,;0a,单调递增区间是10,a,单调递减区间是1,a;0a,单调递增区间是10,2a,单调递减区间是1

,2a【题组三不能因式分解】1.已知函数221()ln()xfxaxaRx,讨论()fx的单调性;【答案】见解析【解析】()fx的定义域为(0,),1()2lnfxxaxx21()2fxx2221axaxxx,对于2210xax

,28a,当[22,22]a时,()0fx,则()fx在(0,)上是增函数.当(,22)a时,对于0x,有()0fx,则()fx在(0,)上是增函数.当(22,)a

时,令()0fx,得2804aax或284aax,令()0fx,得228844aaaax,所以()fx在28(0,)4aa,28(,)4aa上是增函数,在2288(,)44aaaa上是减函数.综上,当(,22]a

时,()fx在(0,)上是增函数;当(22,)a时,()fx在28(0,)4aa,28(,)4aa上是增函数,在2288(,)44aaaa上是减函数.2.已知函数4ln02xafxaxax,讨论fx的单调性;【答案】见解析【解析

】4ln02xafxaxax=>,222214402aaxxafxaxxxx==>.令24gxaxxa=--.2116a=-.若21160a=-,即14a,则0gx,即0fx,∴fx

在0,上单调递减;若21160a=->,即104a.由240gxaxxa=--=,解得21111602axa,22111602axa.∴当12(0,)(,)xxxU时,0gx,即0fx′,fx在2211161116),(,)220a

aaa(,上单调递减;当12(,)xxx时,0gx,即0fx′,fx在22()1116111622aaaa,上单调递增;3.已知函数2ln1fxxax,0a,讨论函数fx的单调性;【答案】见解析【解析】21

221'211axaxfxaxxx,1x,令2221gxaxax,24842aaaa,若0,即02a,则0gx,当1,x时,'0fx,fx单调递增,若0

,即2a,则0gx,仅当12x时,等号成立,当1,x时,'0fx,fx单调递增.若0,即2a,则gx有两个零点122aaaxa,222aaaxa,由1010gg,102g得1

21102xx,当11,xx时,0gx,'0fx,fx单调递增;当12,xxx时,0gx,'0fx,fx单调递减;当2,xx时,0gx,'0fx,fx单调递增.综上所述,当02a时,fx在1,

上单调递增;当2a时,fx在21,2aaaa和2,2aaaa上单调递增,在22,22aaaaaaaa上单调递减.

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