【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)4.4《数学归纳法》（解析版）.doc，共(13)页，751.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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4.4数学归纳法思维导图常见考法考点一增项问题【例1】（2020·浙江海曙·效实中学）用数学归纳法证明123213521nnnnnnnnN的过程中，当n从k到1k时，等式左边应增乘的式子是（）A．

21kB．2122kkC．21221kkkD．221kk【答案】C【解析】当nk时，等式左边12kkkk，当1nk时，等式左边232122kkkkkk，因此，当n从k到1k时，

等式左边应增乘的式子为2321222122121kkkkkkkkkkkkk.故选：C.【一隅三反】1．（2020·上海市市西中学月考）1111112312nfnnn

(*nN)，那么1fkfk共有（）项.A．21kB．2kC．21kD．以上都不对【答案】B【解析】1111111121222212222kkkkkkkfkfk

，共有2k项．故选：B．2．（2020·江西期末（理））用数学归纳法证明不等式111131214nnnn的过程中，由nk递推到1nk时，不等式左边（）A．增加了121kB．

增加了112122kkC．增加了11211kkD．增加了11121221kkk【答案】D【解析】用数学归纳法证明不等式111131214nnnn的过程中由nk时，111131214kk

kk，①当1nk时，左边111(1)1(1)2(1)(1)kkkk，111111()1212122kkkkkkk，②，②①得：左边12122211kkk

.故选：D.3．（2020·甘肃省会宁县第二中学）用数学归纳法证明等式2135(21)nn（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．2135(2

1)kkB．2135(21)(1)kkC．2135(21)(2)kkD．2135(21)(3)kk【答案】B【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到213

5(21)(1)kk4．（2020·浙江绍兴·高一期末）用数学归纳法证明“11111(12322nnnnn*)N”，由nk到1nk时，不等式左边应添加的项是（）A．121kB．122kC．112122kk

D．11121221kkk【答案】D【解析】当nk时，不等式左边为11111232kkkk当1nk时，不等式左边为11111123422122kkkkkk1111111123221221kkkk

kkk即由nk到1nk时，不等式左边应添加的项是11121221kkk故选：D考点二等式的证明【例2】．（2020·镇原中学高二期中（理））用数学归纳法证明

2222*121123N6nnnnn.【答案】见解析【解析】证明：①当1n时，左边211，右边11121116，等式成立；②假设当*Nnkk时等式成立，即2222

*121123N6kkkkk.那么，222222121123116kkkkkk2212761216166kkkkkkk12236kkk

*111211N6kkkk即当1nk时等式也成立.由①②知，等式对任何*Nn都成立.【一隅三反】1．（2020·福建高二期中（理））用数学归纳法证明等式112222211234112nnnnn.【答案

】证明见解析【解析】①当1n时，左边211，右边012112，左边右边，原等式成立；②假设当1,nkkkN时等式成立，即有112222211234112kkkkk，那么，当1nk时，12222221234111

kkkk121121111111222kkkkkkkkkkkk，所以当1nk时，等式也成立，由①②知，对任意n

N，都有112222211234112nnnnn.2．（2020·广西钦州·高二期末（理））用数学归纳法证明：2*1427311nnnnnNL.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）要证明3725

成立，只需证明223725成立，即证明1022120成立，只需证明215成立，即证明2125成立，因为2125显然成立，所以原不等式成立，即3725；（2）①当1n时，314n，等式左边144

，右边2124，等式成立；②设当nk时，等式成立，即21427311kkkkL，则当1nk时，21427310311341134kkkkkkkkL

22134111kkkkkk，即1nk成立，综上所述，21427311nnnn．考点三不等式的证明【例3】．（2019·浙江省春晖中学高二月考）用数学归纳法证明：

1111ln12321nnnnnN.【答案】证明见解析【解析】先证明出nN，1111ln1221nnnn，即111ln10221nnn

，构造函数ln1221xxfxxx，当0x时，则2221110212121xfxxxx，所以，函数yfx在0,上单调递增，则11

11ln101221nfnnnn，则111ln1221nnn，即1111ln1221nnnn，即1111l

n1221nnnn，对任意的kN，当1nk时，1111ln1112122kkkk.当1n时，左边1，右边14，左边右边；假设当nkkN时，不等式成立，即1111ln12321kk

kk.则当1nk时，则11112111ln1ln2312112122kkkkkkkkk1ln222kkk.这说明，当1nk时，原不等式也成

立.综上所述，对任意的nN，1111ln12321nnnn.【一隅三反】1．（2020·安徽高二期中（文））证明：不等式*11111123422nnnN，恒成立.【答案】见解析【

解析】当1n时，112成立假设nk时，不等式11111123422kk成立那么1nk时111111111111112342212222212kkkkkkk111212kk，111222kk，，1122kk111111

11111211234221222222kkkkkkkk即1nk时，该不等式也成立综上：不等式*11111123422nnnN，恒成立.2．（2020·安徽蚌山·蚌埠二中（理））试用数学归纳法证明22211111

23(1)22nn.【答案】证明见解析【解析】（1）当1n时，左边＝14，右边＝16，不等式成立；（2）假设当*nkkN时，原不等式成立，即2221111123(1)22kk，当1nk时，2222211111112

3(1)(2)22(2)kkkk∵222111111111022(2)2332(2)3(2)kkkkkkkk∴21111122(2)23kkk．即222211

111123(1)(2)23kkk，所以，当1nk时，不等式也成立．根据（1）和（2）可知，不等式对任意正整数都成立，故原不等式成立．考点四整除问题【例4】（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：2211112n

n能被133整除*nN．【答案】见解析【解析】证明：①当1n时，221211121112133nn能被133整除，所以1n时结论成立，．②假设当*nkkN时，2211112

kk能被133整除，那么当1nk时，3212212111211111212kkkk221212121111121112111212kkkk2212111111213312kkk．由归纳假设可知2212111111213

312kkk能被133整除，即3211112kk能被133整除．所以1nk时结论也成立综上，由①②得，2211112nn能被133整除【一隅三反】1．（2020·上海高二课时练习）求证：121*(1)nnaanN

能被21aa整除．【答案】证明见解析.【解析】当n=1时，1212(1)1nnaaaa能被21aa整除，假设当,1,*nkkkN,时121121(1)(1)nnkkaaaa

能被21aa整除，则当1nk时，221121221(1)(1)1(1)kkkkkaaaaaaaa，其中121(1)kkaa能被21aa整除，

所以121(1)kkaaa能被21aa整除，所以121221(1)1(1)kkkaaaaaa能被21aa整除，即当1nk时，121*(1)nnaanN能被21aa整除，所以121*(1)nnaanN能被21a

a整除.2．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：对任意正整数,4151nnn能被9整除．【答案】见解析【解析】证明：（1）当1n时，4151nn18，能被9整除，故当1n

时，4151nn能被9整除．（2）假设当nk时，命题成立，即4151kk能被9整除，则当1nk时，1415(1)1441519(52)kkkkk也能被9整除.综合(1)(2)可得,对任意正整数,4151nnn能被9整除．考点五数归在数列的应用【

例5】．（2020·江西高二期末（理））设数列na的前n项和为nS，且对任意的正整数n都满足21nnnSaS．（1）求1S，2S，3S的值，猜想nS的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的nS的表达式的正确性．【

答案】（1）112S，223S，334S，1nnSn，*nN；（2）证明见解析．【解析】（1）当1n时，22111SS，∴112S，当2n时，211nnnnSSSS，∴112nnSS，

∴223S，334S，猜想1nnSn，*nN；（2）下面用数学归纳法证明：①当1n时，112S，112nn，猜想正确；②假设nk时，猜想正确，即1kkSk，那么当1nk时，可得

111121121kkkSkSkk，即1nk时，猜想也成立．综上可知，对任意的正整数n，1nnSn都成立．【一隅三反】1．（2019·浙江余姚中学高二期中）已知数列na的

前n项和为nS，214a，且1*1122nnnaSnnN.（1）求12S、24S、38S；（2）由（1）猜想数列2nnS的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）112S，244S，398S；（2）猜想

2*2nnSnnN，证明见解析.【解析】（1）1*1122nnnaSnnN，当1n时，1111112aSS，解得12S，即有112S；当2n时，22121121422aSSS，解得216S

，则244S；当3n时，2332311223aSSS，解得372S，则398S；（2）由（1）猜想可得数列2nnS的通项公式为2*2nnSnnN．下面运用数学归纳法证明．①当1n

时，由（1）可得112S成立；②假设*nkkN，22kkSk成立，当1nk时，1111111221kkkkkaSSSk，即有221112221221kkk

kkkSSkkk，则1111221kkkSkkk，当1k时，上式显然成立；当1k时，221121212kkkSkk，即

21112kkSk，则当1nk时，结论也成立．由①②可得对一切*nN，22nnSn成立．2．（2020·浙江高三开学考试）已知等比数列na的公比1q，且23414aaa，31a是2a，4a的等差中项，数列nb满足：

数列nnab的前n项和为2nn．（1）求数列na、nb的通项公式；（2）数列nc满足：13c，*1,nnnnbccnNc，证明*12(2),2nnncccnN【答案】（1）12nna-=，1nbn；（2）详见解

析.【解析】（1）由题意2343241421aaaaaa，得324410aaa，即4410qq，解得2q=或12q，已知1q故2q=．3121aaq，12nna-=．当1n时，112ab，当2n时，112(1)2(1)2nnn

nnabnnn，当1n时，112ab满足上式，1(1)2nnnabn，1nbn．（2）11nnnnccc法1．22212(1)2(1)nnnnccnc

，22212(1)2(1)2(1)nnnnccnnc2221223222122232nnccccccn，累加得当2n，22232[23]2ncnnn，227ncnn

当1n，227ncnn∴2172ncnnn1231351(2)2222222nnnncccnn法2．先用数学归纳法证明当*nN

，12ncn．①当1n时，1133,22cn，左式>右式，不等式成立．②假设nk时，不等式成立，即12kck当1nk时，11kkkkccc，因为1()kfxxx在(1,)k

上单调递增，由112kckk，得12kfcfk，即111122kkckk，可得132kck，不等式也成立．③由①②得证当*nN，12ncn．1231351(2)2222222nnnncccnn

.3．（2020·四川省珙县中学月考）若n1n21(1,2,3,)aan，且11a.（1）求2a，3a，4a，5a，（2）归纳猜想通项公式na，用数学归纳法证明.【答案】（1）23453,7,15,31aaaa；

（2）21nna，证明见解析．【解析】（1）因为n1n21(1,2,3,)aan，且11a.所以22113a，32317a，427115a，5115131a；（2）猜想21nna．可用数学归纳法证明．①1n已成立；②

假设nk时，21kka，则11212(21)121kkkkaa，1nk时，命题也成立，综上对所有正整数n，都有21nna．