【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册（精讲)4.2.1《等差数列的概念》（解析版）.doc，共(10)页，751.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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4.2.1等差数列的概念思维导图考点一判断是否为等差数列【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（）A．1，4，7，10B．lg2,lg4,lg8,lg16常见考法C．543

22,2,2,2D．10，8，6，4，2【答案】C【解析】根据等差数列的定义，可得：A中，满足13nnaa（常数），所以是等差数列；B中，lg4lg2lg8lg4lg16lg8lg2（常数），所以是等差数列；C中，因为453423222

222，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足12nnaa（常数），所以是等差数列.故选：C.【一隅三反】1．（2019·山西应县一中期末（理））若na是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是()A．2naB．1naC．

3naD．na【答案】C【解析】A:22n+1na-a=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．B:n+1n11-aa=n+1n-daa=11-da+nda+n-1d（）（）与n有

关系，因此不是等差数列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；D:当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（）①4，5，6，7，

8，…②3，0，-3，0，-6，…③0，0，0，0，…④1234,,,,10101010…A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】第一个数列是公差为1的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为0的等差数列.第四个是公差为110的等差数列.故有3个等差数列，所以选C.3．（

2020·全国课时练习）已知数列{}na，c为常数，那么下列说法正确的是（）根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可A．若{}na是等差数列时，不一定是等差数列B．若{}na不是等差数列时，一定不是等差数列C．若是等差数列时，{}na

一定是等差数列D．若不是等差数列时，{}na一定不是等差数列【答案】D【解析】当{}na是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A错；对于数列{}na：1，2，4，5，令，则为等差数列，B错；当c为0时，0，0，0，0是等差数列，但

{}na不是等差数列，C错．故选D．考点二求等差数列的项或通项【例2】（1）（2020·兴安县第三中学期中）由1a=4，3d确定的等差数列na，当an=28时，序号n等于（）A．9B．10C．11D．12（2）（2020·广西南宁三中开学考试）在单调递增

的等差数列na中，若31a，2434aa，则1a（）A．1B．12C．0D．12【答案】（1）A（2）C【解析】（1）因为14a，3d，所以1131naandn，所以3128nan，解得9n故选：A（2）因为na是等差数

列，所以3121aad，11334adad，解得：12d，10a故选：C【一隅三反】1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）等差数列na中，37158aaa，83a，则9a（）A．2B．5C

．11D．13【答案】A【解析】因为37158aaa，得13228ad①，又83a，得173ad②，由①②得：1101ad，故9181082aad.故选：A.2．（2020·兴安县第三中学期中）在

数列{}na中，1a=2，12nnaa，则51a的值为（）A．96B．98C．100D．102【答案】D【解析】因为1a=2，12nnaa，所以数列{}na是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2nan，所以51251102a

故选：D3．（2020·广西南宁三中开学考试）数列na中，15a，13nnaa，那么这个数列的通项公式是（）A．31nB．32nC．32nD．31n【答案】B【解析】因为13nnaa，所

以数列na是以5为首项，3为公差的等差数列，则*53132,nannnN.故选：B考点三等差中项【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知132a，132b则a,b的等差中项为（）A．3B．2C．13D．12（2）（202

0·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知0,0ab，并且111,,2ab成等差数列，则9ab的最小值为_________.【答案】（1）A（2）16【解析】（1）13232a，13232b，,ab的等差中项为111223232abA

1323232，故选A.（2）由题可得：111ab，故1199(9)()1916ababababba【一隅三反】1.（2020·广东濠江·金山中学高一月考）在等差数列na中，若28

8aa，则2375aaa___________．【答案】60；【解析】在等差数列na中，288aa，28528aaa，解得54a，2237555()(2)64460aaaaa．故答案为：602．

（2020·全国其他（理））已知数列{}na为等差数列，若2533aaa，且4a与72a的等差中项为6，则5a（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】设{}na的公差为d.数列{}na为等差数列，2533aaa，且4a与72

a的等差中项为6，1111143(2)32(6)12adadadadad，解得11a，1d，5143a．故选：D．3．（2019·兴安县第三中学期中）已知等差数列na的前三项为1,1,23aaa，则此数列的首项1a=_

_____．【答案】1【解析】依题意可得12321aaa，解得0a，故等差数列na的前三项为1,1,3，所以11a故答案为：1考点四证明数列为等差数列【例4】（2019·全国高一课时练习）设数列{an}

满足当n＞1时，an＝1114nnaa，且a1＝15.(1)求证：数列1na为等差数列；(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．【答案】(1)见证

明；(2)a1a2是数列{an}中的项，是第11项．【解析】(1)证明：根据题意a1＝15及递推关系an≠0.因为an＝1114nnaa.取倒数得111nnaa＋4，即111nnaa＝4(n＞1)，

所以数列1na是首项为5，公差为4的等差数列．(2)解：由(1)，得1na＝5＋4(n－1)＝4n＋1，141nan.又121111594541aan，解得n＝11.所以a1a2是数列{an}中

的项，是第11项．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知2()2xfxx，在数列na中，113a，1()nnafa*2,nnN。（1）证明：1na是等差数列。（2）求95a的值。【答案】（1）见解析；（2

）95150a【解析】（1）证明：当2n时，因为1nnafa，所以1122nnnaaa，即1122nnnnaaaa。易知0na，所以11221nnnnaaaa，即11112nnaa。所以1na是首项为113a，公差

为12的等差数列。（2）由（1）知1153122nnna，所以25nan，所以952195550a。2．（2019·全国课时练习）已知数列中，，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项和最小项．【答案】（1）证明

见解析；（2）最小项为且，最大项为且．【解析】（1）因为，，所以又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知，则．设，则在区间和上为减函数．所以当时，取得最小值为－1，当时，取得最大值为3．故数列中的最小项为且，最大项为且．3．（2020·全国高一课时练习）已知

数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝11na.(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】(1)见证明；(2)an＝52nn.【解析】(

1)证明：1111311nnnnaaaa，∴1111113nnaa，即bn＋1－bn＝13，∴{bn}是等差数列．(2)∵b1＝1，∴123,1332nnbnan

∴an＝52nn.考点五等差数列的单调性【例5】（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高二期末（理））设na是等差数列，则“123aaa”是“数列na是递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必

要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在na是等差数列，若123aaa，可得21320daaaa，所以数列na是递增数列，即充分性成立；若数列na是递增数列，则必有123aaa，即必要性成立，所以“12

3aaa”是“数列na是递增数列”的充分必要条件.故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高二）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A．d>3B．d72C．3≤d72D．3<d72【答案】D【解析】an＝﹣

21+（n﹣1）d．∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d72．故选：D．2．（2020·北京怀柔·高二期末）已知数列na为等差数列，则下面不一定成立的是（）A．若21aa，则31aaB．若21aa，则3

2aaC．若31aa，则21aaD．若21aa，则121aaa【答案】D【解析】利用等差数列的单调性可得：若21aa，所以公差0d，所以等差数列na是递增数列，所以3120daa，320daa成立，∴A，B正确；则121aa

a不一定成立，例如10a时不一定成立，∴D不一定成立；若31aa，则3120daa，所以210daa成立，∴C正确.故选：D3．（2020·上海市实验学校高三月考）已知等差数列是递增数列，且，，则的取值范围为___________.【答案】

【解析】∵等差数列是递增数列，且，∴又∵，∴，，，，即的取值范围为，故答案为.