【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册精练：4.4《数学归纳法》（解析版）.doc，共(11)页，556.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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4.4数学归纳法【题组一增项问题】1．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））用数学归纳法证明“221111,N1nnaaaaana”，在验证1n是否成立时，左边应该是()A．1B．1aC．2

1aaD．231aaa【答案】C【解析】用数学归纳法证明“221111,N1nnaaaaana”，在验证1n时，把1n代入，左边21aa.故选：C.2．（20

20·河南洛阳）用数学归纳法证明不等式*111111,223422nnnnN…时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当1n时不等式成立B．从“nk到1nk”左边需要增加的代数式是12kC．从“nk到1nk”左边需要增加2k项D．以上说法都不对

【答案】D【解析】第一步应该验证当2n时不等式成立,所以A不正确；因为11111111111111()2342234221222kkkkk，所以从“nk到1nk

”左边需要增加的代数式是1111121222kkk，所以B不正确；所以从“nk到1nk”左边需要增加12k项，所以C不正确。故选：D3．（2020·陕西省洛南中学高二月考（理））用数学归纳法证明4221232nn

n，则当1nk时，左端应在nk的基础上加上（）A．21kB．21kC．222121kkkD．42112kk【答案】C【解析】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时等式左端=1+2+…+k2+k

2+1+k2+2+…+（k+1）2增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选C．4．（2020·吉林吉林·高二期末（理））用数学归纳法证明等式，123...221nnn时，由nk到1nk时，等式左边

应添加的项是（）A．21kB．22kC．2122kkD．12...2kkk【答案】C【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由nk到1nk时，等式左边增加了123221211232

2122kkkkkk，故选C.5．（2020·山西高二期末（理））用数学归纳法证：11112321nn…（*nN时1n）第二步证明中从“k到1k”左边增加的项数是（）A．21k项B．21k项C．12k项D．2k

项【答案】D【解析】当nk时，左边11112321k…，易知分母为连续正整数，所以，共有21k项；当1nk时，左边111112321k…，共有121k项；所以从“k到1k”左边增加的项数是121(21)2kkk项.故选D6．（2020·吉林

洮北·白城一中高二期末（理））用数学归纳法证明1115......1236nnn时，从nk到1nk，不等式左边需添加的项是（）A．111313233kkkB．11113132331kkkkC．131kD．133k【答案

】B【解析】当nk时，所假设的不等式为1115......1236kkk，当1nk时，要证明的不等式为1111115......2233132336kkkkkk，故需添加的项为：11113132331kkkk

，故选：B.7．（2020·陕西渭滨·高二期末（理））用数学归纳法证明22221132nnn，则当1nk时，左端应在nk的基础上加上（）A．21kB．21kC．222121kkkD．

22122kk【答案】C【解析】当nk时，等式左端212k，当1nk时，等式左端222212121kkkk，增加了项22221231kkkk．故

选：C．【题组二等式的证明】1．（2020·上海高三专题练习）求证：122213521nnnnn.【答案】证明见解析；【解析】当1n时，左边2，右边2，等式成立.假设nk时等式成立，即

12221321kkkkk.那么当1nk时，左边111221kkk2322122kkkkk122212kkk

k213521212kkk1213521211kkk右边.这就是说，当1nk时等式仍成立.综上可知，对一切*nN，等式成立.2．（2020·西藏乃东·山南二中高二月考（理））用数学归纳法证

明：*1351211.nnnnnN【答案】证明见解析【解析】（1）当1n时，左边=-1，右边=-1，等式成立；（2）假设当*nknN时等式成立，即1351211kkkk

，则当1nk时，左边11351211211kkkk11121kkkk11211111kkkkkkk（--)==右边.所以，当1nk时，等式成立；由（1）（2）

可知，对*,1351211nnnNnn.3．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：*(1)(2)12(1)16nnnnnnnN．【答案】证明见解析.【

解析】当1n时，1(11)(12)116，等式成立，假设当nk时，等式成立，即*(1)(2)12(1)16kkkkkkkN则当1nk时，1(1)2(1)1[12(1)1]kkkkkk

(1)(2)(1)(2)(1)(2)(3)[123(1)]626kkkkkkkkk，原等式仍然成立，所以*(1)(2)12(1)16nnnnnnnN4．（

2020·上海高二课时练习）设*nN，证明：2222222(1)(1)11224nnnnnnnn.【答案】证明见解析；【解析】当1n时，左边21110，右边0，故等式成立.假设当nk

时，等式成立，即2222222(1)(1)11224kkkkkkkk，当1nk时，222222221112121111kkkkkkkk

2222221112121kkkkk2222221121222121kkkkkkkk2222221122kkkkk

1221kk21(1)(1)2142kkkkkk322(1)42144kkkkkk3232(1)4kkkk2232(1)2144kkkkkkk.2111114k

kk.所以当1nk时，等式也成立.综上所述，对任意*nN，等式成立.5．（2020·上海高二课时练习）用数学归纳法证明：23333*(1)123,2nnnnN．【答案】证明见

解析【解析】证明：①当1n时，左边1，右边21212，等式成立．②假设当*,1nkkNk…时等式成立，即23333*(1)123,2kkkkN．那么当1nk时，33333

123(1)kk23(1)(1)2kkk2222(2)(1)1(1)44kkkkk2(1)(2)2kk，等式也成立．根据①和②，可知

23333(1)1232nnn对任何*nN都成立．原等式得证.【题组三不等式的证明】1．（2020·上海高三专题练习）用数学归纳法证明：1111123421nn.【答案】证明见解析；【解析

】（1）当1n时，左边1，右边1，不等式成立.（2）假设当nk，*kN时，不等式成立，即有1111123421kk，则当1nk时，左边1111123421k112111221kkk

k111122121kkk，又111122121kkk1212kk即1111123421k112111221kkk1k，即当1n

k时，不等式也成立.综上可得，对于任意*nN，1111123421nn成立.2．（2019·周口市中英文学校高二期中（文））用数学归纳法证明1＋2n≤1＋111232n≤12＋n(n∈N*)．【答案】见解析【解析】

(1)当n＝1时，≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所

有n∈N*都成立．【题组四整除】1．（2020·上海高二课时练习）求证：1(1)nnnxnaxna能被2()xa整除*2,nnN…．【答案】见解析【解析】当2n时，原式2222xaxaxa

，能被2()xa整除；②当nk时，假设11kkkxkaxka，能被2()xa整除*2,nnN…，当1nk时，11(1)kkkxkaxka，211112()kkkkkkxxkaxkakaxkaxak121(1)()

kkkkxxkaxkaxaka121(1),()kkkkxkaxkaxaka均可被2()xa整除，所以当1nk时，命题成立。综上：由①②知1(1)nnnxnaxna能被2()

xa整除【题组五数归在数列中的应用】1．（2020·上海市市西中学月考）数列na满足2(nnSnanN）.（1）计算1234,,,aaaa，并由此猜想通项公式na；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1）12343

7151,,,248aaaa，1212nnna；（2）证明见解析.【解析】（1）123437151,,,248aaaa，由此猜想1212nnna；（2）证明：当1n时，11a，结论成立；假设nk（1k，且kN），结论成立

，即1212kkka当+1nk（1k，且kN）时，11112122kkkkkkkaSSkakaaa，即122kkaa，所以11112122212222kkkkkkaa

，这表明当1nk时，结论成立，综上所述，1212nnnanN.2．（2020·安徽庐江·高二月考（理））各项都为正数的数列na满足11a，2212nnaa.(1)求数列na的通项公式；(2)求证：1211121nnaaa

对一切*nN恒成立．【答案】（1）21nan；（2）见解析【解析】(1)因为2212nnaa，所以数列2na是首项为1，公差为2的等差数列，所以21(1)221nann，又0na，则21nan.(2)证明：由(1)知，即证111213

21nn.①当1n时，左边1，右边1，所以不等式成立；当2n时，左边右边，所以不等式成立．②假设当*2,nkkkN时不等式成立，即11121321kk当1nk

时，左边11111213212121kkkk„2212121kkk2(2121)21212(1)12kkkkk所以当1nk时不等式成立．由①②知对一切*nN不等式恒成立．3．（2020

·浙江高三其他）已知数列na前n项和为nS，且满足11*N1,2,nnnaaSSnn….（1）求数列na的通项公式；（2）记nT为1nnaS的前n项和nN，证明:31421nTnn.【答案】（1

）1,11,21nnannn；（2）证明见解析.【解析】（1）当2n时，由11nnnnnaSSSS，即1111nnnnnnSSSSSS，所以，1111nnSS，又11111Sa

，故数列1nS为首项与公差都为1的等差数列，所以，1nnS，即1nSn，故111nnnaSSnn，而11a，故数列na的通项公式：1,11,21nnannn.（2）由（1）

可得1211nnaSnn，所以，2132122211112231nnnTaSaSaSnn要证明31421nTnn，即证明222111122123341

1nnnn.数学归纳法证明：当1n时，左边211122，右边31142122，不等式成立；假设当nk时，2221111221233411kkkk成立，那么当1nk时，左边222211111

2231111kkkk22231132421412212kkkkkkkkk22213344212212kkkkkkkkkk3142111kk

右边.即当1nk时，不等式也成立；综上，当nN时，不等式2221111221233411nnnn成立，故31421nTnn.