【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册课时分层作业18《函数的最大(小)值与导数》(含解析).doc，共(6)页，103.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时分层作业(十八)函数的最大(小)值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为()A．f

(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)A[令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．]2

．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为()A．16B．12C．32D．6C[∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝

24，f(2)＝－8，可知M－m＝24－(－8)＝32.]3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值为3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()A．0B．－5C．－10D．－37D[因为f(x)＝2x3－6x2＋m，所以f′(x)＝6x2－12x

＝6x(x－2)，可以得到函数在[－2，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数，所以当x＝0时，f(x)＝m为最大值，所以m＝3，即f(x)＝2x3－6x2＋3，所以f(－2)＝2×(－8)－6×4＋3＝－37，f(2)＝－5，

所以最小值是－37，故选D.]4．函数f(x)＝x3－3x在区间(－2，m)上有最大值，则m的取值范围是()A．(－1，＋∞)B．(－1，1]C．(－1，2)D．(－1，2]D[由于f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故函数在(－∞，－1)和(1

，＋∞)上递增，在(－1，1)上递减，f(－1)＝f(2)＝2，画出函数图象如图所示，由于函数在区间(－2，m)上有最大值，根据图象可知m∈(xB，xA]，即m∈(－1，2]，故选D.]5．若函数f(x)＝2x3－6

x2＋3－a对任意的x∈(－2，2)都有f(x)≤0，则a的取值范围为()A．(－∞，3)B．(2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(0，3)C[f(x)＝2x3－6x2＋3－a，f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(

x)＝0，得x＝0，或x＝2.在(－2，0)上f′(x)＞0，f(x)单调递增；在(0，2)上f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(0)＝3－a.因为对任意的x∈(－2，2)都有f(x)≤0，所以f(x)max＝3－a≤0，得a≥3.故选C.]二、填空题6．函数f(

x)＝x－lnx在区间(0，e]上的最小值为________．1[f′(x)＝1－1x，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f′(x)＞0，∴当x＝1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)＝1.]7．若函

数f(x)＝xx2＋a(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为________．3－1[f′(x)＝x2＋a－2x2x2＋a2＝a－x2x2＋a2.令f′(x)＝0，得x＝a(x＝－a舍去)，若x＝a时，f(x)取最大值，则f(x)max＝a2a＝33，a＝32＜1，

不符合题意；若f(x)max＝f(1)＝11＋a＝33，则a＝3－1，符合题意．]8．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．(－∞，2ln2－2][函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－

2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x

)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．]三、解答题9．已知函数f(x)＝x3－3ax＋2，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0.(1)求实数a，m的值；(2)求f(x)在区间[1，2]上的最值．[解](1)f′(x)＝3x2－3a，∵曲线f(x)

＝x3－3ax＋2在x＝1处的切线方程为3x＋y＋m＝0，∴f′1＝3－3a＝－3，f1＝3－3a＝－3－m，解得a＝2，m＝0.(2)由(1)知，f(x)＝x3－6x＋2，则f′(x)

＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x＝±2，∴f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，2]上单调递增，又f(1)＝1－6＋2＝－3，f(2)＝23－6×2＋2＝－2，f(2)＝(2)3－6×2＋2＝2

－42，∴f(x)在区间[1，2]上的最大值为－2，最小值为2－42.10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)≥2020对于∀x∈[－2，2]恒成立，求a的取值范围．[解](1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.由f′(x)<0，得x<－1

或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.要使f(x)≥2020对于∀x∈

[－2，2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2020，解得a≥2025.11．(多选题)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是()A．0B．1C．2D．3ABC[由f′(x)＝3－

3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－2↗2↘由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜11.又当x∈(1

，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.综上，－1＜a≤2.故选ABC.]12．(多选题)设函数f(x)＝exlnx，则下列说法正确的是()A．x∈(0，1)时，f(x)图象位于x轴下方B．f(x)存在单调递增区间C．f(x)有且仅有两个极值点D

．f(x)在区间(1，2)上有最大值AB[由f(x)＝exlnx，当x∈(0，1)时，lnx＜0，∴f(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上的图象都在x轴的下方，所以A正确；因为f′(x)＞0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递

增区间，所以B是正确的；由g(x)＝lnx－1x，则g′(x)＝1x＋1x2(x＞0)，所以g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，则函数f′(x)＝0只有一个根x0，使得f′(x0)＝0，当x∈(0，x0)时，f′(x

)＜0，函数单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以C不正确；由g(x)＝lnx－1x，则g′(x)＝1x＋1x2(x＞0)，所以g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，且g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln2－12＞0，所以函数

在(1，2)先减后增，没有最大值，所以D不正确，故选AB.]13．(一题两空)已知函数f(x)＝2x2－lnx若f′(x0)＝3，则x0＝________，若在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值

，则实数k的取值范围是________．11，32[∵函数f(x)＝2x2－lnx，x∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x，由f′(x0)＝3，x0＞0，解得x0＝1.令f′(x)＝0得x＝12，当0＜x＜12时，f′(x)＜0，当

x＞12时，f′(x)＞0，所以当x＝12时，f(x)取得极小值，由题意可知：k－1＜12＜k＋1，k－1≥0，解得1≤k＜32，∴实数k的取值范围是：1≤k＜32，即k∈1，32.]14．已知函数f(x)＝x3－92x2＋6x＋a，若∃x0∈[－1，4

]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________．－232，16[∵f(x0)＝2a，即x30－92x20＋6x0＋a＝2a，可化为x30－92x20＋6x0＝a，设g(x)＝x3－92x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)

＝0，得x＝1或x＝2.∴g(1)＝52，g(2)＝2，g(－1)＝－232，g(4)＝16.由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－232≤a≤16.]15．已知函数f(x)＝aex－lnx

－1.(1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥0.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1x.由题设知，f′(2)＝0，所以a＝12e2.从而f(x)＝12e2ex－lnx－1，f′(x)＝12e2ex－1x.当

0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥exe－lnx－1.设g(x)＝exe－lnx－1，则g′(x)＝exe－1x.当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(

x)>0，所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.因此，当a≥1e时，f(x)≥0.