【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第一册3.3.1《抛物线及其标准方程》导学案(含答案).doc，共(9)页，611.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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3.3.1抛物线及其标准方程导学案1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．重点：抛物线的标准方程及其推导过程难点：求抛物线标准方

程1.抛物线的定义概念形成2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)Fp2，0x＝－p2y2＝－2px(p>0)F－p2，0x＝p21．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面

内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)y＝4x2的焦点坐标为(1,0)．()(3)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y．()2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．83．抛物线x＝4y2的准线方程是()A．y＝12B．

y＝－1C．x＝－116D．x＝184．抛物线y＝4ax2(a∈R且a≠0)的焦点坐标为________．一、问题导学我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线．如图

，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅

笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫做抛物线．比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形x2＝2py(p>0)F

0，p2y＝－p2x2＝－2py(p>0)F0，－p2y＝p2式简单？同椭圆双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程。建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们

得到了不同形式的标准方程。抛物线的标准方程有哪些不同的形式？二、典例解析例1.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)准线方程为2y＋4＝0；(2)过点(3，－4)；(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2．求抛物

线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；(3)注意p与p2的几何意义．跟踪训练1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝2

3；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．例2.一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为4.8

m，深度为0.5m．（1）试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．（2）为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为5.2m，求此时星波束反射聚集点的坐标．典例解析求解抛物线实际应用题的步骤跟踪训练2.一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰

好是拱高OD的4倍．若拱口宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值．跟踪训练1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2xB．y2＝2xC．x2＝2yD．x2＝－2y2．过点A(3,0)且与y轴相切

的圆的圆心轨迹为()A．圆B．椭圆C．直线D．抛物线3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．5

．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．6.若位于y轴右侧的动点M到F12，0的距离比它到y轴的距离大12.求点M的轨迹方程．参考答案：知

识梳理1．[提示](1)×(2)×(3)√2．C[由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.]3．C[由x＝4y2得y2＝14x，故准线方程为x＝－116.]4．0，116a[把方程化为标准形式为x2＝14ay

，所以焦点在y轴上，坐标为0，116a.]学习过程一、问题导学如图为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，此时，抛物线的焦点为设M是抛物线上一点，则M到F的距离为则M到直线的距离为,所以=上式两边平方，整理可得=2①二、典例解析例1.[思路探究]确定抛物线的位置

→设出标准方程→确定参数→写出方程.[解](1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又p2＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2

＝8y.(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)

，即2p＝163，2p1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y2＝163x或x2＝－94y.(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准

方程为x2＝－20y或y2＝－60x.跟踪训练1．[解](1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且p2＝23，则p＝43，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－83y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m

≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(

p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝16；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝92.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－13x或x2＝－9y.(4)对于直线方

程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.∴所

求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.例2.解：（1）以顶点为原点，焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系xOy，设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），代入点（0.5，2.4），可得2.42＝2p•0.5，解得p＝5.76，即抛物

线的方程为y2＝11.52x，焦点为（2.88，0）；（2）设抛物线的方程为y2＝2mx（m＞0），代入点（0.5，2.6），可得2.62＝2m•0.5，解得m＝6.76，即有抛物线的方程为y2＝13.52x，焦点为（3.38，0）．跟踪训练2.[解]以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为

y轴，建立直角坐标系，如图所示．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为a2，－a4.由点B在抛物线上，得a22＝－2p·－a4，∴p＝a2.∴抛物线方程为x2＝－ay.设点E(0.8，y0)为抛物线上一点

，代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，∴y0＝－0.64a，∴点E到拱底AB的距离h＝a4－|y0|＝a4－0.64a，令h＞3，则a4－0.64a＞3，解得a＞6＋22415或a＜6－22415(舍去)．∴a的最小整数值为13.达标检测1．B[由题意

可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.]2．D[由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到直线y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.]3．6[由抛

物线的方程得p2＝42＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.]4．26[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当

y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为26米．]5．[解]由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F－p2，0，准线方程为x＝p2.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即p2－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±

6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．6.[解]由于位于y轴右侧的动点M到F12，0的距离比它到y轴的距离大12，所以动点M到F12，0的距离与它到直线l：x＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，

其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，而p2＝12，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．