【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册专题03《等比数列》(解析版).doc，共(14)页，567.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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专题3等比数列一、单选题1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列na的前n项和为nS，342aa，11a，则4S（）A．31B．15C．8D．7【答案】B【解析】由于数列是等比数列，故3211

2aqaq，由于11a，故解得2q=，所以4141151aqSq.故选：B.2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列na中，已知13118aaa，那么28aa（）A．4B．6C．12D．16【答案】A【解析】由

321043313111111582aaaaaqaqaqa,所以52a,则2228524aaa.故选A.3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列na的前n项和为nS

，若11a，3240aS，则10a（）A．512B．512C．1024D．1024【答案】A【解析】1321,40aaS.211140aqaaq.2440qq.解得:2q.199101(

2)512aaq.故选:A4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列na中，已知134aa，9256a，则8a（）A．128B．64C．64或64D．128或128【答案】

D【解析】设等比数列na的公比为q，由21324aaa，解得22a，当22a时，792128aqa，得2q=，则981282aa；当22a时，792128aqa，得2q，则98128-2aa.综上8128a或128，故选：D

.5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列na的公差为3,若134,,aaa成等比数列,则2a等于()A．9B．3C．-3D．-9【答案】D【解析】因为134,,aaa成等比数列，所以211132aadad，所以2140add，又因为3d，所以112a

，则219aad，故选：D.6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列na的前n项和为nS，12342,20aaaa，则5S（）A．2B．0C．2D．4【答案】A【解析】12342,20aaaa2311

120qqqaaa,2320qqq;0q或1q；等比数列公比不能为0，1q552[1(1)]21+1S故选：A7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋

科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单

价是上一层单价的45.若这堆货物总价是425655n万元，则n的值为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】由题意，可知这堆货物的总价为nS，则21444123...555nnSn

45nS2144442...15555nnnn，两式相减可得：21144441...55555nnnSn

414455545515nnnnn，所以425555nnSn，当442555256555nnnSn时，解得：8n

.故选：B8．（2020·黑龙江省铁人中学高一期中）等比数列{}na的前n项和为nS，12322,aaaS是1S与3mS的等比中项，则m的值为（）A．1B．97C．67D．12【答案】B【解析】设数列{}na的公比

为q，则由1232aaa，得21112aaqaq，易知10a，所以2210qq解得1q或12q，当1q时，20S，这与2S是1S与3mS的等比中项矛盾，当12q时，11213137,,24SaSa

mSam由2S是1S与3mS的等比中项，得2213SSmS，即22119744ama，所以97m，故选：B.二、多选题9．（2018·山东省山东师范大学附中高二学业考试）设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，

前n项积为nT，并且满足条件11a，667711,01aaaa，则下列结论正确的是（）A．01qB．681aaC．nS的最大值为7SD．nT的最大值为6T【答案】AD【解析】①671,1aa,与题设67101aa

矛盾.②671,1,aa符合题意.③671,1,aa与题设67101aa矛盾.④671,1,aa与题设11a矛盾.得671,1,01aaq，则nT的最大值为6T.B，C，错误.故选：AD.10．（2019·临沭第一中学高二开学考试）已知数列na

是公比为(1)qq的等比数列，则以下一定是等比数列的是（）A．2naB．2naC．1nnaaD．1nnaa【答案】BC【解析】因为数列na是公比为(1)qq的等比数列,则1nnaqa,对于选项A,11222nnnnaaaa,因为1nnaa

不是常数,故A错误；对于选项B,222112nnnnaaqaa,因为2q为常数,故B正确；对于选项C,2212111nnnnnnnnaaaaqaaaa,因为2q为常数,故C正确；对于选项D,若10nnaa,即1q时,该数列不是等比

数列,故D错误.故答案为:BC11．（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（）A．此人第二天走了九十六里路B．此人第三天

走的路程站全程的18C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路【答案】ACD【解析】设此人第n天走na里路，则数列na是首项为1a，公比为12q的等比数列，因为6378S，所以1661(1)2=378112

aS，解得1192a，对于A，由于21192962a，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；对于B，由于3148119248,43788a，所以B不正确；对于C，由于378192186,1921866，所以此人第一天走的路程比后五天

走的路程多六里，所以C正确；对于D，由于4561111924281632aaa，所以D正确，故选：ACD12．（2019·山东省高三月考）已知1a，2a，3a，4a成等比数列，满足21234234aaa

aaaa，且41a，下列选项正确的是（）A．13aaB．34aaC．12aaD．24aa【答案】AD【解析】1234,,,aaaa成等比数列，设公比为q.2244444123423444322,aaaaaaaaaaaaaaqqqq

q，2244322322111111111111,1,11aaqqqqqqqqqq，整理得43211210qqqq，即32210qqq.令3221fxx

xx，则'2341311fxxxxx.由'0fx，得13x或1x；由'0fx，得113x，fx在,1上单调递增，在11,3

上单调递减，在1,3上单调递增.fx的极大值为11f，极小值为1230327f.又210f，fx在区间2,1上有一个零点0x.即32210qqq时，01qx，21q.41a，等比数列123

4,,,aaaa中，13,aa均为负数，24,aa均为正数.23122124,aqaaaqaa.故选：AD.三、填空题13．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）两个数等差中项是20，等比中项是12，则这两个数是________.【答案】4,36【解析】设这两个数

为,ab，因为两个数等差中项是20，等比中项是12，所以40414436abaabb或364ab，即这两个数为4,36，答案为：4,36．14．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列

{}na中，121aa，342aa，则5678aaaa________.【答案】12【解析】设等比数列{}na公比为q,则12121222342qaaaaaaaqa.故42567812

342312aaaaqaaaa.故答案为：1215．（2020·湖南省高三三模（理））在数列na中，44a，且22nnaa，则21niia__________.【答案】122n【解析】因为22nnaa，44a，所以22a，故数列

2na是以2为首项、2为公比的等比数列，由等比数列前n项和公式可得，1212122212nnniia.故答案为：122n16．（2020·进贤县第一中学高一月考）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水

葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为_____日．（结果保留一位小数，

参考数据：lg20.30，lg30.48）【答案】2.6．【解析】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列na，其13a，公比为12，其前n项和为nA．莞（植物名）的长度组成等比数列nb，其11b，公比为2，其前n项

和为nB．则131212,12112nnnnAB，令nnAB，化为：6272nn，解得26n或21n（舍去）．即：lg6lg312.6lg2lg2n.所需的时间约为2.6日.四、解答题17．（2020·江西省高二月考（

理））已知数列na是公差为2的等差数列，它的前n项和为nS，且1+1a，31a，71a成等比数列。(1)求na的通项公式。(2)求数列1nS的前n项和nT。【答案】（1）21nan；（2）323

4212nnn【解析】（1）由题意，得3115aa，71113aa，所以由2317111aaa，得21115113aaa，解得13a，所以321nan，即21nan。（2）由（1）知21nan，则

2nSnn，111122nSnn，1111111112324352nTnn111112212nn3234212nnn。18．（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）已知等差数列na的前n项和为nS

，且*273,49,aSnN(1)求数列na的通项公式；(2)设1(1)2nnnabn，求数列nb的前n项和Tn.【答案】(1)21nan;(2)122nnT【解析】(1)设公差为d，则113{767492adad

解得：112ad∴1(1)21()naandnnN*所以数列na的通项公式为*21()nannN;(2)由(1)得11(1)2(211)22nnnnnanbnn∴1*

1(1)2(12)22()112nnnnbqTnNq19．（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知数列na的前n项和nS满足11nnaSaa，(a为常数，且0a，1a).（1）求数列na的通项公式；（2）设2

1nnnSba，若数列nb为等比数列，求a的值.【答案】（1）nnaa.（2）13a【解析】（1）因为11111aSaaa，所以1aa.当2n时，11nnnaaSSa1nnaa，整理得1nnaaa，即数列n

a是以a为首项，a为公比的等比数列.所以1nnnaaaa-=?.（2）由（1）知，21312111nnnnnaaaaaabaaa(*)由数列nb是等比数列，则2213bbb，所以222323223aaaaa，解得13a，再将13a

代入(*)式得3nnb，故数列nb为等比数列，所以13a.20．（2020·广东省高三一模（文））已知数列na的前n项和为Sn，且满足nnanS，设1nnba．（1）求123,,aaa；（2）判断数列nb是否是等比数列，并说明

理由；（3）求数列na的前n项和Sn．【答案】（1）123137,,248aaa；（2）数列nb是等比数列，理由见解析；（3）112nnSn．【解析】（1）11,1nnanSaa，解得112a．22122aa，解得234a．33

31342aa，解得378a．（2）,2nnanSn时，111nnanS，相减可得：121nnaa，变形为：11112nnaa由1nnba．可得：112nnbb．11112ba∴数列

nb是等比数列，首项为12，公比为12．（3）由（2）可得：1111222nnnb则1112nnnab．112nnnSnan．21．（2019·福建省

莆田一中高三月考（文））设数列na前n项和为S，且满足*1111,3232nnaSanN．（1）证明na为等比数列，并求数列na的通项公式；（2）在（1）的条件下，设2lognnba，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）证明见解析，62nna；（2）22

11,621130,62nnnnTnnn．【解析】（1）当1n时，12132Sa，21132aa，当2n时，1132nnSa，与已知式作差得1nnnaaa，即122nnaan，又21132aa，∴2116a，∴212aa，故

数列na是以132为首项，2为公比的等比数列，所以62nna（2）由（1）知6nbn，∴6,66,6nnnbnn，若6n，212112nnnnTbbb，若6n，2125611302

nnnnTbbbbb，∴2211,621130,62nnnnTnnn．22．（2020·宁夏回族自治区银川九中高三二模（文））在数列na中，11a，23a，1132

0nnnaaa（nN且2n）.（1）证明：数列1nnaa是等比数列；（2）求数列na的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）21nna.【解析】（1）证明：∵11320nnnaaa，∴112nnnnaaaa，又11a，2

3a，2120aa；∴112nnnnaaaa（nN，且2n），故数列1nnaa是首项和公比都是2的等比数列；（2）解：由（1）可得12nnnaa，则112nnnaa（nN，且2n）

，故11223211nnnnnnnaaaaaaaaaa…12322221nnn…122112nn（nN，且2n），当1n时，1a1

满足上式，∴21nna.