【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第二册同步讲义4.4《数学归纳法》(含解析).doc，共(9)页，323.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-37727.html

以下为本文档部分文字说明：

4.4数学归纳法1、数学归纳法设{p(n)}是一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题(p1或p0)成立；②在假设pk成立的前提下，推出pk＋1也成立，那么可以断定，{p(n)}对一切自然数成立．2、用数学归纳法证题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0(

例如n0＝0或n0＝1)时，命题{p(n)}正确；(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确，即p(k＋1)为真；(3)根据(1)(2)知，当n≥n0且n∈N*时，p(n)正确．题型一数学归纳法中项的问题例

1用数学归纳法证明123213521nnnnnnnnN的过程中，当n从k到1k时，等式左边应增乘的式子是（）A．21kB．2122kkC．

21221kkkD．221kk【答案】C【分析】观察从nk到1nk时，等式左边的变化，通过比较可得出结果.知识梳理知识典例【详解】当nk时，等式左边12kkkk，当1nk时，等式左边232122kkkkkk，因此

，当n从k到1k时，等式左边应增乘的式子为2321222122121kkkkkkkkkkkkk.故选：C.利用数学归纳法证明“111111111234212122nnnnn”时从“nk”变到“1nk

”时，左边应增加的项是______________.【答案】112122kk【分析】考查等式两侧的特点，写出左侧nk和1nk的表达式，进行比较，即可推出左边应增加的项．【详解】当nk时，等式为111111111234212122kkkkk

，当1nk时，等式为11111111123421222322kkkkk，因此，从“nk”变到“1nk”时，左边应增加的项是1111111111121234212221412212321kkkkkk

.故答案为：112122kk.题型二数学归纳法例2已知数列na中，nS是na的前n项和且nS是2a与2nna的等差中项，其中a是不为0的常数.（1）求123,,aaa.（2）猜想na的表达式，并用

数学归纳法进行证明.【答案】（1）12aa；26aa；312aa（2）猜想：*1naanNnn；证明见解析【分析】(1)由已知条件可得到nnSana，再把1n、2n、3n代入即可求出123,,aaa；(2)根据(1)的

123,,aaa猜想出na的表达式，然后利用数学归纳法证明猜想的结论是正确的.【详解】解：（1）由题意知：222nnSana即nnSana，当1n时，111Saaa，解得12aa.当2n时，21222S

aaaa，解得26aa.当3n时，312333Saaaaa，解得312aa.（2）猜想：*1naanNnn证明：①当1n时，由（1）知等式成立.②假设当*1,nkkkN时等式成立，即1kaakk

，则当1nk时，又nnSana则kkSaka，11kkSaka，∴1111kkkkkaSSakaaka，即1211kkaakakakkkk所

以112111kaaakkkk，即当1nk时，等式成立.结合①②得1naann对任意*nN均成立.设数列na的前n项和为nS，且对任意的正整数n都满足21nnnSa

S．（1）求1S，2S，3S的值，猜想nS的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的nS的表达式的正确性．【答案】（1）112S，223S，334S，1nnSn，*nN；（2）证明见解析．【分析】（1）1n时，可求出1S，2n时，利用1nnna

SS可得到关于nS的递推关系，即可求出2S，3S的值，进而猜想出nS的表达式；（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.【详解】（1）当1n时，22111SS，∴112S，当2n时，211nnnnSSSS，∴112nnSS，∴223S，334S，猜想1n

nSn，*nN；（2）下面用数学归纳法证明：①当1n时，112S，112nn，猜想正确；②假设nk时，猜想正确，即1kkSk，那么当1nk时，可得111121121kkkSkSkk，即1nk时，猜想也成立．综上可知，对任意的正整数n

，1nnSn都成立．巩固提升1、用数学归纳法证明等式123(21)(1)(21)nnn时，从nk到1nk等式左边需增添的项是（）A．22kB．2(1)1kC．[(22)(23)

]kkD．(1)12(1)1kk【答案】C【分析】分别写出nk和1nk时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.【详解】当nk时，左边123(21)k，共21k个连续自然数相加，当1nk时，左边123(21

)(22)(23)kkk，所以从nk到1nk，等式左边需增添的项是[(22)(23)]kk.故选：C.2、对一切自然数*nN，猜出使2ntn成立的最小自然数t_______.【答案】3【分析】运用数学归纳法

证明当3t时，23nn对一切自然数*nN成立,可得答案.【详解】当1t时，21nn对一切自然数*nN不成立；当2t时，22nn对一切自然数*nN不成立（如2n时，22nn）；当3t时，23nn对一切自然数*nN成立,理由如下：当1n时，2131成立，假设当nk

时成立，即23kk，当+1nk时，2+1333>3kkk，而2223321+2102,2kkkkNk，所以23nn对一切自然数*nN成立.故答案为：3.3、已知数列na的前n项和为nS，214a，且1*1122nnna

SnnN.（1）求12S、24S、38S；（2）由（1）猜想数列2nnS的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）112S，244S，398S；（2）猜想2*2nnSnnN，证明见解

析.【分析】（1）分别令1n、2、3求出1S、2S、3S的值，进而可得出12S、24S、38S；（2）由（1）猜想得22nnSn，将等式11122nnnaSn变形为111122nnnnSSSn，利用数学归纳法证明即可.【详解】（1

）1*1122nnnaSnnN，当1n时，1111112aSS，解得12S，即有112S；当2n时，22121121422aSSS，解得216S，则244S；当3n时，2332311223aSSS

，解得372S，则398S；（2）由（1）猜想可得数列2nnS的通项公式为2*2nnSnnN．下面运用数学归纳法证明．①当1n时，由（1）可得112S成立；②假设

*nkkN，22kkSk成立，当1nk时，1111111221kkkkkaSSSk，即有221112221221kkkkkkSSkkk

，则1111221kkkSkkk，当1k时，上式显然成立；当1k时，221121212kkkSkk，即21112kkSk，则当1nk时，结论也成

立．由①②可得对一切*nN，22nnSn成立．4、在数列na中，11a，1*1(21),()nnnacacnnN其中实数0c．（1）求234,,aaa的值并猜测数列na的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜测．【答案】（1）22

3acc，3238acc，43415acc，猜测：211nnnancc.（2）见解析.【分析】（1）计算234,,aaa后可猜测数列的通项为211nnnancc.（2）用数学归纳法证明即可.【详解】（1）由11a可以得到22

221321acaccc，332232325831acaccccc，4324324343781541acaccccccc，猜测：211nnnancc.（

2）用数学归纳法证明如下：当1n时，等式成立；设当nk时，有211kkkakcc，则当1nk时，1211121121kkkkkkacakcckcckc22111112111kkkkkkakcckc

kcc，故当1nk时，等式也成立，由数学归纳法可知，211nnnancc.