【文档说明】2021年人教版高中数学选择性必修第三册8.2《一元线性回归模型及其应用》同步精讲（解析版）.doc，共(13)页，776.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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8.2一元线性回归模型及其应用（精讲）考点一样本中心解小题【例1】（2021·江西赣州市）某产品在某零售摊位上的零售价x（元）与每天的销售量y（个）统计如下表：x16171819y50m3431据上表可得回归直线方程为6.4151yx，则上表中的m的值为（）A．38B．3

9C．40D．41【答案】D思维导图常见考法【解析】由题意1617181917.54x，50343111544mmy，所以1156.417.51514m，解得41m．故选：D．【一隅三反】1．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）随机变量x与y的数据如

表中所列，其中缺少了一个数值，已知y关于x的线性回归方程为ˆ0.93yx，则缺少的数值为（）x23456y56▲79A．6B．6.6C．7.5D．8【答案】A【解析】设缺少的数值为m，由于回归方程

为ˆ0.93yx过样本中心点,xy，且2345645x，代入0.9436.6y，所以56796.65my，解得6m.故选：A.2．（2021·河南信阳市）根据如下样本数据：x23456y42.50

.523得到的回归方程为ybxa$$$，则（）A．0a，0bB．0a，ˆ0bC．0a，0bD．0a，ˆ0b【答案】B【解析】由图表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则ˆ0b，2345645x，42.50.5230.25y，又回归方程

ybxa$$$经过点(4,0.2)，可得0a，故选：B．3．（2021·安徽六安市·六安一中）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：C）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y

关于x的线性回归方程0.25yxk.x（次数/分钟）2030405060yC2527.52932.536则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为（）A．33CoB．34CC．35CD．35.5C【答案】D【解析】由表格中的数据可得203040

5060405x，2527.52932.536305y，由于回归直线过样本中心点,xy，可得300.2540k，解得20k.所以，回归直线方程为0.2520yx.在回归直线方程中，令62x，可得0.25622035.

5y.故选：D.考点二一元线性方程【例2】（2021·兴义市第二高级中学）在2010年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865通过分析，发现销

售量y对商品的价格x具有线性相关关系，求（1）销售量y对商品的价格x的回归直线方程；（2）若使销售量为12，则价格应定为多少.附：在回归直线ˆˆybxa中1221ˆniiiniixynxybxnx

，ˆˆaybx【答案】（1）3.240yx（2）8.75【解析】（1）由题意知10x，8y，999580635551083.28190.25100110.25121ˆ5100b，8(3.2)1040a，线性回

归方程是3.240yx；（2）令3.24012yx，可得8.75x，预测销售量为12件时的售价是8.75元．【一隅三反】1．（2020·河南开封市）配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每公里所需要的时间，相比配速，把心率控制在一个

合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.图1是一个马拉松跑者的心率y（单位：次/分钟）和配速x（单位：分钟/公里）的散点图，图2是一次马拉松比赛（全程约42公里）前3000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；（2

）该跑者如果参加本次比赛，将心率控制在160左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间，并估计他能获得的名次.参考公式：线性回归方程ˆˆˆybxa中，12()()ˆ()niiinixxyybxx，ˆˆaybx参考数据：135y.【答案】（1）25285xy

；（2）210分钟，192名．【解析】（1）由散点图中数据和参考数据得4.55677.565x，1001091301651711355y，51522222211.536(1)300(5)1(2

6)1.5(35)25(1.5)(1)011.5ˆiiiiixxyybxx，135(25)62ˆ85ˆaybx，所以y与x的线性回归方程为25285xy.（2）将160y代入回归

方程得5x，所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为425210分钟.从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累积频率为0.0008500.00242102000.064，有6.4%的跑者成绩超过该跑者，则该跑者在本次比赛获得的名次大约是0.0643000192名

.2．（2020·云南红河哈尼族彝族自治州）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，特别是每年的“双十一”，天猫的交易额数目惊人.2020年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度购物狂欢节，加班加点做了大量准备活动，截止2020年11月11日24时，2020年

的天猫“双十一”交易额定格在3700多亿元，天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对2021年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从2014年至2020年每年“双十一”总交易额(取近似值)，进行分析统计如下表：年份2014

201520162017201820192020年份代码(t)1234567总交易额y(单位：百亿)5.79.112.116.821.326.837（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合总交易额y与年份代码t的关系，请用相关系数加以说明；（2）利用最小二乘

法建立y关于t的回归方程(系数精确到0.1)，预测2021年天猫“双十一”的总交易额.参考数据：71()()138.5iiittyy，72126.7iiyy，72.646；参考公式：相关系数12211niiinniiiittyyrtty

y；回归方程ybta中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：711722211niiiiiiniiiittyytynxybtttnx，=aybt.【答案】（1）答案见解析；（2）回

归方程为ˆ4.91.2yt，预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.【解析】（1）4t，721()28iitt，17()()138.5iiittyy，72126.7iiyy所以12211()13

8.50.9822.64626.7()()niiinnnniiiittyyrttyy因为总交易额y与年份代码t的相关系数近似为0.98，说明总交易额y与年份代码t的线性相关性很强，从而可用线性回归模型拟合总交易额y

与年份代码t的关系.（2）因为18.4y，721()28iitt，所以71271()138.5ˆ4.928iiiiittyybtt，ˆˆayb，18.44.941.2b所以y关于t的回归方程为

ˆ4.91.2yt又将2021年对应的8t代入回归方程得：ˆ4.981.238y.所以预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.3．（2021·湖北省武昌实验中学高二期末）根据统计，某蔬菜基地西

红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若0.75r，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y关于x的回归方程，并预

测当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式112222221111nniiiiiinnnniiiiiiiixxyyxynxyrxxyyxnxyny

．参考数据：0.30.55，0.90.95．回归方程ybxa$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1122211nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx

，ayxb．【答案】（1）0.95；答案见解析；（2）0.32.5yx；610千克.【解析】（1）由已知数据可得2456855x，3444545y，所以5131100010316iii

xxyy，522222213101325iixx，52222221100012iiyy，所以相关系数

51552211690.9510252iiiiiiixxyyrxxyy．因为0.75r，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）5152160.320iiiiixxyybxx

，450.32.5a，所以回归方程为0.32.5yx．当12x时，0.3122.56.1y，即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为610千克

．考点三非一元线性方程【例3】（2020·全国高二课时练习）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到下表及散点图．x0.250.5124y1612521（1）根据散点图判断yabx与1yckx哪一个适宜作为y关于x的回归方

程；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果试建立y与x的回归方程；（计算结果保留整数）（3）在（2）的条件下，设zyx且4,x，试求z的最小值．参考公式：回归方程ˆˆˆybxa中，1122211ˆnniiiiiinniiiixxyyxyn

xybxxxnx，aybx$$.【答案】（1）1yckx；（2）41yx；（3）6.【解析】（1）由题中散点图可以判断，1yckx适宜作为y关于x的回归方程；（2）令1tx，则yckt，原数据变为

t4210.50.25y1612521由表可知y与t近似具有线性相关关系，计算得4210.50.251.555t，16125217.25y，222222416212150.520.25151.557.238.4544210.50

.2551.559.3k，所以，7.241.551cykt，则41yt．所以y关于x的回归方程是41yx．（3）由（2）得41zyxxx

，4,x，任取1x、24x，且12xx，即124xx，可得21121212121212124444411xxzzxxxxxxxxxxxx1212124xxxxxx

，因为124xx，则120xx，1216xx，所以，12zz，所以，函数41zxx在区间4,上单调递增，则min44164z.【一隅三反】1．（2020·江苏省如皋中学高二月考）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研

获得了时间x（天数）与销售单价y（元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）.表中10111,10iiiiwwwx.（1）根据散点图判断yabx，与dycx哪一个更适合作价格y关于时间x的回归方程类型？（

不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程.（3）若该产品的日销售量gx（件）与时间x的函数关系为100120gxxNx，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？附：对于一组数据112233,,,,,,...,,nnuvuvu

vuv，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niiiniivvuuvuuu.【答案】（1）dycx更适合作价格y关于时间x的回归方程；（2）120(1)

yx；（3）第10天，最高销售额为2420元；【解析】（1）根据散点图知dycx更适合作价格y关于时间x的回归方程类型；（2）令1wx，则ycdw，而1011021()()18.4200.92()iiiiiwwyydww，37

.8200.8920cydw，即有120(1)yx；（3）由题意结合（2）知：日销售额为1100()()20(1)(120)fxygxxx，∴2110015()20(1)(120)400(6)fxxxxx，若1tx，令221121()655()

1020htttt，∴110t时，max1121()()1020hth，即10x天，max121()(10)400242020fxf元,所以该产品投放市场第10天的销售额最高，最高销售额为2420元.2．（2021·江苏苏州市）我国

为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，研究了“十二五”

和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额ix和年盈利额iy的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①2yx，②xtye，其中，，，t均为常数，e为自然对数的底数．令2iiux，ln1,2,,10iivyi，经计算得如下数据：xy1021iix

x1021iiyyuv262156526805.361021iiuu101iiiuuyy1021iivv101iiixxvv112501302.612（1）请从相关系数的角度

，分析哪一个模型拟合程度更好?（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程;（系数精确到0.01）（ⅱ）若希望2021年盈利额y为250亿元，请预测2021年的研发资金投入额x为多少亿元？（结果

精确到0.01）附：①相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy，回归直线ˆˆˆyabx中：121()()ˆ()niiiniixxyybxx，ˆˆ

aybx②参考数据：ln20.693，ln51.609．【答案】（1）模型xtye的拟合程度更好；（2）（ⅰ）0.180.56ˆxye；（ⅱ）27.56.【解析】（1）设iu和iy的相关系数为1r，

ix和iv的相关系数为2r，由题意，101110102211130130.8715112502iiiiiiiuuyyruuyy，10121010221112120.92

13652.6iiiiiiixxvvrxxvv，则12rr，因此从相关系数的角度，模型xtye的拟合程度更好．（2）（ⅰ）先建立v关于x的线性回归方程，由xtye，得lnytx，即vtx，1011021

12ˆ65iiiiixxvvxx，12ˆˆ5.36260.5665tvx，所以v关于x的线性回归方程为ˆ0.180.56vx，所以ˆln0.180.56yx，则0.180.56ˆxye．（ⅱ）2021年盈利额

250y（亿元），所以0.180.56250xe，则0.180.56ln250x，因为ln2503ln5ln231.6090.6935.52，所以5.520.5627.560.18x．所以2021年的研发资金投

入量约为27.56亿元．