【文档说明】高中数学人教版必修第一册期中复习专题3.6 解答（30道）冲刺篇（1-3章）（解析版）.doc，共(28)页，1.127 MB，由MTyang资料小铺上传

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专题3.6解答（30道）冲刺篇（期中篇）（1-3章）1．已知集合22|ZAxxmnmn,、（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合|21ZBxxkk,，证明：“xA”的充分非必要条件是“xB”；（3）写出所有满足

集合A的偶数.【答案】（1）8A，9A，10A；（2）详见解析；（3）所有满足集合A的偶数为4k，kZ．【解析】（1）2831，22954，8A，9A，假设2210mn，，mnZ，则(

)()10mnmn，且0mnmn，1011025，101mnmn，或52mnmn，显然均无整数解，10M，8A，9A，10A；（2）集合|21ZBxxkk,，则恒有2221(1)kk

k，21kA，即一切奇数都属于A，又8A，“xA”的充分非必要条件是“xB”；（3）集合22|ZAxxmnmn,、，22()()mnmnmn成立，①当m，n同奇或同偶时，mn，mn均为偶数，()()mnm

n为4的倍数；②当m，n一奇，一偶时，mn，mn均为奇数，()()mnmn为奇数，综上所有满足集合A的偶数为4k，kZ．2．已知3Axaxa，2450Bxxx.

（1）若3a，求AB；（2）若xA是RxBð的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）31xx；（2）1,2.【解析】（1）当3a时，30Axx，224504501Bxxxxxxxx或5x，因

此，31ABxx；（2）由（1）可得15RBxxð，若xA是RxBð的充分不必要条件，则ABRð，所以，135aa，解得12a.①当1a时，12Axx，则ABRð成立；②当2a时，25Ax

x，则ABRð成立.综上所述，实数a的取值范围是1,2.3．设集合222{|320}{|150}AxxxBxxaxa，（）．（1）若2AB，求实数a的值；（2）若ABA，求实数a的取值范围．【

答案】（1）3a或1a；（2）|3aa„或7}3a.【解析】（1）集合2{|320}12Axxx，，若2AB，则2x是方程22150xaxa（）的实数根，可得：2230aa，解得3a或1a；（2）∵ABA，∴BA，当

B时，方程22150xaxa（）无实数根，即221450aa（）（）＜解得：3a＜或a＞73；当B时，方程22150xaxa（）有实数根，若只有一个实数根，2222

1150421501450aaaaaa或（）（），解得：3a．若只有两个实数根，x=1、x=2，21211250aa,无解.综上可得实数a的取值范围是{a

|a≤-3或a＞73}4．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）231xx与221xx；（2）当0a，0b且ab¹时，abab与baab.【答案】（1）223121xxxx；（2）abbaabab.【解析】（1）2222312122110xx

xxxxx，因此，223121xxxx；（2）1ababababbaabbaabaabaabbb.①当0ab时，即0ab，1ab时，01abaabb，

abbaabab；②当0ba时，即0ab，01ab时，01abaabb，abbaabab.综上所述，当0a，0b且ab¹时，abbaabab.5．已知0a，0b.（1）求证：2232abbab；（2）若2a

bab，求ab的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵222223220abbabaabbab，∴2232abbab.（2）∵0a，0b，∴22ababab，

即22abab，∴1ab，∴1ab.当且仅当1ab时取等号，此时ab取最小值1.6．已知x，y，z为正实数，且1xyz，证明：（1）()()()8xyyzzx…；（2）222111xyzxyz.【解析】（1）因为x，y，z为正实数，所以2xyxy…，2yzyz

…，2zxzx…，（当且仅当1xyz时，等号同时成立），所以()()()22288xyyzzxxyyzzxxyz….（2）因为1xyz，所以111111xyzyzxzxyxyzxyz又22

22222222222xyzxyyzzxxyyzzx…，即222xyzxyyzzx….（当且仅当1xyz时，等号同时成立）.所以222111xyzxyz…，即222111xyzxyz.7．已知函数()|31||33|fxxx.（1

）求不等式()10fx的解集；（2）正数,ab满足2ab，证明：()fxab.【答案】(1)4(,2][,)3(2)证明见解析【解析】（1）当1x时，()13336210fxxxx

，解得2x≤，所以2x≤；当113x时，()1333410fxxx，x；当13x时，()31336210fxxxx，解得43x，所以43x.综上，不等式()10fx的解集为4(,2][,)3.（2）证明：因为,ab为

正数，则()fxab等价于()2fxabab对任意的xR恒成立.又因为()|31||33|4fxxx，且2ab，所以只需证1ab，因为12abab，当且仅当1ab时等号成立.所以()fxab成立.8．已知函数234fxxx.（

1）求不等式6fx的解集M；（2）若t为集合M中的最大元素，且110,02tabab，求92ab的最小值.【答案】（1）1,53；（2）536.【解析】（1）当230x，

即32x时，2346xx，解得352x；当230x，即32x时，3246xx，解得1332x，所以不等式6fx的解集M1[,5]3（2）由（1）知5t，所以1152ab，所以92ab11

1()()5922abab111()594182abba111(2)594182abba11315()536336.当且仅当12a，16b时,等号成立.所以92ab的最小值的最小值为536.9．已知aR，函数

2()25fxxax﹣.（1）若1a，且函数()fx的定义域和值域均为[1]a，，求实数a的值；（2）若不等式2()1xfxx对11,32[]x恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）2a；（2）2578a.【解析】（1）∵()fx的图象开口向上，对称轴为1xa，∴

()fx在1,a上单调递减，∴(1)fa，即62aa，解得2a.（2）不等式2()1xfxx对11,32x恒成立，即251xax对11,32x恒成立，故2512xax且2512xax在11,32x

恒成立，令225111525()2228xgxxx，11,32x，所以max225()58gxg，所以258a.令22511152511(),,222832

xhxxxx，所以min1()72hxh，所以7a.综上：2578a.10．（1）已知0a，0b，且ab¹，比较22abba与ab的大小；（2）若关于x的不等式2221

xax的解集中整数恰好有3个，求实数a的取值范围.【答案】（1）22ababba；（2）2549,916.【解析】（1）0a，0b且ab¹，20ab，则22222

222222222aabbabababbaabababbababaab2220abababababab，因此，22ababba；（2）由2221xax可得24410axx，由

于不等式2221xax的解集中恰好有三个整数，则4040aa，可得04a.原不等式的解为2244aaxaa，即1122xaa，04a，则02a，111422a，所以，不等式2221xax的解集中一定含有整数1、2、

3，则1342a，可得5734a，解得2549916a.因此，实数a的取值范围是2549,916.11．已知函数2()fxxaxb的图象关于直线2x对称且(1)0f．（1）求,

ab的值；（2）求函数()fx在区间[3,3]上的最小值和最大值．【答案】（1）43ab；（2）最大值1，最小值24.【解析】（1）由于函数2()fxxaxb的图象关于直线2x对称且(1)0f，则22(1)10afab，解得43

ab；（2）22()43(2)1fxxxx，[3,3]x，所以，函数()yfx在区间[3,2]上单调递增，在区间[2,3]上单调递减，所以，函数()yfx在区间[3,3]上的最大值为()(2)1maxfxf，最

小值为()(3)24minfxf．12．已知aR，若关于x的不等式2(1)460axx--+>的解集是(3,1)．(1)求a的值；(2)若关于x的不等式230axbx在[0,2]上恒成立，求实数b的取值范围.【答案】(1)3；(2)6b【

解析】(1)1和3是2(1)460axx--+=的两根，将1x代入方程解得3a；(2)由(1)可知不等式2330xbx在[0,2]上恒成立，即233bxx在[0,2]上恒成立，当0x时，03恒成立，此时aR；当2(]0

,x时，不等式可转化为13()bxx在[0,2]上恒成立，因为113()326xxxx，当且仅当1xx，即1x时，等号成立，所以6b，所以6b,综上，实数b的取值范围为6b.13．已知函数22

,2()2,2xxfxxx（1）若0)(8fx，求0x的值；（2）解不等式()8fx.【答案】（1）06x；（2）|6xx.【解析】（1）当02x时，由02=8x，得04x，不符合题意；当02x时，由2028x，得06x或06x(舍去)，故06

x（2）()8fx等价于228xx——①或2228xx——②解①得x，解②得6x，综合①②知()8fx的解集为|6xx.14．已知22111xxfxxx骣++琪=+琪桫，求fx。【答案】21fxxx，(

)(),11,x?ト+?【解析】令1xtx+=，则11xt=-()1t¹，将11xt=-代入22111xxfxxx骣++琪=+琪桫中，可得()()()222211()11111111()11tfttttttt+-=+=-++-=-+--，所以21fxxx，()(),11,x?ト+?。

15．（1）已知函数fx是一次函数，若48ffxx，求fx的解析式；（2）已知fx是二次函数，且满足01f，12fxfxx，求fx的解析式．【答案】（1）823fxx或28fxx；（2）21fxxx．【

解析】（1）设0fxaxba，则2ffxfaxbaaxbbaxabb，又48ffxx，所以，248aabb，解得283ab或28ab，因此，823fxx或28fxx；（

2）20fxaxbxca，则01fc，12fxfxx，即2211112axbxaxbxx，即22axabx，所以220aab，解得11ab.因此，21fxxx.1

6．已知函数()||2fxxxax.（1）当3a时，求函数()fx的单调递增区间；（2）对任意[1,2]x，当函数()fx的图像恒在函数()21gxx图像的下方时，求实数a的取值范围.【答案】（1）5

,2和[3,)；（2）322a.【解析】（1）当3a时，22,3()5,3xxxfxxxx，可知函数()fx的单调递增区间为5,,(3,)2；（2）由题知()()fxgx在[1,2]x恒成立，即||1,

[1,2]xxax，即11111||,,xaxaxaxxxxxx，即只要1xax且1axx在[1,2]x上恒成立即可，在[1,2]x时，只有1xx的最大值小于a且1xx的最小值大于a即可，当[1

,2]x时，1yxx单调递增，则max132xx，当[1,2]x时，1yxx单调递增，则min12xx，322a.17．已知函数f(x)为二次函数,且f(x-1)+f

(x)=2x2+4.(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[t,t+2],t∈R时,求函数f(x)的最小值(用t表示).【答案】（1）22fxxx；（2）2min212,2751(),4225

58,2tttfxtttt【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c,21axb(x-1)+c+a2x+bx+c=2a2x+(2b-2a)x+a-b

+2c=22x+4,2222024abaabc,解得112abc,∴f(x)=x2+x+2.(2)∵f(x)=x2+x+2的对称轴为x=-12;当t12t+2，即5122t时,minfx=f(-12)=7

,4当t12时,f(x)=x2+x+2在x∈[t,t+2]上单调递增，minfx=f(t)=t2+t+2,当t<52时,f(x)=x2+x+2在x∈[t,t+2]上单调递减，minfx=f(

t+2)=2t+5t+8,综上:f(x)min=2212,2751,422558,2ttttttt18．已知函数1xfxx，2,5x.（1）判断该函数在区间2,5上的单调性，并给予

证明；（2）求该函数在区间2,5上的最大值与最小值.【答案】（1）1xfxx在区间2,5上是减函数；证明见解析；（2）max2fx，min54fx.【解析】解：（1）1xfxx在区间2,5上是减函数.（导数法也可以）证明任意取1x，22,5x

且12xx，则1111xfxx，2221xfxx.21122121211111xxxxfxfxxxxx.∵1225xx，∴120xx，210x->，110x->.∴210fxfx，∴

21fxfx.∴1xfxx在区间2,5上是减函数.（2）由（1）可知1xfxx在区间2,5上是递减的，故对任意的2,5x均有52ffxf，∴max22221fxf，min555514fxf.19．已知奇函数()fx

的定义域为(,0)(0,)，当0x时，1(1)fxx.（1）求(2)f的值；（2）当0x时，求()fx的解析式；（3）若有(lg)0fx成立，求x的取值范围.【答案】（1）12；（2）0

x时，1()1fxx；（3）1010x或110x.【解析】（1）∵函数()fx为奇函数，∴1(2)(2)2ff；（2）设0x，则－0x∴11()11fxxx，∵函

数()fx为奇函数∴当0x时,1()()1fxfxx；（3）因为由()0fx得1x或01x，所以lg1x或0lg1x，解得1010x或110x．20．已知定义在(1,1)上的奇函数2()1axbfxx是增函数，且1225f

．（1）求函数()fx的解析式；（2）解不等式(1)(2)0ftft．【答案】（1）2()1xfxx；（2）102tt.【解析】解：（1）∵()fx是区间(1,1)上的奇函数，∴(0)0fb,又12212514abf，∴1a∴2()

1xfxx，此时2()()1xfxfxx，()fx为奇函数；（2）∵(1)()0ftft，且()fx为奇函数，∴()(1)(1)ftftft又函数()fx在区间(1,1)上是增函数∴111111tttt，解得

102t故关于t的不等式的解集为102tt．21．已知幂函数23122233mmfxmmx，且在(0,)上为增函数.（1）求函数fx的解析式；（2）若函数422gxafxfx，求gx在区间[0,1]上的最小值.【答案】（1）

12fxx；（2）1a时，min2gxa；1a时，min1gxa.【解析】（1）2331mm,即2320mm,则120mm,解得1m或2m,当1m时,311122xfxx,当2m时,2112322xxfx

,∵fx在0,上为增函数,∴12fxx（2）由（1）,124212222gxaxxaxx,0,1x,①0a时,2gxx,min12gxg,②0a时,对称轴212xaa（i）101a

,即1a时,min1121gxgaaaa（ii）11a,即01a时,min12gxga③0a时,∵10a,∴min12gxga综上：1a时,min2gxa；1a时,min1g

xa22．已知251()(1)mfxmmx是幂函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增．（1）求m的值；（2）解不等式(2)16fx【答案】（1）1；（2）(,0)(4,).【解析】函数251()(1)mfxmmx是幂函数，则211mm，即22

0mm，解得2m或1m，当2m时，函数11521()fxxx，此时函数在(0,)上单调递减，不符合题意；当1m时，函数5()141()xfxx，此时函数在(0,)上单调递增，符合题意，综上可得，实数m

的值为1.（2）由（1）知，函数4()fxx，又由不等式(2)16fx，即4(2)16x，即22x或22x，解得4x或0x，即不等式的解集为(,0)(4,).23．已知幕函数2231mmfxxmZ

为偶函数，且在0,上单调递增.(1)求函数yfx的解析式；(2)若函数6gxtfxt在区间2,5上的值恒为正数，求实数t的取值范围.【答案】(1)2()fxx(2)(1,)【解析】（1）∵函数fx为偶函数且在0,上

单调递增，∴2231mm为正偶数．而22317172312488mmm，∴22312mm（1m时取等号），∴2fxx；（2）函数6gxtxt，令0,5ux

，∴6gxutut．根据一次函数的保号性可知：06015660ttt，所以实数t的取值范围时1,．24．已知幂函数21265mfx

mmx为偶函数.（1）求fx的解析式；（2）若函数211yfxax在区间(2,3)上为单调函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）2fxx；（2）3a或4a.【解析】（

1）由f(x)为幂函数知，2m2-6m+5=1，即m2-3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2，是偶函数，符合题意；当m=2时，f(x)=3x，为奇函数，不合题意，舍去.故f(x)=2x；（2）由（1）得2()2(1)1

2(1)1yfxaxxax，函数()fx的对称轴为x=a-1，由题意知函数()fx在(2,3)上为单调函数，∴a-1≤2或a-1≥3，分别解得a≤3或a≥4.即实数a的取值范围为：a≤3或a≥4.25．已知幂函数223()(22,)mmfxxmmZ满足：

（1）在区间0,上为增函数；（2）对任意的,xR都有()()0fxfx.求同时满足（1）（2）的幂函数()fx的解析式，并求当0,4x时，()fx的值域.【答案】4()fxx，值域是

0,256【解析】由题意，幂函数223()mmfxx0,递增，所以2230mm解得31m，因为22,mmZ，所以1m或0m．又因为()()fxfx，所以函数()fx是偶函数，当1m时，2234mm，即函数4fxx，满足

题意当0m时，2233mm，即函数3fxx，不满足题意所以函数fx的解析式为4()fxx，由幂函数的性质，可得幂函数4()fxx在区间0,4上递增，所以最小值为min(0)0yf，最大值为max(4)256

yf．所以函数fx的值域是0,256．26．已知幂函数2221()(1)mmfxmmx(1)求()fx的解析式；(2)(i)若()fx图像不经过坐标原点，直接写出函数()fx的单调区间.(ii)若()fx图像经过坐标原点，解不等式(2)()fxfx.

【答案】（1）2()fxx或11()fxxx（2）(i)单调递减区间为(,0),(0,)，无单调递增区间(ii)(,1).【解析】（1）因为幂函数2221()(1)mmfxmmx，所以211mm，解得1m或

2m，所以函数为2()fxx或11()fxxx.（2）(i)因为()fx图像不经过坐标原点，所以11()fxxx，函数的单调递减区间为(,0),(0,)，无单调递增区间.(ii)因为()fx图

像经过坐标原点，所以2()fxx，因为2()fxx为偶函数，且在[0,)上为增函数，所以(|2|)(||)fxfx，又2()fxx在[0,)上为增函数，所以|2|||xx，解得1x，所以不等式的解为(,1).27．已知幂函数21()(57),mfxm

mxmR为偶函数．（1）求()fx的解析式；（2）若(21)16fa，求实数a的取值范围．【答案】（1）4()fxx（2）32a或12a【解析】(1)幂函数21()(57),mf

xmmxmR为偶函数,∴2571mm,解得2m或3m；当2m时,13m不符合题意,舍去；当3m时,14m满足题意；∴4()fxx；(2)由(1)知,不等式(21)16fa化为4(21)16a,解得212

a或212a,即32a或12a,∴实数a的取值范围是32a或12a．28．已知幂函数221()1mfxmmx在(0,)上单调递增.（1）求实数m的值；（2）若(1)(32)mmkk，求实数k的取值范围.【答案】（1）1m（2）2

3(,1)(,)32【解析】解：（1）因为fx是幂函数，所以211mm，解得1m或2m，又因为()fx在(0,)上单调递增，所以210m，即12m，所以1m.（2）由于1yx在区间,0,0,

都是减函数，且11(1)(32)kk分三种情况讨论：①当1032kk，即1k时，原不等式成立；②当10k且320k时，有132kk，即13223kkk，解集为空集；③当1

0k且320k时，有132kk，即13223kkk，∴2332k综上所述：k的取值范围是23(,1)(,)32.29．定义在(0,)上的函数()fx，满足()()()(,0)fmnfmfnmn，且当1x时，()0fx.

（1）求(1)f的值.（2）求证：()()mffmfnn.（3）求证：()fx在(0,)上是增函数.（4）若(2)1f，解不等式(2)(2)2fxfx.（5）比较2mnf与()()2fmfn的

大小.【答案】（1）(1)0f；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）207xx∣；（5）()()22mnfmfnf….【解析】（1）令1mn，由条件得(1)(1)(1)(1)0ffff.（2）()()mmfmfnffnnn

，即()()mffmfnn.（3）任取1x，2(0,)x，且12xx，则211xx.由（2）得.22110xfxfxfx，即2

1fxfx.∴fx在(0,)上是增函数.（4）∵(2)1f，∴2(2)(2)(4)fff，(2)(2)2(2)(2)(4)(2)>(8)fxfxfxfxffxfx.又

()fx在(0,)上为增函数，∴28,0,xxx解得207x.故不等式(2)(2)2fxfx的解集为207xx∣.（5）∵()()1()22fmfnfmn，211222222mnmnmnmnffff

，∵22022mnmnmn…，∴22mnmn…（当且仅当mn时取等号）.又()fx在(0,)上是增函数，∴2()

2mnffmn….∴()()22mnfmfnf….30．函数fx的定义域为0,，且对一切0,0xy，都有xffxfyy，当1x时，总有0

fx.（1）求1f的值；（2）判断fx单调性并证明；（3）若46f，解不等式13fx.【答案】（1）10f（2）fx是0,上的增函数，证明见解析（3）1,3【解析】(1)令1xy

,得11111ffff,∴10f.(2)fx是0,上的增函数,证明：任取12,0,xx,且12xx,则2211xfxfxfx,∴211xx,∴210xfx,即

21fxfx,∴fx是0,上的增函数.(3)由4422fff及46f,可得23f,结合（2）知不等式13fx等价于12fxf,可得1212xx,解得13

x.所以原不等式的解集为1,3.