【文档说明】高中数学人教版必修第一册期中复习专题3.3 解答（30道）巩固篇（1-3章）（解析版）.doc，共(28)页，1.102 MB，由MTyang资料小铺上传

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专题3.3解答（30道）巩固篇（期中篇）（1-3章）1．设全集为R，集合{|36}Axx，{|29}Bxx.（1）分别求AB，()RCBA；（2）已知{|1}Cxaxa，若CB，求实数a的取值范围构成的集合.【答案】（1），（∁RB）∪A=（2）{a|2≤a

≤8}【解析】（1）{|36}ABxx(){|2369}RCBAxxxx或或（2）由题意集合C，CB∴2{19aa，∴28a，∴{|28}aa.2．已知22:54:(2)20pxxqxaxa，．（1）求p中对应x

的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．【答案】（1）[14]，（2）{|14}aa【解析】（1）因为2:54pxx，所以2540xx即(1)(4)0xx，所以14x即p中对应x的取值范围为14，（2）设p对

应的集合为{|14}Axx，q对应的集合为B.解集合q：2(2)20xaxa，得(2)()0xxa当2a时，不等式的解为2x，对应的解集为{2}B当2a时，不等式的解为2xa，

对应的解集为{|2}Bxxa当2a时，不等式的解为2ax，对应的解集为{|2}Bxax若p是q的必要不充分条件，当2a时，满足条件；当2a时，因为{|14}Axx，{|2}Bxxa，则满足24a；当2a时，因为{|14}

Axx，{|2}Bxax，则满足12a；综上，实数a的取值范围为{|14}aa3．设命题:p实数x满足3axa，其中0a，命题:q实数x满足23x.（1）若1a，且,pq均为真命题，求实数x的取值范围；（2

）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）23xx（2）12aa【解析】（1）由3axa，当1a时，13x，即p为真命题时，实数x的取值范围是13x.又q为真命题时，实数x的取值范围是23x，所以，当,pq均为真命题时，有13,23,xx

解得23x，所以实数x的取值范围是23xx.（2）p是q的充分不必要条件，即pq且qp.设Axxa或3xa，2Bxx或3x，所以02a且33a，即12a.所以实数a的取值范围是12aa.4．已知a，b，c为正

数，且满足abc=1．证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca．【解析】（1）1abc111111abcbcacababcabc

2222222222222abcabbccaabbcac当且仅当abc时取等号22211122abcabc，即：222111abcabc≥（2）

3333abbccaabbcca，当且仅当abc时取等号又2abab，2bcbc，2acac（当且仅当abc时等号同时成立）3332322224a

bbccaabbcacabc又1abc33324abbcca5．已知a＞0，b＞0，a+b＝3．（1）求11+2ab的最小值；（2）证明：ababba29【答案】（1）45；（2）证明见解析【解析】（1）3ab，

215ab，且200ab，，1111112++2225252baabababab12422525baab，当且仅当2=2baab即1522a

b，时等号成立，11+2ab的最小值为45.（2）因为a＞0，b＞0，所以要证ababba29，需证2292ab，因为222239222abab，所以ababba29，当且仅当32ab时等号成

立.6．已知函数()3.fxx（1）解不等式()421fxx；（2）若142(0,0)mnmn，求证：3().2mnxfx【答案】（1）2(,][0,)3；（2）见解析

.【解析】（1）原不等式化为3421xx，即2134.xx①12x时，不等式化为2134xx，解得23x；②132x时，不等式化为2134xx，解得0x，03x；③3x时，不等式化为2134xx

，解得2x，3x.综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3.（2）()3.fxx3339()3(3)2222xfxxxxx，当且仅当3()(3)02xx且332xx

时取等号.又142(0,0)mnmn，11414149()()(5)(52)2222nmnmmnmnmnmnmn，当且仅当4nmmn时取等号.3().2mnxfx7．已知0,0,4.abab（1）求证:

2222ab…;（2）求证:1212223ab….【解析】(1)证明：因为0,0ab，2222224ababab…，而4ab，所以222222abab…，(当且仅当2ab时取等号)(2)因为4ab，所以

26,ab所以221111211222662aabbababab112322623…，当且仅当22ab时取等号.8．已知函数255fxxxaa

.（1）当1a时，求当0,x时，函数fxgxx的值域；（2）解关于x的不等式0fx.【答案】（1）1,；（2）答案见解析.【解析】（1）当1a时，254fxxx

，此时，450gxxxx，由基本不等式可得4424xxxx，当且仅当2x时，等号成立，因此，函数ygx在区间0,上的值域为1,；（2）2555fxxx

aaxaxa，令0fx，得xa或5xa.①当5aa，即52a时，由0fx，解得52x；②当5aa，即52a时，由0fx，解得5axa；③当5aa，即52a时，由

0fx，解得5axa.综上所述，当52a时，原不等式的解集为52；当52a时，原不等式的解集为5xaxa；当52a时，原不等式的解集为5xaxa.9．设函数2()4fxa

xxb．（1）当0a且4ab时，解关于x的不等式()0fx…；（2）已知ab，若()fx的值域为[0，)，求22abab的最小值．【答案】（1）{|1xx„或41}xa…；（2）42.【

解析】解：（1）由0a且4ab，代入不等式()0fx…，得2440axxa…，化简，得(1)(4)0xaxa„，1x„或41xa…，不等式的解集为{|1xx„或41}xa…（2）由()fx的值域为[0，)，可得0a，△0„，1640ab

„，可得4ab…．222()22()abababababababab22()22abababab…，4ab…．22abab的最小值为22442．10．若不等式240axbx的解集为12xx（1）求,ab值（2）

求不等式111bxax的解集.【答案】（1）2,6ab；（2）11,22.【解析】（1）根据不等式240axbx的解集为12xx，则1，2为方程240axbx的两根，由42

2abab求解.（2）由（1）知不等式111bxax，即为61121xx，然后利用分式不等式的解法求解.11．设全集U=R，集合2A={x|x-4x-12<0}，B={x|(x-a)(x

-2a)<0}．（1）当a=1时，求集合UABð；（2）若BA，求实数a的取值范围．【答案】（1）2,12,6；（2）1,3.【解析】（1）当1a时，1,2B，所以,12,UCB，而

2,6A，故2,12,6UACB．（2）当0a时，B，符合；当0a时，因为BA，所以26226aa，解得13a且0a．综上，13a．12．已知不等式210xax

a的解集为A.（1）若2a，求集合A；（2）若集合A是集合4|2xx的真子集，求实数a的取值范围.【答案】（1）|12xx；（2）4,2.【解析】（1）由题意，当2a时，不等式210xaxa，即2

320xx，即120xx，解得12x，所以集合|12Axx.（2）由210xaxa，可得10xxa，当1a时，不等式10xxa的解集为|1xax.由集合A是集合4|2xx的真子集可得4a，所以4

1a，当1a时，不等式10xxa的解集为|1xx满足题意；当1a时，不等式10xxa的解集为|1xxa，由集合A是集合4|2xx的真子集，可得2a，所以11a，综上

可得：42x，即实数a的取值范围为4,2.13．已知函数f(x)＝221xx.（1）求f(2)＋f(12)，f(3)＋f(13)的值；（2）求证：f(x)＋f(1x)是定值；（3）求f(2)＋f(12)＋f(3)＋f(13)＋…＋f(2012)＋f(1

2012)的值．【答案】（1）1，1；（2）证明见解析；（3）2011.【解析】（1）∵f(x)＝221xx，∴f(2)＋f(12)＝22212＋221()211()2＝1，f(3)＋f(13)＝22313＋221()311()3＝1.（2）证明：f(x)＋f(1x)＝2

21xx＋221()11()xx＝221xx＋211x＝2211xx＝1.（3）由（2）知f(x)＋f(1x)＝1，∴f(2)＋f(12)＝1，f(3)＋f(13)＝1，f(4)＋f(14)＝1，…，f(2012)＋f

(12012)＝1.∴f(2)＋f(12)＋f(3)＋f(13)＋…＋f(2012)＋f(12012)＝2011.14．已知函数221xfxx＝.（1）求122f，133ff的值；（2）求证：1fxfx是定

值；（3）求111232012232012ffffff的值．【答案】（1）1；1；（2）证明见解析；（3）2011.【解析】解析：（1）∵221xfxx＝，∴222222

2112212212121212112ff,22222113313313131313113ff;(2)证明：∵221xfxx＝，∴2221111

11xfxxx,∴11fxfx,(3)由(2)知11fxfx，∴112,3,4,,2012fifii

∴111232012232012ffffff＝2011.15．已知函数2()xfxaxb（a，b为常数），且方程()120fxx有两个实根13x，24x．（1）求函数()fx的解析式；（2

）设1k，解关于x的不等式：(1)()2kxkfxx．【答案】（1）2()2xfxx（2）当2k时，xk或12x；当2k时，1x且2x；当12k时，2x或1xk．【解析】（1）由题意得9312031641204abab

，解得12ab，所以2()2xfxx；（2）原不等式可化为2(1)02xkxkx，即(2)(1)xx()0xk．所以当2k时，xk或12x；当2k时，1x且2x；当12k时，2x或1xk．1

6．（1）已知21,1xfxx求()fx的解析式；（2）已知()fx是二次函数，且满足(0)1,(1)()2,ffxfxx求()fx的解析式.【答案】（1）2()(01xfxxx且1)x；（2）2()1fxxx.【解析】（1

）设1tx，则1(0)xtt，代入21()1xfxx，得221(),111()ttfttt故2()(01xfxxx且1)x；（2）设所求的二次函数为2()(0)fxaxbxca.∵(0)1,1,fc则2()1fx

axbx.又∵(1)()2,fxfxx∴22(1)(1)1(1)2axbxaxbxx即22,axabx由恒等式性质，得22,0,aab1,1.ab∴所求二次函数为2()1.fxxx17．已知函数24,0()2,012,0xx

fxxxx.（1）求((2))ff，21()faaR的值；（2）当()2fx时，求x的取值范围.【答案】（1）((2))2ff，242132faaa；（2）1022xxx∣或.【解析】解:（1）因为2

4,0()2,012,0xxfxxxx所以22420f所以202fff，因为211a，所以242132faaa（2）①当0x时，由()2fx，得242020xxx

；②当0x时，满足题意③当0x时，由()2fx，得122102xxx综上所述：x的取值范围是：1{|2xx或02}x.18．（1）已知()fx是一次函数，满足(1)64fxx

，求()fx的解析式.（2）已知2(1)fxxx，求()fx的解析式.【答案】（1）()62fxx；（2）2()32fxxx.【解析】解：（1）设()fxkxb，则(1)(1)fxkxbkxkb，又因为(1)64fxx，所以64kk

b，6k，2b，所以()62fxx（2）设1xu，1xu则22()(1)(1)32fuuuuu，所以2()32fxxx.19．已知函数()1xfxx.（1）求函数()fx的定义域和值域；

（2）判断函数()fx在区间(2,5)上单调性，并用定义来证明所得结论.【答案】(1)定义域{|1}xx，值域{|1}yy；(2)单调递减，证明见解析.【解析】(1)111()1111xxfxxxx,()fx的定义域为1xx，值域1yy

.(2)由函数解析式得该函数在(2,5)为减函数，下面证明：任取12,[2,5]xx，且12xx，，2112121211()()1(1)11(1)(1)xxfxfxxxxx1225xx，210xx，1210

,10xx，12()()fxfx.函数在()1xfxx(2,5)为减函数.20．已知函数()1fxax.（1）若2a，写出()fx的单调区间(不要求证明)；（2）若对任意的[1,1],[1,2]xa，不等式2fxxb恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（

1）单调递减区间为：1,2，单调递增区间为：1,2；（2）(,2].【解析】解：（1）当2a时，()21fxx，函数图象如下所示，所以()fx的单调递减区间为：1,2；单调递增区间为：1,2

（2）记2(|)|1bgxaax，则由题意得对任意[1,2]a，()0ga，即max()0ga22110,(1)2210,(2)gxxbgxxb对任意[1,1]x恒成立由（1

）得22|1|1bxxxx对任意[1,1]x恒成立2min5(1)4bxx由（2）得222121,1221121,12xxxbxxxxx对任意[1,1]x恒成立2b

综上所述2b，即b的取值范围为(,2]21．已知f(x)=223pxxq奇函数，且5(2)3f．（1）求实数p,q的值．（2）判断函数f（x）在(,1)上的单调性，并证明．【答案】（1）p＝2，q＝0（2）见解析【解析】解：（1）由题意可得f（﹣x）+

f（x）＝0，即222233pxpxqxqx0，求得q＝0．再由f（2）2522360p，解得p＝2．综上可得，p＝2，q＝0．（2）由上可得，f（x）222233xx（x1x），函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函

数．证明：设x1＜x2＜﹣1，则f（x1）﹣f（x2）23[（x111x）﹣（x221x）]23（x1﹣x2）（12121xxxx）．由题设可得（x1﹣x2）＜0，x1•x2＞1，故有f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数f（x）在（﹣∞

，﹣1）上是增函数．22．定义在R上的函数fx对任意a，bR都有fabfafbk（k为常数）．（1）当0k时，证明fx为奇函数；（2）设1k，且fx是R上的增函数，已知45f，若不等式2233fmxmx对

任意xR恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）0,1.【解析】（1）根据题意，函数fx满足fabfafbk，当0k时，令0ab==，由fabfafb，得0000f

ff，即00f，令ax，bx，则fxxfxfx，又00f，则有0fxfx，即fxfx对任意xR成立，∴fx是奇函数．（2）根据题意，∵42215fff

，∴23f，∴22332fmxmxf．又fx是R上的增函数，∴2232mxmx，即2210mxmx，分2种情况讨论：①当0m时，不等式显然成立；此时不等式的解集为R；②当0m时，则有20440mmm

，解得01m，综上可得，实数m的取值范围是0,1．23．设函数2222()21xxfxxx，作出()yfx的图像并讨论其性质．【解析】因为2222()21xxfxxx222(1)

11(1)(1)xxx，所以将幂函数2yx-=的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数2()1(1)fxx的图象，其函数图象如图：其定义域为：(,1)(1,)，值域为：(1,)，函数()fx为非奇非偶函数，图像关于1

x对称，在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减.24．已知幂函数2242()(1)mmfxmx在(0,)上单调递增，函数()2xgxk；（1）求m的值；（2）当[1,2]x时，记()fx、()

gx的值域分别是A、B，若ABA，求实数k的取值范围；【答案】(1)0;(2)[0,1]【解析】(1)函数2242()(1)mmfxmx为幂函数，则2(=11)m，解得：0m或2m.当0m时，2()fxx在(0,)

上单调递增，满足条件.当2m时，2()fxx在(0,)上单调递减，不满足条件.综上所述0m.(2)由(1)可知,2()fxx,则()fx、()gx在[1,2]单调递增,所以()fx在[1,2]

上的值域[1,4]A,()gx在[1,2]的值域[2,4]Bkk.因为ABA,即BA,所以2144kk，即10kk，所以01k.所以实数k的取值范围是[0,1].25．已知幂函数2

242()(22)mmfxmmx在(0,)上单调递减.（1）求m的值并写出()fx的解析式；（2）试判断是否存在0a，使得函数()(21)1()agxaxfx在[1,2]上的值域为[4,

11]？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1()fxx；（2）存在，6a.【解析】（1）因为幂函数2242()(22)mmfxmmx在(0,)上单调递减，所以

22221,420,mmmm解得：3m或1m（舍去），所以1()fxx.（2）由（1）得1()fxx，所以()(1)1gxax，假设存在0a使得命题成立，则当10a时，即1a，()gx在[1,2]

单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,gaaga；当10a，即1a，()1gx显然不成立；当10a，即1a，()gx在[1,2]单调递减，所以(1)11,1111,(2

)4,2214,gagaa无解；综上所述：存在6a使命题成立.26．已知幂函数223()()mmfxxmz为偶函数，在区间(0,)上是单调增函数，（1）求函数()fx的解析式；

（2）设函数()2()81gxfxxq，若()0[1,1]gxx对任意恒成立，求实数q的取值范围．【答案】（1）4()fxx；（2）(7,)【解析】（1）22()(0,)230,230,fxmmmm

在区间上单调递增，即34413,,0,1,2,02()1(),()mmzmmfxxmfxxfxx又而或时，不是偶函数，时，是偶函数（2）42min()()281,()0

[1,1]()0,[1,1],fxxgxxxqgxxgxx由知对任意2min()281[1,1],(1)7,707(7,).gxxxqgxgqqqq又在上单调递减于是，即，故实数的取值范围

是27．已知幂函数fx的图象经过点1(2,)4.（1）求函数fx的解析式；（2）证明：函数fx在(0,)上是减函数．【答案】（1）221()fxxx（2）证明见详解.【解析】（1）设幂函数afxx，则

有1(2)4a，即2–22a，∴–2a，∴221()fxxx.（2）证明：在(0,)上任取12,xx，且12xx.则2221212112222212121211xxxxxxfxfxxxxxxx，因为12xx，故210

xx，即120fxfx∴12()()fxfx，∴函数fx在(0,)上是减函数.即证.28．已知幂函数()yfx的图象过点(2,2).（1）求出函数()yfx的解析式，判断并证明()yfx在[0,)上的单调性；（2）函数()gx是R上的偶函数，当0x…时，

()()gxfx，求满足(1)5gm„时实数m的取值范围.【答案】（1）12()fxx，()fx在[0,)上是增函数；证明见解析（2）[4,6]【解析】（1）设幂函数的解析式为()yfxx

，将点(2,2)代入解析式中得22，解得12，所以，所求幂函数的解析式为12()fxx.幂函数12()fxxx在[0,)上是增函数.证明：任取12,[0,)xx，且12xx，则1212

fxfxxx121212()()xxxxxx2212xxxx，因为12xx，120xx，所以12fxfx，即幂函数()fxx在[0,)上是增函数（2）当0x时，()()gxfx，而幂函数()fxx在[0,)上是增函数，所以当0x时

，()gx在[0,)上是增函数.又因为函数()gx是R上的偶函数，所以()gx在(,0]上是减函数.由(5)5g，(1)5gm可得：|1|5m，即46m，所以满足(1)5gm时实数m的取值范围为[4,6].2

9．已知函数281xfxx，21gxxax.（1）若对任意xR，1,1a，不等式3fxgt恒成立，求t的取值范围.（2）若存在aR，对任意10,x，总存在唯一01,2x，使得

10fxgx成立，求a的取值范围.【答案】（1）1t或0t或1t；（2）2a或2a.【解析】（1）因为xR，221120xxx，所以212xx，所以xR，2211xx，故

max4fx，要使对任意xR，1,1a，不等式3fxgt恒成立，只需2max4fxtat，所以244tat，即20tat-.记2hatat，因为1,1a，所以只需1010,hh，即

2200tttt，解得1t或0t或1t.故t的取值范围为1t或0t或1t.（2）当0x时，00f；当0,x时，28811xfxxxx，因为1122xxxx，当且仅当1x时，等号成立，所以80,41fxxx

，所以函数fx在0,上的值域为0,4.由题意知20,4112yyxaxx，以下分三种情况讨论：①当12a，即2a时，则1202524gaga，解得2a

；②当22a，即4a时，则1242520gaga，解得4a；③当122a，即24a时，则2212410242aaggaa或22125204422aaagga

，即222aaa或或2212aaa或，所以24a，或2a.综上，a的取值范围为2a或2a.30．已知函数21322mfxmmx是幂函数.(1)求函数

fx的解析式;(2)判断函数fx的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数fx在0,上的单调性,并证明你的结论.【答案】(1)2fxx;(2)函数fx为偶函数;(3)fx在0,上单调递减,证明见解析.【解析】（1）因为函数21322mfx

mmx是幂函数，则2221mm，解得1m，故2fxx．（2）函数2fxx为偶函数．证明如下：由（1）知2fxx，其定义域为0xx关于原点对称，因为对于定义域内的任意x，都有222211fxxxf

xxx，故函数2fxx为偶函数．（3）fx在0,上单调递减．证明如下：在0,上任取1x，2x，不妨设120xx，则221212221211fxfxxxxx2221212122221212xxxxxxxxxx

，12,0,xx且12xx，222121120,0,0xxxxxx，12fxfxfx在0,上单调递减.【点睛】本题主要考查的是幂函数，函数的奇偶性、单

调性，主要是它们定义的应用，考查学生的计算能力，是基础题.