【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：选修4－4 坐标系与参数方程 第二节 参数方程 (含详解).ppt，共(47)页，491.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节参数方程本节主要包括2个知识点：1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.突破点(一)参数方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上_________的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝ft，y＝gt，

并且对于t的每一个允许值，由方程组x＝ft，y＝gt所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程x＝ft，y＝gt就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称．相对于参数方程而言，直接

给出点的坐标间关系的方程叫做．任意一点参数普通方程2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝，y＝(t为参数)．(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝，y＝___

________(θ为参数)．(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为x＝，y＝(φ为参数)．x0＋tcosαy0＋tsinαx0＋rcosθacosφbsinφy0＋rsinθ参数方程与普通方程的互化1．参数方程化为普通方程基本思

路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2

θ＋cos2θ＝1等．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”2．普通方程化为参数方程(1)选择参数的一般原则曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值；(2)具体步骤第

一步，引入参数，但要选定合适的参数t；第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t));第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝ψ(t)

)，问题得解．[例1]将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝1t，y＝1tt2－1(t为参数)；[解]∵1t2＋1tt2－12＝1，∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝1t，∴x≠0.当t≥1时，

0<x≤1，当t≤－1时，－1≤x<0，∴所求普通方程为x2＋y2＝1，其中0<x≤1，0≤y<1或－1≤x<0，－1<y≤0.[解]∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2

sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．(2)x＝2＋sin2θ，y＝－1＋cos2θ(θ为参数)．[易错提

醒](1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x，y的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x，y的取值范围的影响．直线与圆锥曲线的参数方程及应用1．解决直线与圆锥曲线的参数方程

的应用问题，其一般思路如下：第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．2．当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成x＝x0＋

tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1·t2.[例2]

(2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：x＝2＋tcosα，y＝3＋tsinα(t为参数)与曲线C：x＝2cosθ，y＝sinθ(θ为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若α＝π3

，求线段AB的中点M的坐标；(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，3)，求直线l的斜率．[解](1)将曲线C的参数方程化为普通方程是x24＋y2＝1.当α＝π3时，设点M对应的参数为t0.直线l的方程为x＝2＋12t，y＝3＋32t(t为参数)

，代入曲线C的普通方程x24＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.则t0＝t1＋t22＝－2813，所以点M的坐标为1213，－313.[解]将

x＝2＋tcosα，y＝3＋tsinα代入曲线C的普通方程x24＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(83sinα＋4cosα)t＋12＝0，因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝12cos2α＋4sin2α，|OP|2＝7，所以12cos2α＋4sin2α＝7，得tan

2α＝516.由于Δ＝32cosα(23sinα－cosα)>0，故tanα＝54.所以直线l的斜率为54.(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，3)，求直线l的斜率．[方法技巧]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系

来解决问题．2．对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)的直线的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝3k1＋k

2，y＝6k21＋k2(k为参数)；解：两式相除，得k＝y2x，将其代入x＝3k1＋k2得x＝3·y2x1＋y2x2，化简得4x2＋y2－6y＝0，因为y＝6k21＋k2＝6－11＋k2，所以0<y<6，所以所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0

(0<y<6)．解：由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．(2)x＝1－sin2θ，y＝

sinθ＋cosθ(θ为参数)．2．[考点二](2017·唐山模拟)已知曲线C的参数方程为x＝6cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换x′＝13x，y′＝14y得到曲线C′.(1)求曲线C′的普通方程；

(2)若点A在曲线C′上，点D(1,3)．当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．解：(1)将x＝6cosθ，y＝4sinθ代入x′＝13x，y′＝14y，得曲线C′的参数方程为x′＝2cosθ，y′

＝sinθ，∴曲线C′的普通方程为x24＋y2＝1.(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，又D(1,3)且AD的中点为P，∴x0＝2x－1，y0＝2y－3.又点A在曲线C′上，∴将A点坐标代入C′的普通方程x24＋y2＝1，得(2x－1)2＋4(2

y－3)2＝4，∴动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4.3．[考点二](2017·郑州模拟)将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜

角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；(2)求|AC|－|BD|.解：(1)由题意可得C2：x22＋y2＝1，对曲线C1，令y＝0，得x＝1，所以l：

x＝1＋32t，y＝12t(t为参数)．解：将x＝1＋3t2，y＝12t代入x22＋y2＝1，整理得5t2＋43t－4＝0.设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－435，且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos30°＝3，故|AC

|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋3＝35.(2)求|AC|－|BD|.4．设直线l的参数方程为x＝3＋tcosα，y＝4＋tsinα(t为参

数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为x＝1＋2cosθ，y＝－1＋2sinθ(θ为参数)．(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．解：(1)由

已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝52.[考点二]解：将圆C的参数方程x＝1＋2cosθ，y＝－1＋2sinθ，化成普通方

程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，①将直线l的参数方程代入①式，得t2＋2(2cosα＋5sinα)t＋25＝0.②当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cosα＋5sinα)2－100＞0，即20sinαcosα＞21cos2α，两边同除以cos2α，由此解得

tanα＞2120，即直线l的斜率的取值范围为2120，＋∞.(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．突破点(二)参数方程与极坐标方程的综合问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程

的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：1解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.2应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐

标之间的“一对多”关系.3求曲线方程，常设曲线上任意一点Pρ，θ，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.4参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x，y的取值范

围，即注意两者的等价性.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”参数方程与极坐标方程的综合问题[典例](2017·长沙模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝－1＋cosα，y＝sinα(α为参数)，以原点O为极点，

x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋ksinθ)＝－2(k为实数)．(1)判断曲线C1与直线l的位置关系，并说明理由；(2)若曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的斜率．[解](1)由曲线C1的参数方程x＝－1＋

cosα，y＝sinα可得其普通方程为(x＋1)2＋y2＝1.由ρ(cosθ＋ksinθ)＝－2可得直线l的直角坐标方程为x＋ky＋2＝0.因为圆心(－1,0)到直线l的距离d＝11＋k2≤1，所以直线与圆相交

或相切，当k＝0时，d＝1，直线l与曲线C1相切；当k≠0时，d<1，直线l与曲线C1相交．[解]由于曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝2，故圆心到直线l的距离d＝11＋k2＝1－222＝22，解得k＝±1，所以直

线l的斜率为±1.(2)若曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的斜率．[方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然

，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知曲线C的参数方

程为x＝3＋10cosα，y＝1＋10sinα(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；(2)若直线的极坐标方程为sinθ－cosθ＝1ρ，求直线被曲线C截得的弦长．解：(1)∵曲线C的参数方程

为x＝3＋10cosα，y＝1＋10sinα(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①曲线C表示以(3,1)为圆心，10为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρs

inθ代入①并化简，得ρ＝6cosθ＋2sinθ，即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋2sinθ.(2)∵直线的直角坐标方程为y－x＝1，∴圆心C到直线的距离为d＝322，∴弦长为210－92＝22.2．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a

cosθ(a≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为x＝3t＋1，y＝4t＋3(t为参数)．(1)求圆C的标准方程和直线l的普通方程；(2)若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．解：(

1)由ρ＝2acosθ，ρ2＝2aρcosθ，又ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2.由x＝3t＋1，y＝4t＋3，得x－13＝t，y－34＝t，因此x－13＝y－34，所以直线l的普通方程为4x－3y

＋5＝0.解：因为直线l与圆C恒有公共点，所以|4a＋5|42＋－32≤|a|，两边平方得9a2－40a－25≥0，所以(9a＋5)(a－5)≥0，解得a≤－59或a≥5，所以a的取值范围是－∞，－59∪

5，＋∞.(2)若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系

，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程

为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.解：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ

2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以直线l的斜率为153或－153.(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝

tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴

，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．解：(1)C1的普通方程为x23＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解：

由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2sinα＋π3－

2，当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为32，12.(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝tcos

α，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与

C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝0或

x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.解：曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为

(23cosα，α)．所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于

点B，求|AB|的最大值．4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：x24＋y29＝1，直线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A

，求|PA|的最大值与最小值．解：(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.解：曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为

d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|.则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tanα＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA

|取得最小值，最小值为255.(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos

θ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为x＝1＋cost

，y＝sint(t为参数，0≤t≤π)．解：设D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝3，t＝π3.故D的直角坐标为1＋cosπ3，sinπ3，即

32，32.(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为x＝4＋5cost，y＝5＋5sint，(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将x＝4＋5cost，y＝5＋5sint消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－

10y＋16＝0.将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.解：C2的普通方程为

x2＋y2－2y＝0.由x2＋y2－8x－10y＋16＝0，x2＋y2－2y＝0，解得x＝1，y＝1，或x＝0，y＝2.所以C1与C2交点的极坐标分别为2，π4，2，π2.(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)

．