【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：选修4－4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系 (含详解).ppt，共(32)页，466.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第一节坐标系本节主要包括2个知识点：1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2.极坐标系.选修4－4坐标系与参数方程突破点(一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通抓主干知识的“源”与“流”设点P(x，y)是平面直角坐

标系中的任意一点，在变换φ：x′＝，y′＝的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．λ·xλ＞0μ·yμ＞0考点贯通抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例]求椭圆x24＋y2＝

1，经过伸缩变换x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．[解]由x′＝12x，y′＝y得到x＝2x′，y＝y′.①将①代入x24＋y2＝1，得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程

是x2＋y2＝1.[方法技巧]应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式

X＝axa>0，Y＝byb>0建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．在同一平面直角坐标系中，

已知伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y.求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标．解：设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，得到x′＝3x，y′＝12y，由于点A的坐标为13，－2，于是x′＝3×13＝1，y

′＝12×(－2)＝－1，所以A′(1，－1)为所求．2．求直线l：y＝6x经过φ：x′＝3x，2y′＝y变换后所得到的直线l′的方程．解：设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由题意，将x＝13x′，y＝2y′

代入y＝6x得2y′＝6×13x′，所以y′＝x′，即直线l′的方程为y＝x.3．求双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x′＝3x，2y′＝y变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由题意，将x＝13x′，y＝2y′代入

x2－y264＝1得x′29－4y′264＝1，化简得x′29－y′216＝1，即x29－y216＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)．4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆x29＋y2

4＝1的一个伸缩变换公式为φ：X＝axa>0，Y＝byb>0，求a，b的值．解：由X＝ax，Y＝by知x＝1aX，y＝1bY，代入x2＋y2＝1中得X2a2＋Y2b2＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.突破点(二)极坐标系基础联通抓主

干知识的“源”与“流”1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个O，点O叫做极点，自极点O引一条Ox，Ox叫做极轴；再选定一个、一个__________(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，

这样就建立了一个极坐标系．定点射线长度单位角度单位(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与__________________表示同一个点，特别地，极点O的坐标为____________，和直角坐标不

同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)(0

，θ)(θ∈R)2．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝_______，y＝_________ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0ρcosθρsinθ考点贯通抓高考命

题的“形”与“神”极坐标与直角坐标的互化1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，

一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的

点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcosθ，ρsinθ代替即可得到相应极坐标方程．(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该

点与坐标原点的距离，即计算ρ；第二步，根据角θ的正切值tanθ＝yx(x≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y轴上)，问题即解．[例1]在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22.(1

)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[解](1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直

线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.[解](2)由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0得x＝0，y＝1，则直线l与圆

O公共点的一个极坐标为1，π2.(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[方法技巧]1．应用互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点．(2)以x轴的正半轴为极轴．(3)两种坐标系

规定相同的长度单位．2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意

判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．极坐标方程的应用[例2](2017·福州五校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2－22ρcosθ＋π4－2＝0.以极点为平面直角坐标系

的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.(1)若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；(2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值．[解](1)

ρ2－22ρcosθ＋π4－2＝0，即ρ2－2ρcosθ＋2ρsinθ－2＝0，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，圆心C(1，－1)，若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直，即kl·kOC＝－1，kO

C＝－1，因而kl＝1，故直线l的直角坐标方程为y＝x.[解]因为M是曲线C上的动点，因而利用圆的参数方程可设x＝1＋2cosφ，y＝－1＋2sinφ(φ为参数)，则x＋y＝2sinφ＋2cosφ

＝22sinφ＋π4，当sinφ＋π4＝1时，x＋y取得最大值22.(2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值．[易错提醒]用极坐标系解决问题时要注

意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ＋π4＝2，点A的极坐标为A22，7π4，求点A到直线l的距离．解：由

2ρsinθ＋π4＝2，得2ρ22sinθ＋22cosθ＝2，由坐标变换公式，得直线l的直角坐标方程为y＋x＝1，即x＋y－1＝0.由点A的极坐标为22，7π4得点A的直角坐标为(2，－2)，所以点A到直线l的距离d＝|2－2－

1|2＝22.[考点一、二]2．已知圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径．解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋22ρ22sinθ－22cosθ－4＝0，

化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.由坐标变换公式，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为6.[考点一]3．[考点二]在极坐标系中，直线ρ(sinθ－cosθ)＝a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|

AB|＝23，求实数a的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以圆心C到直线的距离为|1＋2＋a|2＝r2－|AB|22＝2，解得a＝－5或a＝－1.故

实数a的值为－5或－1.4．[考点一、二](2017·洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交

点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x2＋y2＝4.因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2.由坐标变换公式，得x2＋y2－2x－2y－2＝0.解：将两圆的直角坐标方程相减，得经过两

圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线

C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C

3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ

，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.解：曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.若ρ≠0，由方

程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴

建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2

－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.解：将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1

，所以△C2MN的面积为12.(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．