【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第七章 不等式 第二节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 (含详解).ppt，共(55)页，1.128 MB，由MTyang资料小铺上传

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第二节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题本节主要包括3个知识点：1.二元一次不等式组表示的平面区域；2.简单的线性规划问题；3.线性规划的实际应用.突破点(一)二元一次不等式(组)表示的平面区域基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．二元一次不等

式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C＞0不包括边界直线Ax＋By＋C≥0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的_________公共部分2.确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的

方法步骤以上简称为“直线定界”，特殊点定域考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求平面区域的面积1．求平面区域的面积，要先作出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积．2．求平面区域的面积问题，平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC为等腰直角三角形(A为直角)时

，点B到直线AC的距离即△ABC的腰长|AB|.由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出．[例1]不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域的面积为()A．4B．1

C．5D．无穷大[解析]不等式组2x＋y－6≤0，x＋y－3≥0，y≤2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝12×(2－1)×2＝1.[答案]B[方法技巧]解

决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规

则图形则利用割补法求解．[提醒]求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．根据平面区域满足的条件求参数不等式组中的参数影响平面区域的形状，如果不等式组中的不等式含有参数，这时它表示的区域的分界线是一条变动的直线，此

时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状，进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势，确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参

数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．[例2]若不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0，x＋y≤a表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A.43，＋∞B．(0,1]C.1，43D．(0,1]∪43，＋

∞[解析]不等式组x－y≥0，2x＋y≤2，y≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由y＝x，2x＋y＝2，得A23，23；由y＝0，2x＋y＝2，得B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中a的取值范

围是0<a≤1或a≥43.[答案]D[易错提醒]此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通抓应用

体验的“得”与“失”1．设动点P(x，y)在区域Ω：x≥0，y≥x，x＋y≤4上，过点P任作直线l，设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为()A．πB．2πC．3πD．4π[考点一]解析：作出不等

式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB长度的最大值为4，则以AB为直径的圆的面积为最大值S＝π×422＝4π.答案：D2.若不等式组x＋y－2≤0，x＋2y－2≥0，x－y＋2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为()A．－3B．

1C.43D．3解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，[考点二]易求A，B，C，D的坐标分别为A(2,0)，B(1－m,1＋m)，C2－4m3，2＋2m3，D(－2m,0)．S△ABC＝S△ADB－S△

ADC＝12|AD|·|yB－yC|＝12(2＋2m)1＋m－2＋2m3＝(1＋m)1＋m－23＝43，解得m＝1或m＝－3(舍去)．答案：B3.不等式组x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出不

等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝12×2×(2＋2)＝4.答案：4[考点一]4.若满足条件x－y≥0，x＋y－2≤0，y≥a的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整

数的点，则整数a的值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1，0)，(2,0)；当a＝－1时，增加了(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(

2，－1)，(3，－1)共5个整点，此时，整点的个数共9个，故整数a＝－1.答案：－1[考点二]突破点(二)简单的线性规划问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的__

________线性约束条件由x，y的不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数_______，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的函数解析式一次解析式一次不等式(组)名称意义可行域所有可行解组成的_____最优解使目标函数取得______

_或_______的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_______或________问题集合最大值最小值最大值最小值2.简单线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”

．即考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线性目标函数的最值[例1](2016·天津高考)设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，2x＋3y－6≥0，3x＋2y－9≤0，则目标函数z＝2x＋5y的最小值为()A．－4B．6C．10D．17[解析]由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y

＝－25x＋15z，在图中画出直线y＝－25x，平移该直线，易知经过点A时z最小．又知点A的坐标为(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.故选B.[答案]B[方法技巧]求解线性目标函数最值的常用方法线性目标函数的最优解一般在平

面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．非线性目标函

数的最值[例2](2016·山东高考)若变量x，y满足x＋y≤2，2x－3y≤9，x≥0，则x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12[解析]作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内点到原点距离的平方

，由x＋y＝2，2x－3y＝9得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C.[答案]C[方法技巧]非线性目标函数最值问题的常见类型及求法(1)距离平方型：目标函数为z＝

(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解．(2)斜率型：对形如z＝ay＋bcx＋d(ac≠0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝a

c·y－－bax－－dc的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等．(3)点到直线距离型：对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝A2＋B2·|Ax＋By＋C|A2＋B2的

形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的A2＋B2倍的最值．[方法技巧]线性规划中的参数问题[例3]已知x，y满足约束条件x－y≥0，x＋y≤2，y≥0.若z＝

ax＋y的最大值为4，则a＝()A．3B．2C．－2D．－3[解析]画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2.[答案]B求解线性规划中含参问题的两种

基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参

数．[方法技巧]能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．设x，y满足约束条件x＋y－7≤0，x－3y＋1≤0，3x－y－5≥0，则z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．2解析：作出可行域如图中

阴影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.答案：B[考点一]2.已知(x，y)满足x≥0，y≥0，x＋y≤1，则k＝yx＋1的最大值为

()A.12B.32C．1D.14[考点二]解析：如图，不等式组x≥0，y≥0，x＋y≤1表示的平面区域为△AOB的边界及其内部区域，k＝yx＋1＝y－0x－－1表示平面区域内的点(x，y)和点(－1,0)连线的斜率．由图知，平面区域内的点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大

，所以kmax＝1－00－－1＝1.答案：C3.[考点一](2017·银川模拟)设z＝x＋y，其中实数x，y满足x＋2y≥0，x－y≤0，0≤y≤k，若z的最大值为6，则z的最小值为()A．－3B．－2C．－1D．0解析：作出实数x，y满足的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当

目标函数z＝x＋y经过点C(k，k)时，取得最大值，且zmax＝k＋k＝6，得k＝3.当目标函数z＝x＋y经过点B(－6,3)时，取得最小值，且zmin＝－6＋3＝－3，故选A.答案：A4.x，y满足约束条件

x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A．12或－1B．2或12C．2或1D．2或－1解析：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，

[考点三]可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.答

案：D5.设x，y满足约束条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为________．解析：作出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，如图中阴影部分所示．[考点二](x＋1)2＋y

2可看作点(x，y)到点P(－1，0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1，0)的距离最大．解方程组x＝3，x－y＋5＝0，得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.答案

：80突破点(三)线性规划的实际应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”解线性规划应用题的一般步骤考点贯通抓高考命题的“形”与“神”线性规划的实际应用[典例]某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产

品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元[解析]设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有

3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.[答案]D[方法技巧]求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件

，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式

的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组2a－b≥5，a－b≤2，a＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x＝()A．10B．12C．13D．16解析：如图所示，画

出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b＋a＝0，并平移，结合a，b∈N，可知当a＝6，b＝7时，a＋b取最大值，故x＝6＋7＝13.答案：C2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲

机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_

_______元．解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件3x＋y≤11，x＋3y≤9，x∈N，y∈N，生产利润为z＝300x＋400y.画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝

300x＋400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，由方程组3x＋y＝11，x＋3y＝9，解得x＝3，y＝2，则zmax＝300×3＋400×2＝1700.故最大利润是1700元．答案：1700[全国卷5年真题集中演练——明规律]1

．(2014·新课标全国卷Ⅰ)不等式组x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是

()A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3解析：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.答案

：C2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知a＞0，x，y满足约束条件x≥1，x＋y≤3，y≥ax－3.若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝()A.14B.12C．1D．2解析：由已知约束条件，作出

可行域如图中△ABC内部及边界部分所示，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，a＝12，故选B.答案：B3．(2016·全国丙

卷)若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，x－2y≤0，x＋2y－2≤0，则z＝x＋y的最大值为________．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线x＋y＝0，当直线经过A点时，z

取得最大值，由x－2y＝0，x＋2y－2＝0得A1，12，zmax＝1＋12＝32.答案：324．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料

1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个

工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈

N*.即3x＋y≤300，10x＋3y≤900，5x＋3y≤600，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*.目标函数为z＝2100x＋900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．作直线2100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0

并上下平移，易知当直线经过点M时，z取得最大值，联立10x＋3y＝900，5x＋3y＝600，解得B(60,100)．则zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．答案：2160005．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件x－1≥0，x－y≤0，

x＋y－4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x，y)在点A处时yx最大．由x＝1，x＋y－4＝0，得x＝1，y＝3.∴A(1,3)．∴yx的最大值为3.答案：36．(2012·新课标

全国卷)设x，y满足约束条件x－y≥－1，x＋y≤3，x≥0，y≥0，则z＝x－2y的取值范围为________．解析：依题意，画出可行域，如图所示，可行域为ABOC，显然，当直线y＝12x－z2过点A(1,2)

时，z取得最小值为－3；当直线过点B(3,0)时，z取得最大值为3，综上可知z的取值范围为[－3,3]．答案：[－3,3]