【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第七章 不等式 第三节 基本不等式 (含详解).ppt，共(34)页，435.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第三节基本不等式本节主要包括2个知识点：1.利用基本不等式求最值；2.基本不等式的综合问题.突破点(一)利用基本不等式求最值基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．a>0，b>0a＝b2．几个重要的不

等式1a2＋b2≥_____，a，b∈R；2ba＋ab≥2，ab>0；3ab≤a＋b22，a，b∈R；4a2＋b22≥a＋b22，a，b∈R当且仅当a＝b时等号成立.2ab3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为____，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：____________________________________________．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x＋y有最小

值是2p.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当_____时，xy有最大值是____.(简记：和定积最大)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数x＝yx＝yp24a＋b2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”通过拼凑法利用基本不等式求最值[例1](1)

已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为()A.13B.12C.34D.23(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．[解析](1)∵0<x<1，∴x(3－3x)

＝3x(1－x)≤3x＋1－x22＝34.当且仅当x＝1－x，即x＝12时，等号成立．[答案]B[解析]因为x<54，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－5－4x

＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.[答案]1(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．[方法技巧]通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在

于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．通过常数代换法

利用基本不等式求最值[例2]已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________．[解析]∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，即1a

＋1b的最小值为4，当且仅当a＝b＝12时等号成立．[答案]4[方法技巧]常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的

定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．通过消元法利用基本不等式求最值[例3]已知正实数x，y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为_

_______．[解析]因为xy＋2x＋y＝4，所以x＝4－yy＋2.由x＝4－yy＋2>0，得－2<y<4，又y>0，则0<y<4，所以x＋y＝4－yy＋2＋y＝6y＋2＋(y＋2)－3≥26－3，当且仅当6y＋2＝y＋2(0<y<4)，即y

＝6－2时取等号．[答案]26－3[方法技巧]通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二](2016·

海口调研)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则ab的最大值为()A．1B．14C．12D．22解析：∵a，b∈(0，＋∞)，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14，当且仅当a＝b＝12时等号成立．答案：B2.已知函数y＝x－4＋9x＋1(x＞－1)，当x

＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于()A．－3B．2C．3D．8解析：y＝x－4＋9x＋1＝x＋1＋9x＋1－5，因为x＞－1，所以x＋1＞0，9x＋1＞0.所以由基本不等式，得y＝x＋1＋9x＋1－5≥2x＋1·9x＋1－5＝1，当且仅当x＋1＝9x＋1，即(x＋1)2＝9，即x

＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.答案：C[考点一]3.[考点三]已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：由已知得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤

x＋3y22，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，令x＋3y＝t，则t＞0，且t2＋12t－108≥0，得t≥6.即x＋3y≥6.答案：C4.已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1＋1a1＋1b的

最小值为________．解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋ba1＋a＋bb＝2＋ba·2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝12时，取等号．答案：9[考点二]5.[考点二]实

数x，y满足x＋2y＝2，则3x＋9y的最小值是______．解析：利用基本不等式可得3x＋9y＝3x＋32y≥23x·32y＝23x＋2y.∵x＋2y＝2，∴3x＋9y≥232＝6，当且仅当3x＝32y，即x＝1，y

＝12时取等号．答案：6突破点(二)基本不等式的综合问题关于基本不等式的考题，涉及的知识点较多，常融合于函数、数列、解析几何及实际问题中，此类问题一般难度较大，需要较强的分析问题、解决问题的能力.考点贯通抓高考命题的“

形”与“神”基本不等式的实际应用[例1]某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应

生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件[解析]若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是x8元，总的费用是800x＋x8≥2800x·x8＝20，当且仅当800x＝x8，即x＝80时取等

号．[答案]B[方法技巧]利用基本不等式求解实际应用题的三个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．基本不等式与其他

知识的交汇问题[例2]设x，y满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则3a＋2b的最小值为()A.256B.83C.113D．4[解析]不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影

部分所示．由z＝ax＋by得y＝－abx＋zb，当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为－ab，在y轴上的截距为zb，由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最大，从而z也最大，所以4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，所以3a＋2b

＝2a＋3b6·3a＋2b＝166＋6＋4ab＋9ba≥4，当且仅当a＝32，b＝1时等号成立．[答案]D[方法技巧]求与其他知识交汇的最值问题的类型及策略(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式

求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．与基本不等式有关的参数问题[例3](1)已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8[解析](x＋y)1x＋ay＝1＋a＋y

x＋axy≥1＋a＋2a＝(a＋1)2(x，y，a>0)，当且仅当y＝ax时取等号，所以(x＋y)·1x＋ay的最小值为(a＋1)2，于是(a＋1)2≥9恒成立，所以a≥4，故选B.[答案]B[解析]因为x>y>z，所以x－y>0，y－z>0，x－z>0，不等式1x－

y＋1y－z≥nx－z恒成立等价于n≤(x－z)1x－y＋1y－z恒成立．因为x－z＝(x－y)＋(y－z)≥2x－yy－z，1x－y＋1y－z(2)设x>y>z，且1x－y＋1y－z≥nx－z(n∈N)恒成立，则n的最大值为()A．2B．3C．4D．5≥21x－y×1y－

z，所以(x－z)·1x－y＋1y－z≥2x－yy－z×21x－y×1y－z＝4(当且仅当x－y＝y－z时等号成立)，则要使n≤(x－z)1x－y＋1y－z恒成立，只需使n≤4(n∈N)，故n的最大值为4.[答案]C

[方法技巧]求参数的值或取值范围的方法观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二](2016·银川模拟)若直线2ax＋by－2＝0(a>0，b>0)平分圆x2＋y2－2x－4y－6＝0，则2a＋1b的最小值是

()A．2－2B.2－1C．3＋22D．3－22解析：∵圆心为(1,2)在直线2ax＋by－2＝0上，∴a＋b＝1，∴2a＋1b＝2a＋1b(a＋b)＝3＋2ba＋ab≥3＋22.当且仅当2ba＝ab，即a＝2－2，b＝2－1时等号成立．答案：C2.[考点二](201

6·东北育才学校模拟)设OA＝1，－2，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则2a＋1b的最小值是()A．4B.92C．8D．9解析：∵AB＝OB－OA＝a－1，1，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)，若A，B，C三点共

线，则有AB∥AC，∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴2a＋1b＝2a＋1b·(2a＋b)＝5＋2ba＋2ab≥5＋22ba·2ab＝9，当且仅当

2ba＝2ab，2a＋b＝1，即a＝b＝13时等号成立．答案：D3.[考点三]已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，22－1)C．(－1,22

－1)D．(－22－1,22－1)解析：由32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，得k＋1<3x＋23x.∵3x＋23x≥22，当且仅当3x＝23x，即x＝12log32时，等号成立，∴k＋1<22，即k<22－1.答案：B4.[

考点一]某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是_______

_万元．解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－x＋25x，而x>0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．答案：85.[考点三]已知正数x，y满足x＋22x

y≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即x＋22xyx＋y≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即x＋22xyx＋y的最大值为2.又λ≥x＋22xyx＋y，因此有λ≥2，

即λ的最小值为2.答案：2