【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第七章 不等式 第一节 不等式的性质及一元二次不等式 (含详解).ppt，共(41)页，537.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第一节不等式的性质及一元二次不等式本节主要包括2个知识点：1.不等式的性质；2.一元二次不等式.第七章不等式突破点(一)不等式的性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．比较两个实数大小的方法(1)作差

法a－b>0⇔aba，b∈R，a－b＝0⇔aba，b∈R，a－b<0⇔aba，b∈R.(2)作商法ab>1⇔aba∈R，b>0，ab＝1⇔aba∈R，b>0，ab<1⇔aba∈R，b>0.>＝<>＝<2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性

a>b⇔⇔传递性a>b，b>c⇒_____⇒可加性a>b⇔__________⇔a>bc>0⇒______可乘性a>bc<0⇒______注意c的符号b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bc性质性质内容特别提醒同向可加性a>bc>d⇒____________⇒同

向同正可乘性a>b>0c>d>0⇒_________⇒可乘方性a>b>0⇒______(n∈N，n≥1)可开方性a>b>0⇒_______(n∈N，n≥2)a，b同为正数a＋c>b＋dac>bd>0

an>bnna>nb3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质①a>b，ab>0⇒1a<1b.②a<0<b⇒1a<1b.③a>b>0,0<c<d⇒ac>bd.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b<1x<1a.(2)有关分数的性质若a>b

>0，m>0，则：①ba<b＋ma＋m；ba>b－ma－m(b－m>0)．②ab>a＋mb＋m；ab<a－mb－m(b－m>0).考点贯通抓高考命题的“形”与“神”比较两个数(式)的大小[例1](1)已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与

N的大小关系是()A．M<NB．M>NC．M＝ND．不确定[解析]M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M

>N.[答案]B[解析]易知a，b都是正数，ba＝2ln33ln2＝log89＞1，所以b＞a.[答案]<(2)若a＝ln22，b＝ln33，则a________b(填“＞”或“＜”)．[方法技巧]比较两个数(式)大小的两种方法不等式的性质

[例2](1)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A.1a<1bB．ab<b2C．－ab<－a2D．－1a<－1b[解析]法一(性质判断)：对于A项，由a<b<0，得b－a>0，ab>0，故1a－1b＝b－aab>0，1a>1b，故A项错误；对于B项，由a<b<0，

得b(a－b)>0，ab>b2，故B项错误；对于C项，由a<b<0，得a(a－b)>0，a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；对于D项，由a<b<0，得a－b<0，ab>0，故－1a－－1b＝a－bab<0，－1a<－1b成立，故D项正确．法二(特殊值法)

：令a＝－2，b＝－1，则1a＝－12>1b＝－1，ab＝2>b2＝1，－ab＝－2>－a2＝－4，－1a＝12<－1b＝1.故A、B、C项错误，D项正确．[答案]D[解析]取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a<b，∴B错

误；∵ac2<bc2，∴c≠0，又c2>0，∴a<b，C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．[答案]C(2)下列命题中，正确的是()A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若ac2<bc2，则a<bD

．若a>b，c>d，则a－c>b－d[解析]x1>3，x2>3⇒x1＋x2>6，x1x2>9；反之不成立，例如x1＝12，x2＝20，x1＋x2＝412>6，x1x2＝10>9，但x1<3.故“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的充分不必要条件．[

答案]A(3)(2016·西安八校联考)“x1>3且x2>3”是“x1＋x2>6且x1x2>9”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．

熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的

性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]设a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．A<BD．A>B解析：由题意得，B

2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.答案：B2.[考点二]若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－mB．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜nD．m＜－n

＜n＜－m解析：法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．答案：D3.[考点二]若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc

；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中，成立的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①不成立．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac

＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd＜0，故②成立．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③成立．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④成立．成立的个数为3.答案：C4．设a，b是实数，则“a

>b>1”是“a＋1a>b＋1b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为a＋1a－b＋1b＝a－bab－1ab，若a>b>1，显然a＋1a－b＋1b＝a－bab－1ab>0，则充分性成立

，当a＝12，b＝23时，显然不等式a＋1a>b＋1b成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．答案：A[考点二]突破点(二)一元二次不等式基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．三个“二次”之间的关系判别式Δ＝b2－4ac

Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)有两个相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根判别式Δ＝b2－4a

cΔ＞0Δ＝0Δ＜0一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集__________________________R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集____________∅∅{x|x<x1或x>x2}xx≠－b2a{x|x1＜x

＜x2}2.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c>0或a>0，Δ<0.(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c<0或a<0，Δ

<0.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”一元二次不等式的解法[例1]解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；[解]原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤43，所以原不等式的解集为x－2≤x≤43.[解]原不等式等价于

x2－x－2＞0，x2－x－2≤4⇔x2－x－2＞0，x2－x－6≤0⇔x－2x＋1＞0，x－3x＋2≤0⇔x＞2或x＜－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|－2≤x＜－1

或2＜x≤3.(2)0＜x2－x－2≤4；[解]原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，因为a＞0，所以ax－1a(x－1)＜0.所以当a＞1，即1a<1时，解为1a＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1，即

1a>1时，解为1＜x＜1a.综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为x1＜x＜1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为x1a＜x＜1.(3)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．[方法技巧]1．解一元二次

不等式的方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．[方法技巧]2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的

依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系

，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求参数范围对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．考

法(一)在实数集R上恒成立[例2]已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m使得对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．[解]不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立，即函数f(x)＝mx2－2x－m

＋1的图象全部在x轴下方．当m＝0时，1－2x＜0，则x＞12，不满足题意；当m≠0时，函数f(x)＝mx2－2x－m＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解，即m＜0，Δ＝4－4m1－m＜0，不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知

不存在这样的实数m使不等式恒成立．考法(二)在某区间上恒成立[例3]设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．[解]要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜

0，即mx－122＋34m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．法一：令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜

0.所以m＜67，则0＜m＜67.当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0.所以m＜6，则m＜0.综上所述，m的取值范围是m0＜m＜67或m＜0.法

二：因为x2－x＋1＝x－122＋34＞0，又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m＜67即可．因为m≠0，所以m的取值范围是mm＜0或0

＜m＜67.考法(三)在参数的某区间上恒成立时求变量范围[例4]对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．[解]由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，

令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4，则原问题转化为关于m的一次函数问题．由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，∴g－1＝x－2×－1＋x2－4x＋4>0，g1＝x－2＋x2－4x＋4>0，解得x<1或x>3.故当x的取值范围是(－∞，1)∪(3

，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值

范围列式求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.不等式组xx＋2>0，|x|<1的解集为()A．{x|－2<x<－1}B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<1}D．{x|x>1}解析：解x(x＋2)>0，得x<－2或x>0；解|x|<1，得－1<x<1.因为不等式组的解集为

两个不等式解集的交集，即解集为{x|0<x<1}．答案：C[考点一]2.[考点一]已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于()A．－3B．1C．－1D．3解析：

由题意得，A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知，a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.答案：A3.若不等式2kx2＋kx－38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0)B．[－3

,0)C．[－3,0]D．(－3,0]解析：当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－38<0对一切实数x都成立，则k<0，k2－4×2k×－38<0，解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx2＋kx－3

8<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．答案：D[考点二·考法一]4.[考点二·考法二]若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是()A．[－4,1]B．[－4,3]C．[1,3]D．[－1,3]解析

：原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3.综上可得－4≤a≤3.答案：B5.[考点二·考法三]

要使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立，则x的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6

x＋9.因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立，所以①若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．②若x≠3，则由一次函数的单调性，可得f－1>0，f1>0，即x2－7x＋12>0，x2－5x＋6>0，解得x<2或x>4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[

全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)

解析：A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，故选A.答案：A2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1}B．{2}C．{0,1}D．{1,2}解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}

＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．答案：D3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B解析：集合A＝{x|x＞2

或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，故选B.答案：B