【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 选修4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系(含详解).ppt，共(24)页，406.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第一节坐标系选修4－4坐标系与参数方程1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝，y′＝的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的

坐标伸缩变换，简称伸缩变换．λ·xλ＞0μ·yμ＞02．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个_____O，叫做极点；自极点O引一条_____Ox，叫做极轴；再选定一个_________、一个_________(通常取弧度)

及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．定点射线长度单位角度单位(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ

，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．x2＋y2ρcosθρsinθyxx≠03．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x＝______，y

＝______；ρ2＝______，tanθ＝________.4．常见曲线的极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为r，π2，半径为r的圆的极坐标方程ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线的

极坐标方程θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程ρcosθ＝a－π2<θ<π2过点a，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程ρsinθ＝a(0<θ<π)1．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________．解析：因为

点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－π3，所以点P的极坐标为2，－π3．答案：2，－π3[小题体验]2．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝π3(θ∈R)的距离是________．

解析：设圆心到直线θ＝π3(θ∈R)的距离为d，因为圆的半径为2,d＝2·sinπ6＝1．答案：11．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．极角θ一般规定逆时针方向为正，极

坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的．1．在极坐标系中A2，－π3，B4，2π3两点间的距离为________．解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6．法二：A

2，－π3，B4，2π3的直角坐标为A(1，－3)，B(－2,23)．∴|AB|＝－2－12＋23＋32＝36＝6．答案：6[小题纠偏]2．圆ρ＝5cosθ－53sinθ的圆心的极坐标为________．解析：将方程ρ＝5cosθ－

53sinθ两边都乘以ρ得：ρ2＝5ρcosθ－53ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋53y＝0．圆心的坐标为52，－532，化成极坐标为5，5π3．答案：5，5π3(答案不唯一)考点一平面直角坐标系下图形的

伸缩变换[题组练透]1．求椭圆x24＋y2＝1，经过伸缩变换x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．解：由x′＝12x，y′＝y得到x＝2x′，y＝y′.①将①代入x24＋y2＝1，得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1．因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换

后得到的曲线方程是x2＋y2＝1．2．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝3y的作用下得到曲线的方程为y′＝3sinx′＋π6，求函数y＝f(x)的最小正周期．解：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sinx′＋π6得3y＝3sin

2x＋π6，整理得y＝sin2x＋π6，故f(x)＝sin2x＋π6．所以y＝f(x)的最小正周期为2π2＝π．[谨记通法]伸缩变换公式应用时的2个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P

的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式x′＝axa>0，y′＝byb>0建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(x′，y′)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．考点二极

坐标与直角坐标的互化[典例引领](2017·邯郸调研)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2

)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，故圆O的直角坐标方程为：x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsinθ－π4＝22，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方

程为：x－y＋1＝0．(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，解得x＝0，y＝1，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为

1，π2，即为所求．[由题悟法]1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点．(2)以x轴的非负半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位．2．极坐标与直角坐标互化的策略(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρ

sinθ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换．[即时应用]已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cosθ－π4＝2．(1)把圆O

1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sin

θsinπ4＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0．(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1．化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22．考点三曲线的极坐标方程的应用[典例引领]

(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25．(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsin

α(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0．(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极

坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11．|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44．由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±

153．所以直线l的斜率为153或－153．[由题悟法]用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题．[即时应用](2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1

)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρ

sinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0．(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2．故

ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2．由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12．