【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 选修4-4 坐标系与参数方程 第二节 参数方程(含详解).ppt，共(27)页，410.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-33609.html

以下为本文档部分文字说明：

1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上________P的坐标x，y是某个变数t的函数：x＝ft，y＝gt，并且对于t的每一个允许值，由函数式x＝ft，y＝gt所确定的点P(x，y)都在第二节参数方程任意一点__

_______，那么方程x＝ft，y＝gt叫做这条曲线的参数方程，那么方程x＝ft，y＝gt叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称_____．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做_________．曲线C

上参数普通方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为_________________________．(2)圆心在点M0(x0

，y0)，半径为r的圆的参数方程为__________________________．(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为____________________．x＝

x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)1．在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋22t(t为参数)的普通方程为________．[小题体验]解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－

1，即x－y－1＝0．答案：x－y－1＝02．椭圆C的参数方程为x＝5cosφ，y＝3sinφ(φ为参数)，过左焦点F1的直线l与C相交于A，B，则|AB|min＝________．解析：由x＝5co

sφ，y＝3sinφ(φ为参数)得，x225＋y29＝1，当AB⊥x轴时，|AB|有最小值．∴|AB|min＝2×95＝185．答案：1851．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则不等价．2．直线的参数

方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|．1．曲线C的参数方程为x＝sinθ，y＝cos

2θ－1(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．解析：由x＝sinθ，y＝cos2θ－1(θ为参数)消去参数θ得y＝－2x2(－1≤x≤1)．答案：y＝－2x2(－1≤x≤1)[小题纠偏]2．在平面直角坐标系xOy中，已

知直线l的参数方程为x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，椭圆C的方程为x2＋y24＝1，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，则线段AB的长为____________．解析：将直线l的参数方程x＝1＋12t，y＝32t代入x2＋y24＝1，得1＋12t2＋

32t24＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－167，所以|AB|＝|t1－t2|＝167．答案：167考点一参数方程和普通方程的互化[题组练透]1．求直线x＝2＋t，y＝－1－t(t为参数)与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的交点个数．解：

将x＝2＋t，y＝－1－t消去参数t得直线x＋y－1＝0；将x＝3cosα，y＝3sinα消去参数α，得圆x2＋y2＝9．又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝22＜3．因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2

．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．解：直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭

圆C的普通方程为x29＋y24＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3．3．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．解：圆的半径为

12，记圆心为C12，0，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝12＋12cos2θ＝cos2θ，yP＝12sin2θ＝sinθcosθ(θ为参数)．所以圆的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．[谨记通法]参数方程化为普通方程，主要用“

消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点二参数方程的应用[典例引领](2017·泉州调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝25sinθ．(1)写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2)若点P坐标为(3，5)

，圆C与直线l交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解：(1)由x＝3－22t，y＝5＋22t得直线l的普通方程为x＋y－3－5＝0．又由ρ＝25sinθ得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5．(2)把直

线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t2＋22t2＝5，即t2－32t＋4＝0．由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1＋t2＝32．又直线l过点P(3，5)，A

，B两点对应的参数分别为t1，t2，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32．[由题悟法](1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主

要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2．①弦长l＝|t1－t2|；②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；③|

M0M1||M0M2|＝|t1t2|．[即时应用]1．(2017·石家庄质检)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝22t，y＝3＋22t(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的

极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－2cosθ．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，∵

ρ2＝4ρsinθ－2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5．(2)将直线l的参数方程x＝22t，y＝3＋22t(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得到t2＋22t－3＝0，∴t1t2＝－3，∴|PA||PB|＝|t1t2|

＝3．2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22．(1)写出C1

的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．解：(1)C1的普通方程为x23＋y2＝1．C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0．(2)由题意，可设点P的

直角坐标为(3cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2sinα＋π3－2．当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的

直角坐标为32，12．考点三极坐标、参数方程的综合应用[典例引领](2017·郑州质检)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1．直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为π6，以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(

1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．解：(1)曲线C的直角坐标方程为：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcos

θ，所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．直线l的参数方程为x＝m＋32t，y＝12t(t为参数)．(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，得t2＋(3m－3)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2

－2m，由题意得|m2－2m|＝1，解得m＝1或m＝1＋2或m＝1－2．[由题悟法]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要

结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[即时应用](2016·东北四市联考)已知直线l的参数方程为x＝m

＋22t，y＝22t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求

|FA|·|FB|的值；(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．解：(1)曲线C的直角坐标方程为x212＋y24＝1，将左焦点F(－22，0)代入直线AB的参数方程，得m＝－22．直线AB的参数方程是x＝－22＋22t，y＝22t(t为参数)，代入椭圆方程得t2－2t－2＝0，所以|

FA|·|FB|＝2．(2)设椭圆C的内接矩形的顶点分别为(23cosα，2sinα)，(－23cosα，2sinα)，(23cosα，－2sinα)，(－23cosα，－2sinα)0＜α＜π2，所以椭圆C的内接矩形的周长为83cosα＋8sinα＝16sinα＋π

3，当α＋π3＝π2，即α＝π6时椭圆C的内接矩形的周长取得最大值16．