【文档说明】2021年高中数学人教版必修第一册：4.1.2《无理指数幂及其运算》精品教案.doc，共(7)页，106.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四章指数函数与对数函数4.1.2无理指数幂及其运算本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1.2节《无理指数幂及其运算》第１课时。从内容上看它是上节指数由整数指数幂推广到了分数指数幂，从而将指数幂的运算法则

推广到了有理数的范围，本节从有理数指数幂出发，进一步推广到了无理数，从而再整个实数范围内，都可以进行指数幂的运算。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。课程目标学科素养1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数指数

幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂；2.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。3.培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。a.数学抽象：指数幂的概念；b.逻辑推理：无理数指数幂的含义；c.数学运算：指数幂

的运算；d.直观想象：指数幂的运算法则；e.数学建模：将指数幂的运算性质推广到实数的范围；重点：分数指数幂和无理指数幂的概念；难点：根式与分数指数幂的互化；指数幂的运算性质；多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标（一）、温故知新1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数

幂规定：amn＝————(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：a－mn＝1amn＝————(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2．有

理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3.小试牛刀1．思考辨析(1)0的任何指数幂都等于0.()(2)523

＝53.()(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4a2＝a12.()[答案](1)×(2)×(3)×2．425等于()A．25B.516C.415D.54B[425＝542＝516，故选B.]3．已知a>0，则a－23等于()A.a3B．

13a2C.1a3D．－3a2B[a－23＝1a23＝13a2.]通过温故知新，帮助学生正确理解根式与分数指数幂的概念，进一步熟悉它们之间的转化，培养和发展数学抽象和数学运算的核心素养。4．(m12)4＋(－1)0＝________.m2＋1[(m12)4＋(－1)0＝m2＋1.]

（二）、探索新知无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算

性质同样适用于无理数指数幂；观察下表：25的是否表示一个确定的实数？2的过剩近似值25的近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872621.41

4229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738517752……由上可以看出：25可以由2的不

足近似值和过剩近似值进行无限逼近。（三）典例解析题型1根式与分数指数幂的互化例1将下列根式化成分数指数幂的形式：(1)aa(a>0)；(2)错误!；(3)错误!错误!(b>0).合作探究：探究.无理指数幂的概念，通过有理指数幂不断逼近，体会无理指数幂的含义。发展学生数学推理能力；通过典例

问题的分析，让学生观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。感受由特殊到一般的思想方法，发展()()2311333222243513249233935555532132121434391,111112,3.aaaaaxxxxxxxxbb

b---骣琪-创-琪桫骣琪轾=?==臌琪桫======骣骣·琪琪·琪琪桫桫轾骣犏琪===犏琪犏桫犏臌答案（）原式原式原式规律方法]根式与分数指数幂互化的规律1)根指数分数指数的分母被开方数(式)的指数分数指数的分子2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然

后利用有理数指数幂的运算性质解题跟踪训练1．将下列根式与分数指数幂进行互化．(1)a3·3a2；(2)a－4b23ab2(a>0，b>0)．()()()221133323333121141342242242336331,2.aaa

aaaababababababab+----轾??=臌??=答案题型2、利用分数指数幂的运算性质化简求解例2、化简求值()()()()()()()121321033423142336110.0276256223;42412;3243b.πabababcaab-----

-骣琪-++-+琪桫??复()()()()()()()()1223132334234321314234221111111133366366225110.3421235170.342164;2315241211;3331326332ab

abcaabcaccaabbabb---+------------轾骣骣犏琪轾琪=-++-+琪臌琪犏桫桫臌=-++-+==-?=-=-=-骣骣琪琪=阜=?琪琪桫桫答案原式原式原式14633.2ab=逻辑推理能力；规律方法]指数幂运算

的常用技巧1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算2负指数幂化为正指数幂的倒数3.底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质跟踪训练2．(1)计算：

0.064－13－－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；(2)化简：3a92a－3)÷3a－7·3a13(a>0)．()()()()()()110.75434232-113171911393713032233223666610.41220.1111

430.410.1,1688021.aaaaaa---骣骣琪琪??创-+-琪琪桫桫轾=-+-++臌=-+++=轾轾犏犏=犯?==犏犏臌臌答案原式原式题型3指数幂运算中的条件求值1.a＋1a2和a－1a2存在怎样的等量关系？提示：a＋1a2＝

a－1a2＋4.2．已知a＋1a的值，如何求a＋1a的值？反之呢？提示：设a＋1a＝m，则两边平方得a＋1a＝m2－2；反之若设a＋1a＝n，则n＝m2－2，∴m＝n＋2.即a＋1a＝n＋2.例3、已知a12＋a－12＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2

.[解](1)将a12＋a－12＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.母题探究：1.在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．[解]1、由

上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±83×14＝±1123.[解]2、令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±83，即a－a－1＝±83.规律方法]解决条件求值的思路1．在利用条

件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用三、当堂达标1．下列运算结果中，正确的是()A

．a2a3＝a5B．(－a2)3＝(－a3)2C．(a－1)0＝1D．(－a2)3＝a6[答案]A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(a－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]2．把根式aa化成分数指数幂是

()A．(－a)32B．－(－a)32C．－a32D．a32[答案]D[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]1-4813.______.16骣琪琪桫的值是答案：111-44442811622.3168133´轾骣骣骣犏琪琪琪===犏琪琪琪桫桫桫犏臌4．若10m＝2,10n＝3，则10

3m－n＝________.[答案]83[∵10m＝2，∴103m＝23＝8，又10n＝3，所以103m－n＝103m10n＝83.]112222111122222111122221,2,903,12,5m5,35aatattaaaaaa

mammaaaaa-----轾+=++==臌>+=-=+-==\=?+=-=?答案设则即由知，设则即综上可知，。通过练习巩固本节所学知识，提高解决根式的化简及根式与分数指数幂的互化能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。四、小结1.利

用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。2.指数幂运算性质学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；()

(0,,);()()(0,,);()()(0,0,).123rsrsrsrsrrraaaarsRaaarsRabababrR五、作业1.课时练2.预习下节课内容