【文档说明】(新高考)高考数学二轮精品复习专题31《利用均值和方差的性质求解新的均值和方差》(解析版).doc，共(29)页，1.085 MB，由MTyang资料小铺上传

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专题31利用均值和方差的性质求解新的均值和方差一、单选题1．设样本数据1x，2x，3x，…，19x，20x的均值和方差分别为2和8，若2iiyxm(m为非零常数，1,2,3,,19,20i)，则1y，2y，3y，…，19y，20y的均值和标准差为（）A．2m

，32B．4m，42C．2m，42D．4m，32【答案】B【分析】设样本数据lx的均值为x，方程为2s，标准差为s，由已知得新样本2iiyxm的均值为2xm，方差为222s，标准差为2s，代入可

得选项.【详解】设样本数据lx的均值为x，方程为2s，标准差为s，则新样本2iiyxm的均值为2xm，方差为222s，标准差为2s，所以24yxmm，28s，所以标准差为s22，所以22224

2s，故选：B.【点睛】本题考查均值、方差、标准差的性质，属于中档题.2．某班统计某次数学测试的平均数与方差，计算完毕才发现有位同学的试卷未登分，只好重算一次.已知第一次计算所得的平均数和方差分别为X，2S，重算时的平

均数和方差分别为1X，21S，若此同学的得分恰好为X，则（）A．2211,XXSSB．2211,XXSSC．2211,XXSSD．2121,XXSS【答案】A【分析】运用平均数和方差的运算方法分别计算出第一次

和第二次的结果，然后进行比较，得到结果.【详解】设这个班有n个同学，除被忘记登分的同学外的分数分别是12-1,,...naaa，被忘记登分的同学的分数为na，则121...1naaaXn所以121...1naaa

nX，11nXXXXn，方差22221211...+1nSaXaXaXn，2222121...+1naXaXaXns①因为2222

12121...++=nnaXaXaXaXSn②将①代入到②得：2211=SnSn故221SS故选：A【点睛】本题考查了平均数和方差的知识，只要运用其计算方法即可得到结果，本题较为简单.3．2020年

7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（）A．6.1毫米B．32.6毫米C．61毫米D．610毫米【答案】C【分析】利用标准差公式即

可求解.【详解】设这7天降雨量分别为1x，2x，3x，4x，5x，6x，7x则72116.17nnxx因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x，102x，103x，104x，105x，106x，107x，平均值为10x=265，所以标准差变为

77221111101010106.16177nnnnxxxx.故选：C【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题.4．设随机变量2,2N，则122D（）A．1B．1

2C．3D．4【答案】B【分析】利用正态分布的方差可得D的值，然后利用方差的性质可求得122D的值.【详解】2,2N，2D，由方差的性质可得1111222442DD

.故选：B.【点睛】本题考查利用方差的性质计算方差，同时也考查了正态分布方差的应用，考查计算能力，属于基础题.5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为

90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为2s，则（）A．270,75xsB．270,75xsC．270,75xsD．270,75xs【答案】A【分析】根据题中所给的平均

数的条件，重新列式求新数据的平均数，根据方差公式写出两组数据的方差，并比较大小.【详解】由题意，可得7050806070907050x，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,xxx，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]

50xxx22212481[(70)(70)(70)500]50xxx，22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50sxxx2221

2481[(70)(70)(70)100]7550xxx，所以275s．故选:A．【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计

算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，是基础题．6．已知1x，2x，．．．，nx的平均数为10，标准差为2，则121x，221x，．．．，21nx的平均数和标准差分别为（）A．19和2B．19和3C．19和4D．19和8【答案】C【分析】根据平均数和标准差

的性质可得选项.【详解】解：∵1x，2x，…，nx的平均数为10，标准差为2，∴121x，221x，…，21nx的平均数为：210119，标准差为：22224．故选：C．【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.7．已知样本1x，2x，…，nx的

平均数为2，方差为5，则121x，221x，…，21nx的平均数和方差分别为（）A．4和10B．5和11C．5和21D．5和20【答案】D【分析】利用平均数和方程的性质可算出答案.【详解】因为样本1x，2x，…

，nx的平均数为2，方差为5，所以121x，221x，…，21nx的平均数为2215，方差为22520故选：D【点睛】本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.8．某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一

球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（）.A．60，24B．80，120C．80，24D．60，120【答案】D【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公式进行计算，由此判断出正确选项.【详解】设该同学20次罚篮，命中次数为

X，则320,5XB，所以320125EX，3324201555DX，所以该同学得分5X的期望为551260EX，方差为224551205DX.故选：D【点睛】本小题主要考查二项分布的期望和方差的计算，属于基础题.9．随机变量X的

分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A．16B．11C．2.2D．2.3【答案】A【解析】由表格可求00.320.240.52.4EX，故545452.4416EXEX，故选A．10

．已知某7个数的期望为6，方差为4，现又加入一个新数据6，此时这8个数的期望为记为EX，方差记为DX，则（）A．6EX，4DXB．6EX，4DXC．6EX，4DXD．6EX

，4DX【答案】B【分析】根据数学期望以及方差的公式求解即可.【详解】设原来7个数分别为1237,,,,xxxx由71267xxx，则12742xxx由222127166647xxx则22212766628xxx所

以1726426()688xxxXE22221271287()666(66)4882DXxxx故选：B【点睛】本题主要考查了数学期望和方差性质的应用，属于中档题.11．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又

加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s为（）A．52B．3C．72D．4【答案】C【分析】由平均数公式求得原有7个数的和，可得新的8个数的平均数，由于新均值和原均值相等，因此由方差公式可得新方差．【详解】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入

一个新数据5，此时这8个数的平均数为x，方差为2s，由平均数和方差的计算公式可得75558x，227455782s.故选：C.【点睛】本题考查均值与方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．12．甲.乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为13，乙、丙打中的概率

均为4t（04t），若甲、乙、丙都打中的概率是948，设表示甲、乙两人中中靶的人数，则的数学期望是（）A．14B．25C．1D．1312【答案】D【分析】根据题意可得9148344tt，求出3t列出分布列，利用期望公式计算.【详解】914834

4tt，3t列出分布列，利用期望公式计算.记的所有可能取值为0，1，2012P16712147113212412E故选：D.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，求解

时注意概率的求解.13．已知的分布列为1234P161613m设25，则E（）A．12B．13C．23D．32【答案】C【分析】由条件算出m，然后算出E，然后可算出答案.【详解】由分布列的性质可得：1111663m，解得13m

所以111117123466336E因为25，所以172252563EE故选：C【点睛】本题考查的是分布列的性质和期望的性质，考查了学生对基础知

识的掌握情况，较简单.14．随机变量的分布列如表所示，若1()3EX，则(31)DX（）-101p12abA．4B．5C．6D．7【答案】B【分析】由于13EX，利用随机变量的分布列列式，求出a和b，由此可

求出DX，再由(319)XDDX，即可求出结果.【详解】根据题意，可知：112ab，则12ab，13EX，即：1123b，解得：16b，13a，22211111151013233369XD

，则59959(31)DDXX，5(31)DX.故选：B.【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列､数学期望等知识，考查运算求解能力.15．一组数据的平均

数为m，方差为n，将这组数据的每个数都加上(0)aa得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A．这组新数据的平均不变B．这组新数据的平均数为amC．这组新数据的方差为2anD．这组新数据的方差不变【答案】D【分析】考查平均数和方差的性质，基础题．【详解】设这一组数据为1,nXaa，由

()()EXaEXa，()()DXaDX，故选：D．【点睛】本题主要考查方差的性质，考查了运算能力，属于容易题.16．设112p，相互独立的两个随机变量，的分布列如下表：-11-11P2313P1pp则当p在1,12内增大时（）A．E

减小，D增大B．E减小，D减小C．E增大，D增大D．E增大，D减小【答案】D【分析】求出1()3E，()21Ep，从而4()23Ep，8()9D，2()4

4Dpp，从而228117()444()929Dppp，由此得到当p在1(,1)2内增大时，()E增大，()D减小．【详解】解：112p，211()333E，()12

1Eppp，4()23Ep，2212118()(1)(1)33339D，222()(2)(1)(22)44Dpppppp，228117()444()929Dppp

，当p在1(,1)2内增大时，()E增大，()D减小，故选：D．【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力．17．若样本数据1210,,,xxx的方差为8，则数据1210212121xxx，，，的方差为（）A．

31B．15C．32D．16【答案】B【分析】本题根据已知直接求方差即可.【详解】解：因为样本数据1210,,,xxx的方差为8，所以数据1210212121xxx，，，的方差为：22832，故选

：B.【点睛】本题考查数据同时乘除同一数对方差的影响，是基础题18．已知数据122020,,,xxx的方差为4，若23,1,2,,2020iiyxi，则新数据122020,,,yyy的方差为（）A．16B．13C．8D．16【答案】A【分析】根据方差的

性质直接计算可得结果.【详解】由方差的性质知：新数据122020,,,yyy的方差为：22416=.故选：A.【点睛】本题考查利用方差的性质求解方差的问题，属于基础题.19．若随机变量X服从两点分布，其中203PX，则31EX和31DX的值分

别是（）A．3和4B．3和2C．2和4D．2和2【答案】D【分析】先由随机变量X服从两点分布求出EX和DX，再根据性质求出31EX和31DX的值.【详解】随机变量X服从两点分布，且203PX，()113PX\==，211()01333EX=??\，

2212112()0133339DX，1(31)3()13123EXEX\+=+=?=，13()13123EX.故选：D.【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布，解题时要注意两点分布的性质和应用，属于基础题.20．一组数据中的每个数据都减去

80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（）A．81.2，84.4B．78.8，4.4C．81.2，4.4D．78.8，75.6【答案】C【分析】原来数据的平均数为801.2,方差不改变，得到答案.【详解】原来数据的平

均数为801.281.2,方差不改变为4.4.故选：C.【点睛】本题考查了平均值和方差的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.21．若样本数据1x、2x、、10x的方差为8，则数据121x、221x、、1021x的方差为（）A．8B．15C．16D．32二、多选题【答案】D【分析】设

数据1x、2x、、10x的平均数为x，计算出数据121x、221x、、1021x的平均数，利用方差公式可求得结果；或直接利用方差性质即可得出结论.【详解】解法一：设10110iixx，由题意可得1021810iixx

，数据121x、221x、、1021x的平均数为101010111212102121101010iiiiiixxxx，因此，数据121x、221x、、1021x的方差为101

010222211121212244832101010iiiiiixxxxxxs.解法二：由()8Dx，根据方差的性质得2(21)2()32DxDx.故选：D.【点

睛】本题考查方差的计算，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于中等题.22．下列说法正确的是（）A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍；B．若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为14；

C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；D．设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为23.【答案】BD【分析】A.根据数据的

变化与方差的定义进行判断.B．利用古典概型的概率公式进行判断.C．结核性相关性系数与相关性之间的关系进行判断.D．根据独立性概率公式建立方程组进行求解即可．【详解】A:设一组数据为X,则每个数据都乘以同一个非零常数a

后,可得YaX，则2DYDaXaDX，所以方差也变为原来的2a倍，故A不正确.B:从中任取3条有4中取法,其中能构成三角形的只有3,5,7一种，故这3条线段能够成三角形的概率为14，故B正确.C:由1r，两个变量的线性相关性越强，

0r，两个变量的线性相关性越弱，故C不正确.D:根据题意可得19PAPB,PAPBPAPB设,PAxPBy则111911xyxyyx，得119xyxyxy

，即21219xx解得23x或43（舍）所以事件A发生的概率为23，故D正确.故选：BD【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题.23．设离散型随机变量X的分布列为X1234P0.20.10.2q若离散型随机变量Y满足

21YX，则下列结果正确的有（）A．0.2qB．3,1.4EXDXC．2,1.8EXDXD．7,5.6EYDY【答案】BD【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质

求出10.20.10.20.5q，由此能求出,EXDX，再由离散型随机变量Y满足21YX，能求出EY和DY．【详解】解：由离散型随机变量X的分布列的性质得：10.20.10.20.5q，所以10.2+20.1+

30.2+40.53EX，2322830.2230.1330.5432.51.4DX，∴217EYEX，2241.45.6DYDX，故选：BD

．【点睛】本题考查了概率的性质，考查了离散型随机变量的期望和方差公式和性质，属于基础题.24．下列说法中正确的是（）A．设随机变量X服从二项分布16,2B，则5316PXB．已知随机变量X服从正态分布22,N且40.9PX，则020.4P

XC．2323EXEX；2323DXDXD．已知随机变量满足0Px，11Px，若102x，则E随着x的增大而减小，D随着x的增大而增大【答案】ABD【分析】对于选项,,ABD都可以通过计算证明它们是正确的

；对于选项,C根据方差的性质，即可判断选项C.【详解】对于选项,A设随机变量16,2XB，则3336115312216PXC，所以选项A正确；对于选项,B因为随机变量

22,N，所以正态曲线的对称轴是2x，因为40.9PX，所以(0)0.1PX，所以(02)0.4PX，所以选项B正确；对于选项,C2323EXEX，234DXDX，故选项C不正确；对于选项

,D由题意可知，1Ex，21Dxxxx，由一次函数和二次函数的性质知，当102x时，E随着x的增大而减小，D随着x的增大而增大，故选项D正确.故选：ABD.【点睛】

本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.25．下列说法正确的有（）A．若离散型随机变量X的数学期望为5EX，方差为2DX，则219EX，218

DXB．若复数z满足341zi，则z的最大值为6C．4份不同的礼物分配给甲､乙､丙三人，每人至少分得一份，共有72种不同分法D．10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有39C种不同分法【答案】ABD【分析】根据离散型随机变量X的数学期望和方差的性质即

可知A正确；根据复数的几何意义可知B正确；根据先分组再分配的原则可知C错误，利用挡板法可知D正确【详解】解：对于A，因为离散型随机变量X的数学期望为5EX，方差为2DX，所以212()19EXEX

，2212()8DXDX，所以A正确；对于B，因为341zi，所以复数z对应的点(,)Pxy在以(3,4)C为圆心，1为半径的圆上，所以z表示点(,)Pxy与原点O的距离，根据圆的几何性质可知，z的最大值为16CO，所以B正确；对

于C，4份不同的礼物分组的方式只有1，1，2，所以只有246C种情况，再分配给三人，有336A种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有36种不同的方法，所以C错误；对于D，10个数学竞赛名额分配给4所学校，每所学校至少分配1个名额，采用挡板法可知，共有39C种不同

的分法，D正确，故选：ABD【点睛】此题考查了离散型随机变量的数学期望和方差的性质的应用，复数的几何意义，以及排列组合问题，属于中档题26．设随机变量的分布列为1,2,51aPkkk，E，D分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（）A．

503.56PB．317EC．2DD．316D【答案】ABC【分析】利用分布列的性质求a，而03.512PPP，根据期望、方差公式即可求3

1E、D、31D，进而可确定选项的正误.【详解】因为随机变量的分布列为1,2,51aPkkk，由分布列的性质可知，1251236aaaPPP，解得1a，∴503.5

126PPP，A选项正确；1111252236E，即有31313217EE，B选项正确；2221111222522236D

，C选项正确31918DD，D选项不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查随机变量的分布列及其数学期望和方差的计算，考查运算求解能力､数学运算核心素养.27．已知随机变量的分布列是－101p1212p2p随机变量的分布列是123P1212p2p则当p在

0,1内增大时，下列选项中正确的是（）A．EEB．VVC．E增大D．V先增大后减小【答案】BC【分析】由2，根据期望和方差的性质可得()()2EE，()

()VV；求出()E，()E，()V根据函数的性质即可判断．【详解】解：对于A，2，()()2EE，故A错误；对于B，2，()()VV，故B正确；对于C，11()22Ep，当p在(0,1)内增大时，()E增大，故

C正确；对于D，113()2322222pppE，2221111315()()()()(2)22222222244pppppVp，当p在(0,1)内增大时，()V单调递增，

故D错误．故选：BC．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．28．一组数据12321,21,21,,21nxxxx的平均值为7，方差为4，记12332,32,3

2,,32nxxxx的平均值为a，方差为b，则（）A．a=7B．a=11C．b=12D．b=9【答案】BD【分析】根据所给平均数与方差，可由随机变量均值与方差公式求得E(X)，D(X)，进而求得平均值a，方差b.【详解】12321,21,

21,,21nxxxx的平均值为7，方差为4，设123,,,,nXxxxx，(21)2()17EXEX，得E(X)=3，D(2X+1)=4D(X)=4，则D(X)=1，123

32,32,32,,32nxxxx的平均值为a，方差为b，a=E(3X+2)=3E(X)+2=11，b=D(3X+2)=9D(X)=9.故选：BD.【点睛】本题考查了离散型随机变量均值与方差公式的

简单应用，属于基础题.三、填空题29．已知一组数据12310,,,,xxxx的方差为5，则数据12310310,310,310,,310xxxx的方差为___．【答案】45【分析】依据2DaxbaDX计算即可.【详解】

由题意可得，数据12310310,310,310,,310xxxx的方差为：23545．故答案为：45.30．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再

补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为____________.【答案】200【分析】设没有发芽的种子数为Y，由二项分布的数学期望公式及数学期望的性质即可得解.【详解】设没有发芽的种子数为Y，则有2XY，由题意可知Y服从二项分

布，即Y(1000,0.1)B,则()10000.1100EY，所以()2()200EXEY.故答案为：200.31．已知随机变量X的分布列为X012P13ab若1EX，则EaXb______．【答案】23【分析】根据变量间的关系计算新的均值．【详解】

由概率分布列知23ab．2()()3EaXbaEXbab．【点睛】本题考查线性变换后新变量与原变量间均值之间的关系，考查随机变量的概率分布列．属于基础题．()()EaXbaEXb．32．已知离散型随机变量13,4B，随机变量21，

则的数学期望E________.【答案】52【分析】利用二项分布的数学期望公式计算出E的值，然后利用期望的性质可求得E的值.【详解】由于离散型随机变量13,4B，13344E，又因为随机变量21，由期

望的性质可得3521212142EEE.故答案为：52.【点睛】本题考查期望的计算，考查了二项分布的期望以及期望性质的应用，考查计算能力，属于基础题.33．随机变量的分布如下表，则54E_______.

024P0.40.30.3【答案】13【分析】根据表格中的数据计算出E，然后可得54E的值.【详解】因为00.420.340.31.8E所以545413EE故答案为：13【点睛】本题考查的是期望的算法和性质，较简单.34．设

随机变量X的分布列为1,2,3,44kPXakk，a为常数，则4EX________．【答案】3【分析】根据1,2,3,44kPXakk，由12341a解得a，再利用期

望公式结合性质求解.【详解】因为12341a，所以110a，所以1122334434104104104104EX，故443EXEX．故答案为：3【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望及其性质，属于基础题.35

．已知样本数据1x，2x，…，nx的均值3x，则样本数据121x，221x，…，21nx的均值为______.【答案】7【分析】利用平均数计算公式求解.【详解】∵数据1x，2x，…，nx的平均数为均值3x，则

样本数据121x，221x，…，21nx的均值为：213217x.故答案为：7.【点睛】此题为基础题，考查样本数据平均数的求法.36．设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3，1

,2,3PXkakbk.又X的均值52EX，则a______.【答案】14【分析】由概率之和为1得到一个方程，由52EX得到第二个方程，建立方程组，从而得到结果.【详解】离散随机变量X可能取的值为1,2,3，1,2,3PXkak

bk，故X的数学期望5()()2(2)3(3)2EababaXb，而且()(2)(3)1ababab，联立方程组()(2)(3)15()2(2)3(3)2abababababab

，解得14a.故答案为：14.【点睛】本题考查了概率与数学期望的问题，解题的关键是熟记公式11()nnEXxpxp.四、双空题37．已知01p，随机变量X的分布列如图.若13p时，()EX________；在p的变化过程中，(21)DX的

最大值为______.X012P12p122p【答案】562【分析】由数学期望的公式运算即可得解；由方差的公式可得211()22DXp，进而可得max()DX，结合方差的性质即可得解.【详解】当13p时，1111533()0122226EX；在

p的变化过程中，111()0122222ppEXp，则2222111111()0122222224ppDXppppp21122p，所以当12p时，max1()2DX，所以

maxmax(21)4()2DXDX.故答案为：56；2.38．在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0的有10个，记上n号的有n个（n＝1，2，3，4），现从袋中任取一球，X表示所取球的标号，则(2)pX______，若2YXm，且()1

EY，则m_____.【答案】1102【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解；（2）先求出()EX，化简2()1EXm即得解.【详解】（1）由题得21(2)2010pX；（2）由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，X的分布列为：X012

34P1212011032015111313()01234220102052EX，因为()1EY，所以(2)2()1EXmEXm.所以32122mm，.故答案为：1;210.【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查随机变量的分

布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.39．已知随机变量服从二项分布，1~(6,)2B，则(23)E________，(23)D________.【答案】96【分析】由二项分布的期望公式求出()E．()D，再由数据变换间的关系求得新期望和

方差．【详解】∵随机变量服从二项分布，162()3E，1132)622(D则2(23)2()39,(23)2()6EEDD．故答案为9；6．【点睛】本题考查在二项分布的期望与方差公式，考查数据线性变换后期望与方差间的关系，属于基础题．五、解答题40

．2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：

若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到

1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）114400；（2）选择第二种方案更合算.【分析】（1）选择方案一，

利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率；（2）选择方案一，计算所付款金额X的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额Z的数学期望值，比较得出结论.【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠

，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A，则21213101120CCPAC，所以两位顾客均享受到免单的概率为114400PPAPA；（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、500、700

、1000.212131010120CCPXC，21273107500120CCPXC，1217310770040CCPXC，177911000112012040120PX.故X的分布列为，X0500700100

0P1120712074091120所以177910500700100091012012040120EX（元）.若选择方案二，设摸到红球的个数为Y，付款金额为Z，则1000200ZY，由已知可得3~3

,10YB，故3931010EY，所以10002001000200820EZEYEY（元）.因为EXEZ，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.【点睛】方法点睛：本题考查离散型随机变量X的分布列和数学期望，解题步骤如下：（

1）判断随机变量X的可能取值；（2）说明随机变量X取各值的意义（即表示什么事件）并求出取该值的概率；（3）列表写出随机变量X的分布列；（4）利用期望公式求值41．“十一”黄金周某公园迎来了旅游高峰期，为了引导游客有序游园，该公园每天分别在10时，12时，14时，16时公布

实时在园人数．下表记录了10月1日至7日的实时在园人数：1日2日3日4日5日6日7日10时在园人数11526180051968282841383010101666312时在园人数2651837089429311684534017231

681480014时在园人数3732238045406312071136558247061512516时在园人数27306296873063816181208211616910866通常用公园实时在园人数与

公园的最大承载量（同一时段在园人数的饱和量）之比来表示游园舒适度，40%以下称为“舒适”，已知该公园的最大承载量是8万人．（Ⅰ）甲同学从10月1日至7日中随机选1天的下午14时去该公园游览，求他遇上“舒适”的概率；（Ⅱ）从10

月1日至7日中任选两天，记这两天中这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的天数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据10月1日至7日每天12时的在园人数，判断从哪天开始连续三天12时的在园人数的方差最大

？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）37；（Ⅱ）X的分布列见解析，数学期望67EX；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天12时的在园人数的方差最大．【分析】（Ⅰ）由题意得，在园人数为840%3.2万人以下为

“舒适”，由此根据古典概型的概率计算公式求解即可；（Ⅱ）从10月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，得X的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，由此可求出答案；（Ⅲ）根据

方差的定义观察波动幅度，由此可得出结论．【详解】解：∵40%以下称为“舒适”，该公园的最大承载量是8万人，∴在园人数为840%3.2万人以下为“舒适”，（Ⅰ）10月1日至7日的下午14时去该公园游览，“舒适”的天数为3天，∴甲同学遇上“舒适”的概率37P

；（Ⅱ）从10月1日至7日中，这4个时间的游览舒适度都为“舒适”的有4日、6日、7日，∴X的取值可能为0，1，2，且服从超几何分布，∴204327620217CCPXC，1143271241217CCPXC

，024327312217CCPXC，∴X的分布列为X012P274717∴X的数学期望24160127777EX；（Ⅲ）从10月3日开始连续三天12时的在园人数的方差最大．【点睛】本题主要考查离散型随

机变量的分布列及数学期望，考查古典概型的概率计算公式，考查方差的定义，属于基础题．