【文档说明】(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点10《平面向量》(解析版） .doc，共(22)页，1005.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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考点10平面向量（核心考点讲与练）一、平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，AB→零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a

，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0a0＝a|a|共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作a∥b相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如AB→＝a相反向量与向量a反向且等长的

向量，叫做a的相反向量记作－a2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|

λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝03.共

线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.二、向量的分解与向量的坐标运算1.平面向量的基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的

一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}.a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量

，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝

x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.4.平面向

量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.三、平面向量的数量积及其应用1.两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉.(2)范围

：向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉.(3)向量垂直：如果〈a，b〉＝π2，则a与b垂直，记作a⊥b.2.向量在轴上的正射影已知向量a和轴l(如图)，作OA→＝a，过点O，A分别作轴l的垂线

，垂足分别为O1，A1，则向量O1A1→叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.OA→＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的

角为θ，则由三角函数中的余弦定义有al＝|a|cos__θ.3.向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义：|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.②模：|a|＝a·a＝x21＋y21.③夹角：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.④两非零向量a⊥b的充要条

件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22.4.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝

a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).1.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素

是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.2.三个常用结论(1)O为△ABC的重心的充要条件是OA→＋OB→＋OC→＝0；(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则AB→＋DC→＝2EF→；(

3)对于平面上的任一点O，OA→，OB→不共线，满足OP→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.注意向量共线与三点共线的区别.3.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.4

.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.5.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.6.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.7.求向量模的常用方法利用公式|a|2

＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.8.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.平面向量的概念及线性运算及基本定理1.（2020安徽滁州市定远县育才学校月考）如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中

点，则下列等式中错误的是（）A．FD＋DA＋DE＝0B．AD＋BE＋CF＝0C．FD＋DE＋AD＝ABD．AD＋EC＋FD＝BD【答案】D【分析】根据所给图形，由向量的线性运算，逐项计算判断即可得解.【详解】FD＋DA＋DE＝FA＋

DE＝0，A正确；AD＋BE＋CF＝AD＋DF＋FA＝0，B正确；FD＋DE＋AD＝FE＋AD＝AD＋DB＝AB，C正确；AD＋EC＋FD＝AD＋0＝AD＝DB≠BD，D错误，故选：D．2.（2020内蒙古鄂尔多斯

市第一中学）下列结论正确的是()A．若向量m，m共线，则向量m，m的方向相同B．向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上C．ABC中，D是BC中点，则1ADABAC2D．若a//b，则λR使a

λb【答案】C【分析】根据向量共线的定义，可知,AB错误；D选项忽略了零向量的情况，所以错误；C选项可通过向量加法运算得到，所以C正确.【详解】A选项：,ab共线，则向量,ab的方向相同或相反，可知A错误；B选项：AB和CD共线即//ABCD，则,,,ABCD未必在同一条直线上，可

知B错误；C选项：根据向量线性运算中的加法运算法则，可得43，可知C正确；D选项：若a为非零向量，b为零向量，则//ab，此时不存在R，使得ab，可知D错误.本题正确选项：C3.（2020湖南省娄底市模

拟）已知0,1A，0,3B，则AB（）A.2B.10C.4D.210【答案】C【分析】根据向量模的坐标表示，可直接得出结果.【详解】因为0,1A，0,3B，所以0,4AB，则4AB.故选：C.平面向量的数量积及其应用1.（

2022河北省沧州市高三9月教学监测）如图，ABC中，26ABAC，P，Q分别是BC的三等分点，若3ACAP，则ABAQ（）A.1B.2C.3D.6【答案】D【分析】以,ABAC为基底，表示出,APAQ，根据数量积公式代入数据化简即可.【详解】由题意得，111333A

CAPACABBPACABBCACABACAB2212123333333ACABACACABACACAB，所以263ACAB

.所以2221233333ABAQABABBCABABACABABABAC22211666333ABACAB，故选:D2.（2022湖北省黄石市高三9月调研）已知向量,ab的夹角为3，(1,2)a，||3b，则|2|

ab（）A．21B．21C．3D．9【答案】C【分析】利用平方的方法求得正确答案.【详解】3123,33cos32aab222|2|244ababaabb334433

2.故选：C3.（2022贵州省贵阳第一中学高三月考卷）已知向量(1,2),(1,3)ab，且manbb，则mn（）A．12B．12C．2D．-2【答案】D【分析】利用manbb列方程，化简求得mn【详解】因为1,2ar

，1,3b，所以,23manbmnmn，又因为manbb，所以3230manbbmnmn，化简得2mn.故选：D.4.（多选题）已知向量(3a，1)，(cos,sin)b

，则下列说法正确的是（）A．存在(0,)2，使得abB．存在(0,)2，使得//abC．对于任意(0,)2，(1ab，2]D．对于任意(0,)2，||[1ab，3)【答案】BCD【分析】A垂直的数量积为0，列出等式，看解出的是否在(0,)2上；B由平行的坐

标表示列出等式，看解出的是否在(0,)2上；C先由向量数量积的坐标运算，列出和三角函数有关的式子，再求其值域即可；D先表示出模，转化为三角函数求值域问题求解.【详解】对A：3cossin2sin()3ab

，若ab，则2sin()03，因为(0,)2，此时无解，故A错误；对B：若//ab，则3sincos0，因为(0,)2，所以6，故B正确；对C：2sin()3

ab，因为(0,)2，所以(33，5)6，则1sin()(32，1]，所以2sin()(13ab，2]，故C正确；对D：22||(3cos)(1sin)54cos()6ab

，因为(0,)2，则(66，)3，所以1cos(2，1]，则||[1ab，3)，故D正确；故选：BCD．5.（2022北京八一学校高三上学期开学考试）设函数fxmn，其中向量2cos,1m

x，cos,3sin2nxx．（1）求函数fx的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知2fA，1b，ABC的面积为32，判断ABC的形状，并说明理由．【答案】（1）最小正周期是，单调递减区间是

2[,],63kkkZ；（2）直角三角形，理由见解析．【分析】（1）由数量积坐标运算求得()fx，并由二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得最小正周期和减区间；（2）先求得A

角，由面积公式求得c，再由余弦定理求得a，可判断三角形形状．【详解】（1）22cos3sin2cos23sin212sin(2)16fxmnxxxxx，所以最小正周期是22T，3222262kx

k，解得263kxk，减区间是2[,],63kkkZ；（2）由（1）()2sin(2)126fAA，1sin(2)62A，因为(0,)A，所以132(,)666A

，所以5266A，3A，113sin1sin2232ABCSbcAc!，2c，22212cos1421232abcbcA，222cab，2C，ABC是直角三角形．1.（2021年全国

高考乙卷）已知向量2,5,,4ab，若//abrr，则_________．【答案】85【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450，解方程可得：85.故答

案为：85.1.（2021年全国高考乙卷）已知向量1,3,3,4ab，若()abb，则__________．【答案】35【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即

可解出．【详解】因为1,33,413,34ab，所以由abb可得，3134340，解得35．故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设1122,,,axybxy

，121200ababxxyy，注意与平面向量平行的坐标表示区分．3.（2021年全国高考甲卷）若向量,ab满足3,5,1aabab，则b_________.【答案】32【分析】根据题目条件，利用ab模的平方可以得出答案【详解】∵5ab∴2222292

25abababb∴32br.故答案为：32.4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，点1cos,sinP，2cos,sinP，3cos,sinP，()1,0A，则（）A.12OPOPB.12AP

APC.312OAOPOPOPD.123OAOPOPOP【答案】AC【分析】A、B写出1OP，2OP、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解

】A：1(cos,sin)OP，2(cos,sin)OP，所以221||cossin1OP，222||(cos)(sin)1OP，故12||||OPOP，正确；B：1(cos1,sin)AP，2(co

s1,sin)AP，所以222221||(cos1)sincos2cos1sin2(1cos)4sin2|sin|22AP，同理222||(cos1)sin2|sin|2AP，故12||,||APAP不一定相等，错误；C：由题意得

：31cos()0sin()cos()OAOP，12coscossin(sin)cos()OPOP，正确；D：由题意得：11cos0sincosOAOP，23coscos()(s

in)sin()OPOPcosβαβcosα2β，故一般来说123OAOPOPOP故错误；故选：AC一、单选题1.（2022·全国·模拟预测）中国古塔多为

六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若2ABa，则ACAE（）A.2442aB.2422aC.2822aD.2842a【答案】D【分析】连接CE，由正八边形的性质与余弦定理求出AC，再由对称性得到AC与

AE的关系，从而根据向量的数量积的运算公式求得结果.【详解】连接CE，因为正八边形ABCDEFCH的每一个内角都是135°，且2ABBCa，所以22222cos135842ACABBCABBCa,由正八边形的对称性知ACCE

，且45CAE，所以2AEAC，则222cos4528422ACAEACAEACa，故选:D.2.（2022·全国·模拟预测）已知抛物线24xy，P为直线1x上一点，过P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B

，则PAPB的最小值为（）A.2516B.-1C.54D.-2【答案】A【分析】设211,4xAx，222,4xBx，利用导数的几何意义可求直线PA，PB，进而可得1212,24xxx

xP，然后利用数量积的坐标运算结合二次函数的性质即得.【详解】设211,4xAx，222,4xBx.由24xy求导得2xy，则直线211:24xxPAyx，直线222:24xxPByx，联立方程可得1212,24xxxxP

，由P在直线1x上，得122xx，且12144xx，即121xx.因而22221212121211221212,,2424416xxxxxxxxxxxxxxxxPAPB2212121212121

2124441416164xxxxxxxxxxxxxx2123252524416xx.故选：A.3.（2022·山东济宁·一模）等边三角形ABC的外接圆的半径为2，点P是该圆上的动点，则PAPBP

BPC的最大值为（）A.4B.7C.8D.11【答案】C【分析】以O为原点，AO所在直线为y轴，建立直角坐标系，求出,,ABC的坐标，因为点P是该圆上的动点，设2cos,2sinP，表示出PA

PBPBPC，用辅助角求出最值即可.【详解】如图，等边三角形ABC，O为等边三角形ABC的外接圆的圆心，以O为原点，AO所在直线为y轴，建立直角坐标系.因为2AO，所以0,2A，等边三角形ABC的边长为a，则=24sinsin60aaRA，所以23a，则3,1,3

,1BC.又因为P是该圆上的动点，所以设2cos,2sinP，0,2，2cos,22sin,32cos,12sin,32cos,12sinPAPBPC,

2cos32cos22sin12sin32cos32cos12sin12sin,PAPBPBPC312sin23cos44sin3

，因为0,2，7,,333sin1,13，所以当sin13时，PAPBPBPC的最大值为8.故选：C.4.（2022·辽宁大东·模拟预测）ABC中4AB，2AC，D为AB的中点，2

BEEC，则CDAE（）A.0B.2C.-2D.-4【答案】A【分析】取,ABAC为基底，表示出,CDAE即可求解.【详解】在ABC中，D为AB的中点，2BEEC，取,ABAC为基底，所以22123333AEABBEABBCABACABABAC,12CDADACABA

C.所以CDAE112233ABACABAC221263ABAC.因为4AB，2AC，所以22121216406363ABAC.即0CDAE.故选：A5.（2022·山东临沂·

一模）设向量1,ax，,9bx，若//ab，则x（）A.－3B.0C.3D.3或－3【答案】D【分析】根据向量平行的坐标表示可得290x-=求解即可.【详解】由题设，有290x-=，可得3x.故选：D6.（2022·全国·模拟预测）已知等边△ABC的边长为2

，点D，E分别为AB，BC的中点，若DEEFR，且12AFBC，则（）A.12B.1C.2D.4【答案】C【分析】由题意画出图形，把向量AF用向量AB和AC表示，结合12AFBC可求得的值.【详解】由已知条件,图形如下图所示：112AFAEEFABACDE

1122ABACAC111222ABAC111222ABAAFCBCBC111222ABABCBCC1111122222222212,解得2

.故选：C.7.（2022·广东高州·二模）已知向量1,2a，,4bm，且aba∥，则m的值为（）A.2B.2C.4D.4【答案】A【分析】利用向量平行的坐标，即可求解.【详解】1,2abm，1,2a，//ab

a，212m，解得：2m.故选：A8.（2022·浙江·模拟预测）《跳舞的线》是一款音乐类游戏，要求玩家用双眼观察障碍物与陷阱，用双耳聆听节奏，根据音乐引线条通过多重地形，最终抵达终点．玩家每点击一次屏幕，线条将会旋转90，且为顺时针、逆时针交替转向．如图是游戏中

“沙漠”一关的截图，线条从A点前进到B点有两条路径：①和②．假设转弯不改变线条的速度，则两条路径所需时间一定相同，这一点可以由某定理保证．这个定理是（）A.平面向量基本定理B.共线向量基本定理C.有一内角为直角的平行四边形是矩形D.两直线平行，同旁内角互补【答案】A【分析】根据

平面向量的基本定理可得出结论.【详解】由图可知，从点A到点B的两条路径①和②，这两条路径的起点和终点都相同，由平面向量的基本定理可知，若转弯不改变线条的速度，结合图形可知，两条路径在行进的两个方向的路程相同，则两条路径所需时间一定相同

.故选：A.二、多选题9.（2022·全国·模拟预测）已知向量1,1ma，32,nb，0a，0b，则下列说法正确的是（）A.若1ab，则mn有最小值526B.若1ab，则mn有最小值6C.

若mnurr∥，则23logmn的值为1D.若mn，则232ba的值为1【答案】A【分析】根据向量的坐标运算，求得mn，结合向量平行和垂直的坐标运算以及基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】∵1,1ma，32,nb

，∴23mnab．对A：若1ab，则232323552526babamnabababab，当且仅当23baab，即62a，36b，取得等号，故选项A正确；对B：若1ab，则232322

6mnabab，当且仅当63a，62b，取得等号，故选项B错误；对C：若mnurr∥，则13120ab，即32ab，则332223loglog1mnab，故选项C错误；对D：因为0,0ab,所以230ba，2321

ba，则D不正确.故选：A．10.（2022·全国·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，222ABADCDBC，E是BC的中点，连接AE，BD相交于点F，连接CF，则下列说法正确的是（）A.314

2AEABADB.3255AFABADC.1255BFABADD.13105CFABAD【答案】ABD【分析】根据平面向量的线性运算并结合平面向量共线定理即可判断答案.【详解】

对于A选项，1122AEABBEABBCABABADDC11312242ABABADABABAD，故A选项正确；对于B选项，因为B，F，D三点共线，设1AFxABxAD，由AFAE∥，所以存

在唯一实数，使得AFAE，结合A可知，3131114242xABxADABADxABxAD，因为,ABAD不共线，所以3034

15102xxx，所以3255AFABAD，故B选项正确；对于C选项，结合B，2255BFAFABABAD，故C选项错误；对于D选项，结合

B，13213255105CFCDDAAFABADABADABAD，故D选项正确.故选：ABD.11.（2022·广东深圳·一模）四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（）A.2ABMDB.DMCBAMC.ADMCMAD.1AMBC

【答案】BD【分析】如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.【详解】如图，A：22ABDMMD，故A错误；B：AMADDMBCDMDMCB，故B正确；C：MAMDDADMADCMAD

，故C错误；D：()AMBCADDMBCADBCDMBC，由BCDM，得DMBC0，所以201AMBCADBCBC，故D正确.故选：BD12.（2022·广东韶关·一模）已知向量1,

,2,3akbk，则下列说法正确的是（）A.若3k，则向量,ab可以表示平面内任一向量B.若abab，则12kC.若22()()ab，则3kD.若12k，则a与b的夹角是锐角【答案】B

C【分析】A选项，根据平行得到k的范围；B选项，根据条件得到两向量垂直，进而求出k的值；C选项，列出不等式，求出k的范围；D选项，举出反例.【详解】当a与b不共线，,ab可以表示平面内任一向量，所以3120kk，解得:3k且1,kA错误；若abab，则ab，所以

1230kk，得：12k，B正确；若22()()ab，有221(2)9kk，解得：3k，C正确；当1k时，a与b平行，夹角不是锐角，D错误.故选：BC.13.（2022·重庆·模拟预测）已知ABC中，2,

ABBC在AB方向上的投影为3,D为AC的中点，E为BD的中点，则下列式子有确定值的是（）A.ABBDB.BDACC.CEABD.CEBD【答案】AC【分析】如图，以A为原点，AB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，根据题

意设出点的坐标，然后逐个计算即可【详解】如图，以A为原点，AB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，因为BC在AB方向上的投影为3，所以点C的横坐标为5，设C点坐标为(5,)y，(0,0),(2,0)AB，因为D为AC的中点，E为BD的中点，所以5,22yD，9,44yE

,对于A，1(2,0)(,)122yABBD，所以A正确，对于B，215(,)(5,)2222yyBDACy，所以B错误，对于C，11311(,)(2,0)442CEABy，所以C正确，对于D，21131113(,)(

,)442288yCEBDyy，所以D错误，故选：AC三、填空题14.（2022·全国·模拟预测）已知平面向量a，b满足1,2a，10b，522ab，则cosab______.【答案】12##0.

5【分析】根据向量的数量积公式cos,ababab即可求出cosab.【详解】由题可得5a，故5212cos,2510ababab.故答案为：12.15.（2022·全国·模拟预测）已知平面向量a，b，c满足1a，2c，0abc，1ab

，则b___________.【答案】5【分析】由题意得cabrrr，直接平方即得结果.【详解】由题cabrrr，两边同时平方得2222caabb，241b，得5b.故答案为：5.16.（2022·全国·模拟预测）已知向量

2,1ar，11b,，,3c，若abc，则实数______．【答案】2【分析】由题可得3,2ab，再利用数量积的坐标公式即求.【详解】因为2,1ar，11b,，所以3,2ab．又abc，,3c，所以360

，解得2．故答案为：2.