【文档说明】(新高考)高考数学二轮精品复习专题10《数列求和方法之错位相减法》(解析版).doc，共(42)页，1.370 MB，由MTyang资料小铺上传

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专题10数列求和方法之错位相减法一、单选题1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（）A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2nC．1+(n+1)×2nD．1+(n

-1)×2n【答案】D【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,aq，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.【详解】设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，所以由题设得3136161711631aqS

qaqSq，两式相除得1+q3=9，解得q=2，进而可得a1=1，所以an=a1qn-1=2n-1，所以nan=n×2n-1.设数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn=1×

20+2×21+3×22+…+n×2n-1，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=1212n-n×2n=-1+(1-n)×2n，故Tn=1+(n-1)×2n.故选：D.【

点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.二、解答题2．在公差不为零的等差数列na中，前五项和5nS，且3a，4a，7a依次成等比数列，数列nb的前n项和nT满足210nnTb（nN）.（1）求na及nb

；（2）设数列nnab的前n项和为nA，求nA.【答案】（1）25nan，13nnb；（2）113nn.【分析】（1）设等差数列na的公差为d，利用等差数列的性质结合等比中项的应用，列方程求出公差，进而得出数列na；当2n时，由210nnTb可得11210nnTb

，两式作差并利用等比数列的通项公式计算出nb；（2）利用错位相减法计算出数列nnab的前n项和为nA．【详解】（1）设等差数列na的公差为d，则0d.因为5355Sa，所以31a；又3a，4a，7a依次成等比数列，所以2437aaa

，所以23334adaad.即21114dd，解得0d（舍）或2d，所以3325naandn，即25nan.当1n时，11210Tb即1310b，所以11

3b；当2n时，由210nnTb可得11210nnTb，相减得120nnnbbb，即113nnbb，所以数列nb是首项为113b，公比13q的等比数列，所以13nnb.（2）1253nnnabn，所以23

1111311253333nnAn，则2311111131272533333nnnAnn，相减得23121111122533333nnnAn2111111

3312251313nnn122233nn，所以113nnnA.【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，考查学生计算能力，数列求和的方法如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计

算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列

满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且12Sn＝2n﹣1.(1)求数列{an}的通项公式，(2)设函数f(x)＝(12)x，数列{bn}满足条件b1＝f(﹣1)，f(bn+1)13nfb．①求数列{bn}的通项公式

，②设cnnnba，求数列{cn}的前n项和Tn．【答案】(1)an＝2n，n∈N*；(2)①bn＝3n﹣1；②Tn＝5352nn．【分析】（1）利用1(2)nnnaSSn及11aS可得通项公式；（2）①化

简关系式，由指数函数性质得数列{}nb是等差数列，从而得通项公式；②由错位相减法求和nT．【详解】(1)由12Sn＝2n﹣1，即Sn＝2n+1﹣2，当n＞1时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝(2n+1﹣2)﹣(2n﹣2)＝2n，当n＝1时

，a1＝S1＝2，满足上式．则有数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*；(2)①f(x)＝(12)x，b1＝2，f(bn+1)13nfb．可得(12)1311()2nnbb(12)3nb，即有bn+1＝bn+3，可得

{bn}以2首项和3为公差的等差数列，即有bn＝3n﹣1；②cn312nnnbna，前n项和Tn＝2125(12)2+…+(3n﹣4)(12)1n+(3n﹣1)(12)n，12Tn＝2(12)2+5(12)3+

…+(3n﹣4)(12)n+(3n﹣1)(12)n+1，相减可得，12Tn13(12)2+…+3(12)1n+3(12)n﹣(3n﹣1)(12)n+111114213112n(3n﹣1)(12)n+1，化

简可得，前n项和Tn＝5352nn．【点睛】本题考查由nS求na，考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．数列求和的常用方法：设数列{}na是等差数列，{}nb是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列

的求和直接应用公式求和；（（2）错位相减法：数列{}nnab的前n项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}nnkaa（k为常数，0na）的前n项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}nnpa

qb用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用用并项求和法；（5）倒序相加法：满足mnmaaA（A为常数）的数列，需用倒序相加法求和．4．数列na的前n项和2*4NnSnnn，数列nb的前n项和nT，满足*210NnnTbn

.（1）求na及nb；（2）设数列nnab的前n项和为nA，求nA并证明：1nA.【答案】（1）25nan，13nnb；（2）113nnnA，证明见解析.【分析】（1）利用11,1,2nnnSnaSSn

可求出na，由210nnTb可得11210nnTb，两式相减整理可得113nnbb，从而可得数列nb是首项为113b，公比13q的等比数列，进而可求出nb，（2）先

利用错位相法求出nA，再利用放缩法可证得结论【详解】（1）当1n时，113aS；当2n时，221414125nnnaSSnnnnn；13a符合上式，所以25nan.当1n时，112

10Tb即1310b，所以113b；当2n时，由210nnTb可得11210nnTb，相减得120nnnbbb，即113nnbb，所以数列nb是首项为113b，公比13q的等比数列，所以13nnb.（2）1253nnnabn

，所以231111311253333nnAn，则2311111131272533333nnnAnn，相减得23121111

12(25)33333nnnAn21111113312251313nnn12125333nnn122233nn，所以113nnnA

.因为*nN，所以103nn，所以1nA.【点睛】方法点睛：数列求和的方法通常有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法5．已知数列na是公差不为零的等差数列，若12a，且1a、5a

、17a成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若2nanb，求数列nnab的前n项和nS.【答案】（1）1nan；（2）22nnSn.【分析】（1）设等差数列na的公差为0dd，利用已知条件得出关于d的方程，求出d的值，利用等差数列的通项公式可求得数

列na的通项公式；（2）求得112nnnabn，然后利用错位相减法可求得nS.【详解】（1）设等差数列na的公差为0dd，1a、5a、17a成等比数列，则25117aaa，即2111416adaad，整理得20dd，0d，1d

.因此，112111naandnn；（2）由（1）可得112nnnabn.234122324212nnSn，①341222232212

nnnSnn（2）.①②得31234122212222221281212nnnnnSnn22nn，因此，22nnSn

.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求解；（2）对于nnab型数列，其中na为等差数列，nb为等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于nnab型数列，利用分组求和法；（4）对于11nna

a型数列，其中na是公差为0dd的等差数列，利用裂项相消法求和.6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3，其中n∈N*．（1）证明：数列{an}为等比数列；（2）设bn＝2n－1，cn＝nnba，求数

列{cn}的前n项和Tn．【答案】（1）证明见解析；（2）113nnnT．【分析】（1）根据数列的递推关系作差法即可证明；（2）利用错位相减求和法即可求出答案．【详解】（1）因为233nnSa，--------①所以当1n时，11233aa=-，解得13

a，当2n时，11233nnSa，---------②由①-②并整理得，13nnaa，由上递推关系得0na，所以13(2)nnana，故数列na是首项为3，公比为3的等比数列，（2）由（1）得：1333nnna，又因为21n

bn，所以213nnnc，所以231135232133333nnnnnT，234111352321333333nnnnnT，两式相减得：2341212222213333333nnnnT，即：12

1211332121133313nnnnT，整理可得：113nnnT【点睛】关键点睛：（1）解题关键在于利用递推式得到，233nnSa和11233nnSa，利用作差法求出na；（2）解题

关键在于列出，231234113523213333311352321333333nnnnnnnnTnnT，利用错位相消求和法进行求解，难度属于中档题7．已

知等比数列na中，314610,80aaaa.（1）求数列na的通项公式；（2）记2lognnnbaa，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）2nna；（2）1212nn

.【分析】（1）用等比数列基本量计算表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（2）把（1）中求得的结果代入2lognnnbaa，求出nb，利用错位相减法求出nT【详解】(1)设

数列na的公比为q，由题意知：32422aaa，∴32220qqq，即2210qq.∴2q=，12a，即1222nnna.(2)2nnbn，∴231222322nnTn.①23412122232122nnnTnn

.②①－②得12341222222nnnTn1212nn∴1212nnTn.【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列na是等差数列，nb是等比数列，求数列nnab的前n

项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列nb的公比，然后作差求解;在写“nS”与“nqS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“nnSqS”的表达式.8．已知数列{}na的前n项和1()2nn

S.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设(21)nnbna，求数列{}nb的前n项和nT.（3）若存在正整数n，使得1()()0nnmama成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）1,1213(),22nnnan

；（2）nT2611()332nn；（3）1324m.【分析】（1）利用1nnnaSS(2)n，求得，注意检验首项.（2）13(21)()2nnbn，错位相减法求和得解.

（3）当2n时，若n为奇数，则32nna，单调递增；若n为偶数，则32nna，单调递减，利用数列单调性得解.【详解】（1）因为1()2nnS，所以当2n时，111()2nnS，所以1111(

)()22nnnnnaSS13()2n(2)n，因为1112aS，不适合na，所以1,1213(),22nnnan.（2）由题意得当1n时，112b，当2n时，13(21)()2nn

bn，所以123nnTbbbb2311113[3()5()(21)()]2222nn，令231113()5()(21)()222nnMn，①则34111113()5()(21)()2222nnMn

，②由①-②得3413311112[()()()](21)()242222nnnMn32111()[1()]31222(21)()1421()2nnn

7611()1262nn，所以7611()1892nnnM，所以nT1176113()22632nnnM2611()332nn.（3）由题意知11

2a，当2n时，若n为奇数，则32nna，单调递增；若n为偶数，则32nna，单调递减，所以13578642aaaaaaaa，因为存在正整数n，使得1()()0nnmama成立，所以当n为奇数时，则0na，10na，所以1nnam

a，所以12ama，当n为偶数时，则0na，10na，所以1nnama，所以12ama，即1324m.【点睛】本题考查利用na与nS的关系求通项及错位相减法求和.已知nS求na的三个步骤:(1)先利用11aS＝求出1a

.(2)用1n替换nS中的n得到一个新的关系，利用12nnnaSSn＝－便可求出当2n时na的表达式．(3)对1n时的结果进行检验，看是否符合2n时na的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n与2n两段来写．

错位相减法求和的方法：如果数列na是等差数列，nb是等比数列，求数列nnab的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列nb的公比，然后作差求解;在写“nS”与“nqS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“nn

SqS”的表达式.9．已知数列na满足12a，121nnnaan.设nnabn.（1）求证：数列nb是等比数列；（2）求数列na的前n项和为nS.【答案】（1）证明见解析；（2）1122nnSn.【分析

】（1）由递推关系式可得121nnaann，从而可证明数列nb是等比数列；（2）先由（1），根据题中条件，求出2nnan，再利用错位相减法进行求和可得nS．【详解】（1）由121nnnaan，可

得121nnaann，即12nnbb则数列nb是以1121ab为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）可得，2nnnabn，2nnan，23122232...2nnSn则有23412122232...122nnnSnn

两式作差得：231111212222...22222212nnnnnnnSnnn1122nnSn.10．已知等比数列nanN满足234aaa，13223aa

a.（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列”，证明：数列na是“M数列”；（2）记等差数列nb的前n项和记为nS，已知59b，864S，求数列21nnba的前n项的和nT.【答案】（1）证明见解析；（2）4727nnTn

.【分析】（1）由等比数列的通项公式求出公比，根据题意证明数列na是“M数列”；（2）由等差数列的性质求出21nbn，当1q时，由等差数列的求和公式求出nT；当2q=时，由错位相减法求出nT.【详解】（1）证明：由题意可设公比为q，则23311aqaq得：11a2111

23aaqaq得：1q或2q=∴数列na是“M数列”.（2）设数列nb的公差为d易得：458464bbS得：47b∴542dbb，得：21nbn由（1）知若1q，则2143nnban

∴214322nnnTnn若2q=，则12nna-=，∴121432nnnban∴0221125292472432nnnTnn①∴2312125292472432nnnTnn②①

②得：231125292472432nnnTnn∴1812143212nnnTn∴4727nnTn.【点睛】对于“等差乘等比”类型的数列，一般采用错位相减法求数列的和.11．已知等比数列{}na

的公比0q，且满足1236aaa，2434aa，数列{}nb的前n项和(1)2nnnS，*nN.（1）求数列{}na和{}nb的通项公式；（2）设2238,,nnnnnnnbanbbcabn为奇数为偶数，求数列{}nc

的前2n项和2nT.【答案】（1）1,2nnanN；,nbnnN；（2）21251341184(21)92nnn.【分析】（1）根据题干已知条件可列出关于首项1a与公比q的方程

组，解出1a与q的值，即可计算出数列{}na的通项公式，再根据公式11,1,2nnnSnbSSn…进行计算可得数列{}nb的通项公式；（2）先分n为奇数和n为偶数分别计算出数列{}nc的通项公式，在求前2n项和时，对奇数项运用裂项相消法求和，对偶数项运用错位相减法求和，最后相加进行

计算即可得到前2n项和2nT.【详解】（1）依题意，由1236aaa，2434aa，可得21113221164()aaqaqaqaq，因为0q，所以解得12q，112a，1111·()()222nnna，*nN，对于数列{}nb：当1n时，111b

S，当2n…时，1(1)(1)22nnnnnnnbSSn，当1n时，11b也满足上式，nbn，*nN.（2）由题意及（1），可知：当n为奇数时，22223838111·()(2)22(2)2nnnnn

nnnbncabbnnnn，当n为偶数时，1··()2nnnncabn，令1321nAccc，242nBccc，则1321nAccc1335212111111112323252(21)2(21)2nnnn

1211112(21)2nn21112(21)2nn，2462246211112()4()6()2()2222nnBccccn，24622211111()2()4()(22)()2()

22222nnBnn，两式相减，可得2462223111112()2()2()2()2()422222nnBn，135212211111()()()()2()22222nnn

，21222222211111()22112222()112211()22nnnnnn，21241()()332nn，218341·()992nnB，2122nnT

ccc13212462()()nncccccccAB2121113418·()2(21)2929nnnn21251341()()184(21)92nnn.【点睛】关键点点睛：第二问中当n为奇数时，求出nc，并对nc进行裂项为2

112(2)2nnncnn是解题关键，本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算，以及数列求和问题.考查了方程思想，分类讨论思想，转化与化归能力，整体思想，裂项相消法和错位相减法求和，以及逻辑推理

能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.12．已知各项都大于1的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn－4n＋1＝an2：数列{bn}的前n项和为Tn，bn＋Tn＝1.（1）分别求数列{an}和数列{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}满足cn＝anbn，若对任意的n∈N*

.不等式5(λn＋3bn)－2bnSn>λn(c1＋c2＋c3＋…＋cn)恒成立，试求实数λ的取值范围.【答案】（1）21nan；12nnb；（2）1.【分析】（1）根据nS与na的关系可得12nnaa，以及112nnbb，再利用等差数列的通项公式以及等比数列的通项

公式即可求解.（2）利用错位相减法求出123nnMcccc，然后再分离参数即可求解.【详解】（1）由题可知，2441nnSna①21144(1)1nnSna②由②-①得：221144nnnaaa

，221144nnnaaa，2212nnaa，故12nnaa或12nnaa，又2441nnSna，11a（舍）或13a，若12nnaa，则有122aa，而13a，所以21a，不满足题意，所以12n

naa，故21nan1nnbT，111nnbT，两式相减得11120nnnnnnbbTTbb，112nnbb，又11121bBb，112b，nb是等比数列，首项为12，公比为12，12nnb（

2）设123nnMcccc由（1）得231111357(21)2222nnMn，234111111357(21)22222nnMn，相减得：2311111132(21)222222nnnMn

，2552nnnM，又(2)nSnn，123532nnnnnbbSncccc可化为：1125532(2)5222nnnnnnnn，即1511(25)25nnn，又15111(25)2

5nnn，1，1.【点睛】关键点点睛：本题考查了nS与na的关系、数列求和、数列不等式，解题的关键是利用nS与na的关系求出数列的通项公式，分离参数，考查了计算能力.13．已知等差数列na的前n项

的和为nS，且33a，1055S.（1）求数列na的通项公式；（2）设2nnnab，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）nan；（2）222nnnT【分析】（1）直接根据等差数列的通项公式及前n项和公式列方程求解；（2）利用错位相减法求和即可．【详解】解：（1）设等差数

列na的公差为d，由题意，得1123,101011055,2adad解得11,1,ad所以数列na的通项公式是nan；（2）由（1）知2nnnb则1231123122222nnnnnT，①①式两边同乘以12，得2341

11231222222nnnnnT，②①②，得23111111111111221122222222212nnnnnnnnnnT，所以222nnnT．【点睛】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn

}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．14．记等

比数列na的前n项和为nS，已知*121nnaSnN.（1）求数列na的通项公式；（2）令3lognnnbaa，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）13nna；（2）33(23)44nnTn.【分析】（1）利用作差思想可得13nnaa

，进而可得na的通项公式；（2）通过（1）求出nb的通项公式，利用错位相减法求其前n项和即可.【详解】（1）当1n时，2121aa；当2n…时，11222nnnnnaaSSa，即13nnaa，所以等比数列na的公比是3，所以213aa，即11213aa

，得11a，故数列na是首项为1，公比为3的等比数列，1113nnnaaq.（2）由（1）知，13nna，故1(1)3nnbn.则01221031323(2)3(1)3nnnTnn，12313

031323(2)3(1)3nnnTnn，两式相减得，123123333(1)3nnnTn1313(1)313nnn33(32)22nn，故33(23)44

nnTn.【点睛】一般地，如果数列na是等差数列，nb是等比数列，求数列nnab的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列nb的公比，然后作差求解.15．已知数列na的前n

项的和为nS，且21nnSa.（1）求数列na的通项公式；（2）设nnnba，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）12nna-=；（2）1242nnnT.【分析】（1）根据21nn

Sa写出11212nnSan，然后两式作差结合12nnnSSan证明na为等比数列并求解出通项公式；（2）先根据（1）写出nb的通项公式，采用错位相减法求和，从而可求解出nT.【详解】解：（1）因为21nnSa，①当1n时，1121Sa

，解得11a；当2n时1121nnSa，②①②，得122nnnaaa，即122nnana，所以数列na是首项为1，公比为2的等比数列，从而12nna-=．（2）由（1）知12nnnb，则012211231

22222nnnnnT，两边同乘以12，得123111231222222nnnnnT；两式相减得121111111221212222222212nnnnnnnnnnT，所以1242nnnT

．【点睛】思路点睛：满足等差乘以等比形式的数列na的前n项和nS的求解步骤（错位相减法）：（1）先根据数列的通项公式写出数列nS的一般形式：123...nnSaaaa；（2）将（1）中的关于nS等式的左右

两边同时乘以等比数列的公比1q；（3）用（1）中等式减去（2）中等式，注意用（1）中等式的第一项减去（2）中等式的第2项，依次类推，得到结果；（4）利用等比数列的前n项和公式以及相关计算求解出nS.16．已知数列na中，11a，13nnnaaa.（1）

求证：112na是等比数列，并求na的通项公式；（2）数列nb满足312nnnnnba，数列nb的前n项和为nT，若不等式1(1)2nnnnT对一切*nN恒成立，求的取值范围.【答案】（1）证明见

解析，231nna；（2）23.【分析】（1）对递推关系两边取倒数得1131nnaa，再利用构造等比数列，即可得答案；（2）求出12231nnnnnbann，再利用错位相减求和，

根据数据的单调性，可求得参数的取值范围；【详解】（1）由13nnnaaa得13131nnnnaaaa，即11111322nnaa，又111322a，所以112na

是以32是为首项，3为公比的等比数列.所以111333222nnna，即231nna.（2）12231nnnnnbann，所以0122111111123(1)22222nnn

Tnn，211111112(1)22222nnnTnn.两式相减得121011111222222222nnnnTnn，所以124

2nnnT，所以12(1)42nn.令*1242nfnnN，易知fn单调递增，若n为偶数，则21242fn，所以3；若n为奇数，则11242fn，所以2，所以2.综上所述23.【点睛】利用构造等比数列可

求解形如递推关系1nnapaq的通项公式；根据数列的单调性求数列的最值，可求得参数的取值范围.17．已知数列{an}的首项为0，且2anan+1+an+3an+1+2＝0.（1）证明数列1{}1na是等差数列，并求{an}的通项公式；

（2）已知数列{bn}的前n项和为Sn，且21nnnba，若不等式(-1)nλ＜Sn+3×2n+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围.【答案】（1）证明见解析；2221nnan；（2）-14＜λ＜38.【分析】（1）通过化简，得到111211nnaa

，然后利用等差数列的通项公式求解即可；（2）利用错位相消求和法，得出nS，然后代入不等式，利用参变分离法求出λ的取值范围【详解】（1）证明：∵2anan+1+an+3an+1+2＝0，∴2(an+1)

(an+1+1)+an+1-an＝0，∴2(an+1)(an+1+1)+(an+1+1)-(an+1)＝0，∴111211nnaa，∴数列1{}1na是首项为1，公差为2的等差数列.∴112(1)211nnna，∴12212121nnann

.（2）解：由题可知bn＝(2n-1)×2n，Sn＝1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n，2Sn＝1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1，两式相减得-Sn＝1×21+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)×2n+1

，23122(222)(21)2nnnSn11214222(21)22(21)2612nnnnnSnn，得12(23)6Snnn，代入不等式中得，11(1)2(23)632nnnn，化

简得2(1)26nnn，设226nncn，明显地，该数列为递增数列，若n为偶数，则λ＜n·2n+2+6，当2n时，nc取最小值，此时522638c，∴λ＜38；若n为奇数，则-λ＜n·2n+2+6，当1n时，nc取最小值，此时，114c，∴-

λ＜14，∴λ＞-14，综上，-14＜λ＜38.【点睛】关键点睛：解题关键在于，利用错位相消求和法和参变分离法进行求解，即先求出Sn＝2n+1(2n-3)+6，进而不等式化简为(-1)nλ＜n·2n+2+6，进而利用参变分离法得到λ＜n·2n+2+6，进而分类讨论求解，属于中档题

18．已知等比数列{an}的公比大于1，且满足a3+a5＝90，a4＝27．（1）求{an}的通项公式；（2）记bn＝log3an，求数列{an(bn+1)}的前n项和Tn.【答案】（1）13nna；（2）(2

1)314nnnT【分析】（1）根据已知条件，结合等比数列的公式求出q、1a，即可写出通项公式；（2）由（1）结合已知有数列{an(bn+1)}的通项为13nn，利用错位相减及等比数列前n项和公式即可求Tn.【详解】

（1）设等比数列{an}的公比为1q，由已知得：4354272790aaaaqqqq，解之得：3q或13q(舍去)，所以11a，故{an}的通项公式13nna.（2）3log1nnban，所以数列{an(bn+1)}的通项为13

nn，∴022132333...(1)33nnnTnn，231332333...(1)33nnnTnn，即得2313121333...3332nnnnnTnn

，∴(21)314nnnT【点睛】关键点点睛：利用等比通项公式结合已知即可得4354aaaaqq，进而求基本量并写出通项公式，由新数列的组成得到其通项公式结合等差、等比的项积的混合型数列，应用错位相减即可得到一个等比

数列形式，结合等比数列前n项和公式即可求和.19．已知在等差数列na中，2513aa，其前8项和860S.（1）求数列na的通项公式﹔（2）设数列nb满足33nnnba，求nb的前n项和nT.【

答案】（1）3nan；（2）1(21)334nnnT.【分析】（1）根据已知条件列出关于首项和公差的方程组，求解通项公式；（2）由（1）可知333nnnnban，利用错位相减法求

和.【详解】解：（1）由18818842aaSaa1114782860aadad，由2513aa，得12513ad，联立11828602513adad

，解得114da，故4(1)13nann.（2）333nnnnban，所以1231323333nnTn，①234131323333nnTn，②由①一②，得12

31133233333313nnnnnTnn，所以1(21)334nnnT.【点睛】方法点睛：一般数列求和包含：1.公式法，利用等差和等比数列的前n项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适

用于能变形为1nafnfn，4.分组转化法求和，适用于nnncab；5.倒序相加法求和.20．已知等差数列na的前n项和为nS，525S，5a和7a的等差中项为11.（1）求na及nS；

（2）设1(1)2nnnnaban，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan，2nSn；（2）1(23)26nnTn.【分析】（1）利用等差数列的性质以及等差数列前n项的性质求解1,ad，再利用等差数列的通

项公式以及等差数列前n项公式求解即可；（2）由(1)得2(21)nnbn，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，1,ad因为5357525,22Saaa，所以365

11aa，解得1a1,d2==，所以12(1)21nann，2(1)22nnnSnn.（2）由(1)得11(1)2(211)2212(21)nnnnnnanbannnn

，23123252(21)2nnTn①23412123252(23)2(21)2nnnTnn②①－②23112222222(21)2nnnTn31112(12)2(21)262(23)12n

nnnn所以1(23)26nnTn.【点睛】方法点睛：数列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒

序相加法.21．甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列na的前n项和为nS，已知____________，（1）判断123,,SSS的关系并

给出证明.（2）若133aa，设12nnnba，nb的前n项和为nT，证明43nT.甲同学记得缺少的条件是首项1a的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是132,,SSS成等差

数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.【答案】补充条件见解析；（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）可补充公比q的值，由等比数列的通项公式和等差中项的性质，计算即可得所求得

结论；（2）由等比数列的通项公式求得2132nnbn，再利用乘公比错位相减求和结合等比数列求和公式，不等式的性质即可得证.【详解】（1）补充的条件为12q，123,,SSS的关系为132

,,SSS成等差数列.证明如下：若12q则11Sa，2121111122Saaaaa，31231111113244Saaaaaaa，可得1232SSS，因此132,,SSS成等差数列.（2）证明：由133

aa，可得11134aa，解得1114,42nnaa11241212232nnnnnnnba，则1232111112332222nnTn

L，2341121111123232222nnTnL，上面两式相减可得234111111211111121221232222223212nnnnnTnn

.整理可得12242213232nnnnnT，因为*12N,112nnn，所以43nT.【点睛】关键点点睛：本题得关键点是利用132,,SSS成等差数列求出等比数列na的公比12q才能求出232nnnb，在

利用乘公比错位相减求和时要仔细，必要时可以用万能公式建议求和的结果，再利用不等式的性质即可得证.22．已知数列{}na中，12,a且满足1122nnnaanN．（1）求证：数列2nna是等差数列，并求数列{}n

a的通项公式;（2）求证：对于数列nb，122nnbbnba的充要条件是1(1)2nnnbn.【答案】（1）证明见解析，2nnan；（2）证明见解析.【分析】（1）1122nnnaa两边同时除以12n即可证明，

利用等差数列的通项公式求出2nnan，即得出{}na的通项公式；（2）先正充分性，由1222nnbbnbn得11121212nnbbnbn，相减即可证出；再证必要性，利用

错位相减法求和可证明.【详解】（1）1122nnnaa，两边同时除以12n，可得11122nnnnaa，2nna是首项为112a，公差为1的等差数列，1+112nnann，2nnan；（

2）122nnbbnba，即1222nnbbnbn①，充分性：1n时，12b，2n时，11121212nnbbnbn②，①-②得1121212nnnnn

bnnn，则1(1)2nnnbn，满足12b，1(1)2nnnbn，充分性成立；必要性：若1(1)2nnnbn，则1(1)2nnnbn，设122nnSbbnb

，011222+32+42++(1)2nnSn，123222+32+42++(1)2nnSn，两式相减得：12312+2+2+2++212nnnSn12122+12212nnnnn，2nnS

n，故122nnbbnba，必要性成立.故得证.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nnab结构，其中na是等差数列，nb是

等比数列，用错位相减法求和；（3）对于+nnab结构，利用分组求和法；（4）对于11nnaa结构，其中na是等差数列，公差为d，则111111nnnnaadaa，利用裂项相消法求和.23．数列na的前n项和为nS，若13a，点1(,)n

nSS在直11()nyxnnNn上.（1）求证：数列nSn是等差数列，并求na的通项公式；（2）若数列nb满足2nannbag，求数列nb的前n项和nT；【答案】（1）证明见解析，21()nannN

；（2）23218()2399nnTn.【分析】（1）由点（Sn，Sn+1）在直线11nyxnn（n∈N*）上，得111nnnSSnn，对此式两边同除以n+1，得到111n

nSSnn，可得22nSnn；根据1112nnnsnassn，，，求出数列{an}的通项公式，（2）求得数列{bn}的通项公式，然后利用错位相减法求得数列{bn}的前n项和Tn；【详解】（Ⅰ）111nnnSSnn，则有：111nnS

Snn数列nSn是以3为首项，1为公差的等差数列故2*312(2)nnSnnnNSnnn-当1n时，13a，当2n时，121nnnaSSn，当1n时也成立．21()nannN（Ⅱ）2

nannba，21(21)2nnbn，121nnnTbbbb3521213252(21)2(21)2nnnTnn57212343252(21)2(21)2nnnTnn357212

33322222212nnnTn123233214261832422121433nnnnnTn解得：23218()2399nnTn【点睛】本题考查数列通项公式求解及等差数列性质，考查数列求和方法，易错点点睛由nS求n

a不检验首项；方法点睛：数列求和的基本方法：1.公式法，2错位性减法，3裂项相消，4分组求和24．已知数列na，*0,nnbbnN，满足112ab，112nnnnnabbab.（1）令nnnacb

，证明：数列nc为等差数列，并求数列nc的通项公式；（2）若13nnb，证明：12332naaaa.【答案】（1）证明见解析，2ncn；（2）证明见解析.【分析】（1）由112nnnnnabbab，变形得1112nnnnnnababbb

，可得112nnnnaabb，即12nncc，所以nc是首项为2，公差为2的等差数列，即可求出通项公式.（2）由题设知123nnan，然后利用错位相减法求12naaa，即可证得结论.【详解】（1）112nnnnnabbab

Q，1112nnnnnnababbb，又0nb，两边同除以1nnbb，可得112nnnnaabb，即12nncc，所以nc是公差为2的等差数列.又1112acb，所以22(1)2nnnc.（2）由（1）得2nnanb

，212233nnnnnanbn，则2111242333nnSn，①23111111242(1)233333nnnSnn，②由①

②，得2121111222233333nnnSn121133121313nnn1111233nnn12313nn，323

223nnnS.又*nN，23023nn，32nS，即1232naaa.【点睛】方法点睛：本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法：（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；（3）11nnnbaa（数列na为等差数列）：裂项相

消法；（4）等差等比数列：错位相减法.25．已知na是递增的等差数列，2a、4a是方程212320xx的根（1）求数列na的通项公式；（2）求数列3nna的前n项和nT．【答案】（1）2nan；（2）1321322nnnT.【分析】（1

）转化条件为24a，48a，由等差数列的通项公式列方程即可得122ad，即可得解；（2）结合错位相减法运算即可得解.【详解】（1）因为方程212320xx的根为14x，28x，na是递增的等差数列，所以24a，48a，设等差数列na的公差为d，则11

438adad，解得122ad，所以112naandn；（2）由题意，323nnnan，所以2323436323nnTn，2341323436323nnTn，所以2341

161322323232323232313nnnnnTnn13123nn，所以1321322nnnT.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是注意错位相减

法的应用，要注意适用条件，细心计算.三、填空题26．求和238135152222____________.(用数字作答)【答案】749256【分析】利用错位相减法求解.【详解】设238135152

222S，则234911351522222S，两式相减得：23891111115222222222S791111157492212251212，749256S.故答案为：7492

56.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于nnab结构，其中na是等差数列，nb是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于+nnab结构，利用分组求

和法；（4）对于11nnaa结构，其中na是等差数列，公差为d，则111111nnnnaadaa，利用裂项相消法求和.