【文档说明】(新高考)高考数学一轮 数学单元复习 过关检测卷第05章《平面向量、复数》(解析版).doc，共(62)页，3.231 MB，由MTyang资料小铺上传

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01卷第五章平面向量、复数《过关检测卷》－2022年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考专用）第I卷（选择题）一、单选题1．关于平面向量a，b，c，下列结论正确的是（）A．babc，则acB．0ab，则a与b中至少有一个为0C．abcbc

aD．abab，则//abrr【答案】D【分析】当向量0b时，可判定A不正确；当向量ab时，可判定B不正确；根据向量的数量积的定义和向量的数乘的运算，可判定C不正确；根据向量的数量积的定义，求得cos1，可判定D正确.

【详解】对于A中，若向量0b时，满足babc，但a与c不一定相等，所以A不正确；对于B中，当向量ab时，可得0ab，所以B不正确；对于C中，根据向量的数量积的定义，可得,abRbcR，不妨设12,abkbck，此时abc

与bca不一定相等，所以C不正确；对于D中，根据向量的数量积的定义，可得cosabab，因为abab，可得cos1，又由[0,]，所以0或，此时a与b为共线向量，即//abrr，所以D正确.故选：D.2．设a，b是

两个非零向量，则使||||abab成立的一个必要非充分条件是A．abB．abC．(0)abD．//ab【答案】D【分析】利用向量的数量积求出两个向量的夹角即可推出结果．【详解】解：a，b是两个非零向量，则||||abab，||||cos,||||abababab

，cos,1ab，,0abrr．//ab．a，b是两个非零向量，则使||||abab成立的一个必要非充分条件是//ab．故选：D．【点睛】本题考查向量的数量积以及充要条件的判定，考查逻辑推理能力．3．已知向量2,1a，

1,7b则下列结论正确的是（）A．abB．a//bC．aabD．aab【答案】C【分析】采用排除法，一一进行验证，可得结果.【详解】由2,1a，1,7b因为211750ab，故a与b不垂直，所以A选项不对因为2711130

，所以a与b不共线，所以B选项不对由3,6ab，所以23160aab则aab，所以C选项正确由1,8ab，所以2118100aab故a与ab不垂直，所以D选项不对故

选：C【点睛】本题考查向量的位置关系，以及数量积用坐标进行运算，属容易题.4．下列命题①设非零向量,ab，若0ab，则向量a与b的夹角为锐角；②若非零向量AB与CD是共线向量，则,,,ABCD四点共线；③若//,//abbc，则//ac；④

若ab，则||||ab.其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【分析】通过反例可依次排除①②③，由向量相等的定义可知④正确.【详解】对于①，若,ab同向，则0ab，此时夹角为0，

不是锐角，①错误；对于②，若AB与CD是平行四边形两对边，则AB与CD共线，但,,,ABCD不共线，②错误；对于③，若b是零向量，则//,//abbc，此时无法确定//ac，③错误；对于④，若ab，则,ab方向相同，模长相等，所以ab，④正确.故选：B.【

点睛】本题考查平面向量相关命题的辨析，涉及到向量夹角、向量共线、向量相等的相关知识，考查学生对于平面向量部分概念掌握的熟练程度.5．已知圆O的半径是22，点P是圆O内部一点（不包括边界），点A是圆O圆周上一点，且2OAOP，则2OAOP的最小值为A．23

2B．12C．252D．13【答案】C【分析】画出图形，根据2OAOP，求得12cosOPPOA，并求出0cos1POA，从而得出2OAOP的最小值.【详解】如图所示，因为22OA，所以22cos2OAOPOPPOAuur

uuuruuur，所以1222cosOPPOA，且1cos14POA，所以22221252842cos2OAOPOAOAOPOPPOA,当cos1POA时取等号，所以2OAOP的最

小值为252.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及运算公式的因公，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.6．在ABC中，24ACABABBC，若点P是ABC所在平面上的动点，且满足4PAP

C，则PB的取值范围是（）A．232,232B．[35,35]C．0,25D．0,43【答案】B【分析】由4ACAB，得到0ABBC，即ABBC，得出ABC为直角三角形，建立如图所示的直角坐标系，点P在以(2,1)D为圆心

，3为半径的圆上，结合圆的性质，即可求解.【详解】由题意，在ABC中，24ACABABBC，所以2()44ACABABBCABABABBCABBC，所以0ABBC，即ABBC，所以ABC的边长分别为4,2,23的直角三

角形，且B角为直角，建立如图所示的直角坐标系，则(0,0),(0,2),(4,0)BAC，因为点P是ABC所在平面上的动点，且满足4PAPC，设(,)Pxy，则22(,2)(4,)42PAPCxyxyxxyy

，所以22(2)(1)9xy，即点P在以(2,1)D为圆心，3为半径的圆上，因为5BDOD,所以PB的取值范围是[35,35].故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，以及利用坐标法解决向量问题中的应用，着重考查了推理与计算

能力，属于中档试题.7．已知向量a，b满足6a，2b，且32ab在b方向上的投影为4，现有如下说法：①83ab；②向量a与b夹角的余弦值为49；③34abb，则其中说法正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析

】根据32abrr在b方向上的投影的值，可得ab，结合向量的夹角公式以及向量的垂直关系，可得结果.【详解】依题意：232324abbabbbb，即163ab，故①错误；由316ab，即362cos16，得4cos9，故②正确；2343

40abbabb，故34abb，故③正确，故选：C.【点睛】本题重在考查一个向量在另一个向量上的投影，属基础题.8．已知3a,4b，且a与b不共线，则向量34ab与34ab的夹角为A．60B．90C．120

D．150【答案】B【分析】根据向量的数量积，可得结果.【详解】3a,4b2233904416ababab,3344abab,所求夹角为90,故选：B.【点睛】本题主要考查向量的垂直关系，属基础题.

9．已知平面向量2,1a,,2bmmR，且ab，则abvvA．5B．5C．10D．10【答案】C【分析】根据向量垂直的坐标表示以及模的计算，可得结果.【详解】ab,2,

1,2220abmm,1m,1,2b,1,3ab,1910ab,故选：C.【点睛】本题主要考查向量的坐标计算，属基础题.10．已知复数cos140sin140,zii为虚数单

位，则下列说法错误的是（）A．z的虚部为isin140B．z在复平面上对应的点位于第二象限C．1zzD．313i22z【答案】A【分析】根据复数的概念，可判断A错误；根据复数的几何意义，结合三角函数的性质，可判定正确；根

据复数的运算，可判定C、D正确.【详解】由题意，复数cos140sin140zi，可得复数的虚部为sin140，所以A错误；由复数cos140sin140zi在复平面内对应的点为,(cos140s)in140，又

由0,cos140sin1400，所以复数对应的点位于第二象限，所以B正确；由11cos140sin140cos140sin140cos140sin140cos140sin140iizii22cos140sin140cos140sin140cos140sin140ii

，即1zz，所以C正确；由3313(cos140sin140cos420sin420)22ziii，即31322zi，所以D正确.故选：A.11．若复数z满足232zzi,其中i为虚数单位,则z=()A．12i

B．12iC．12iD．12i【答案】B【解析】设zabizabi，所以22()332zzabiabiabii，所以33,21,2abab，所以选B．12．复数2izi(其中i为虚数单位)在复平面

内对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出z的值，根据复数的几何意义可得结果．【详解】∵22212iiiziii，∴复数2izi在复平面内对应的点

的坐标为1,2，在第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．13．在如图所示的复平面内，复数1z，2z，3z对应的向量分别是OA，OB，OC，则复数31223zzz对应的点位于（）A．第一象限

B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】分析：由图形得到复数1z，2z，3z，然后进行四则运算，即可求出此复数对应的点.详解：由题图知12332i22i12izzz，，，则31212i11i2310510zzzi

，所以其在复平面内对应的点为11510，，在第三象限.故选C点睛：复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可;复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i

的幂写成最简形式．14．若复数21zi，则下列结论正确的是（）A．||2zB．z的虚部为iC．1ziD．22zi【答案】D【分析】对z进行进行复数的除法运算化简复数，求出复数的模、虚部、共轭复数即可逐项判断正误.【详

解】因为22(1)11(1)(1)iziiii，所以22||112z，故A错；z的虚部为1，故B错；1zi，故C错；22(1)2zii，故D正确.故选：D【点睛】本题考查复数，涉及复数的乘方与

除法运算、复数的模、复数的概念，属于基础题.15．已知,mnR，i是虚数单位，若()(1)miini，则||mni（）A．5B．2C．3D．1【答案】A【分析】()(1)mii整理为abi的形式，根

据复数相等的充要条件求出m、n，代入||mni求模即可.【详解】()(1)(1)(1)miimmini，10112mmmnn，2||12125mnii.故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模

，属于基础题.16．设复数1331izii（其中i为虚数单位），则下列说法中正确的是A．它的实部为﹣3B．共轭复数34ziC．它的模||5zD．在复平面对应的点的坐标为(3,4)【答案】C【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【详解】解：∵21(1)333334111iiziiiiii，∴z的实部为3，34zi，22345z，在复平面对应的点的坐标为（3，4）.故选:C.【点睛】本题考查复数代数形式的

乘除运算，以及复数的基本概念、共轭复数、复数的模和复数的几何意义，是基础题．17．已知i是虚数单位，若32iazi是纯虚数，则实数a（）A．1B．12C．12D．2【答案】B【分析】利用复数的乘法和除法运算，化简z

，再令实部为0，即得解.【详解】由于3()(2)(21)(2)22(2)(2)5iaaiaiiaaiziiii若为纯虚数，则12102aa故选：B【点睛】本题考查了复数的基本概念和四则运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.18．给出下列四个命

题：①若复数1z，2z满足120zz，则12zz；②若复数1z，2z满足1212zzzz，则120zz；③若复数z满足22zz，则z是纯虚数；④若复数z满足zz，则z是实数，其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】设出复数的代数形式进行

验证，或者利用反例进行排除可得.【详解】对于①：设111222,zxyzxyii，1212,,,xxyy均为实数，由120zz可得1122220xxyy，所以1212,xxyy，即12zz，故①正确；对于②：当11z，2zi时，满足1212zzzz

，但是120zz，故②不正确；对于③：当0z时，满足22zz，但是z不是纯虚数，故③不正确；对于④：设,,zxyixyR，由zz可得22i=xyxy，所以0y，故④正确.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有

效方法，侧重考查数学运算的核心素养.二、多选题19．已知复数2zi，则下列结论正确的是（）A．5zB．复数z的共轭复数为2iC．202112ziiD．234zi【答案】ABD【分析】由复数模的计算公式，可判定A正确；由共轭复数的概念，可判定B正确；由ni的运算性质和复数

的运算，可判定C不正确；由复数的运算法则，D正确.【详解】由题意，复数2zi，可得22215z，所以A正确；由共轭复数的概念，可得复数2zi的共轭复数为2zi，所以B正确；由2021505411iiii，则2021(2)1

2ziiii，所以C不正确；由复数的运算法则，可得222(2)4434ziiii，所以D正确.故选：ABD.20．已知1z与2z是共轭虚数，以下4个命题一定正确的是（）A．2212||zzB．1212||zzzzC．12zzRD．1

2zRz【答案】BC【分析】1z与2z是共轭虚数，设1(,,0)zabiabRb，2zabi．利用复数的运算性质及其有关概念逐一判断即可．【详解】1z与2z是共轭虚数，设1(,,0)zabiabRb

，2(,)zabiabR.2212||zz；22212zababi，因为虚数不能比较大小，因此A不正确；22221212zzabiabiabzzab，B正确；122zzaR，C正确；222122222(

)2()()zabiabiababizabiabiabiabab不一定是实数，因此D不一定正确.故选：BC.21．已知复数z满足23,,zzizaiaR则实数a的值可能是（）A．1B．4C．0D．5【答案】ABC【分析】设

,,,zxyixRy则zxyi，代入23,,zzizaiaR可得到222304ayy，利用判别式的符号列不等式求解即可.【详解】设,,,zxyixRy则zxyi，因为23,,zzizaiaR∴222()3xyixyiai，22223xy

yxiai∴222223,23042,xyyayyxa，∴244(3)04a，解得：44a，∴实数a的值可能是1,4,0.故选：ABC.22．（多选题）若复数21iz

，其中i为虚数单位，则下列结论不正确的是（）A．z的虚部为iB．2zC．z的共轭复数为1iD．2z为纯虚数【答案】ABC【分析】根据复数的除法运算，求得1zi，再结合复数的基本概念，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数

2121111iziiii，可得z的虚部为1，所以A错误；由112z，所以B错误；由共轭复数的概念，可得1zi，所以C错误；由2212zii，可得2z为纯虚数，所以D正确，故选：ABC

【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的四则运算的应用，其中解答中熟记复数的基本概念，以及熟练应用复数的除法运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.23．已知复数1zi，则下列命题中正确的为（）A．|2|zB．1ziC．z的虚部为iD．z在复平面

上对应点在第一象限【答案】ABD【分析】根据复数的相关定义，逐个判断即可.【详解】复数1zi，则|2|z.故A正确；1zi，故B正确；z的虚部为1，故C错误；z在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D正确.命题中正确的个数为3.故选：ABD【点睛】本题考查了复数

的相关定义和计算，属于基础题.24．下面四个命题中的真命题为（）A．若复数z满足1Rz，则zRB．若复数z满足2zR，则zRC．若复数1z，2z满足12zzR，则12zzD．若复数zR，则zR

【答案】AD【分析】根据实数和复数的定义，逐个选项判断即可.【详解】若复数z满足1Rz，则zR，故命题A为真命题；复数zi=满足21zR，则zR，故命题B为假命题；若复数1zi，22zi满足12zzR

，但12zz，故命题C为假命题；若复数zR，则zzR，故命题D为真命题.故选：AD【点睛】本题考查复数的基础知识，属于基础题.25．设z是复数，则下列命题中的真命题是A．若z20，则z是实数B．若z20，则z是虚数C．若z是虚数，则

z20D．若z是纯虚数，则z20【答案】ABD【分析】设复数,,zabiabR，则2222zababi，对选项逐项判定，即可求解.【详解】设复数,,zabiabR，则2222zababi，对于A中，20z

³，即2220ababi，则0b，所以z是实数，真命题；对于B中，20z，即2220ababi，则0a，且0b≠，所以z是虚数，所以B为真命题；对于C中，例如复数zi=，则2210zi，所以z20是假命题.对于D中，由z是纯虚数，则0,

0ab，所以220zb是真命题；故选ABD.【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，合理利用复数的概念，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.26．已知复数34zi，则下列命题中正确的为A．5z

B．34ziC．z的虚部为﹣4iD．z在复平面上对应点在第四象限【答案】ABD【分析】根据复数的模的计算公式、共轭复数的概念和复数的表示方法，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数34zi，可得223(4)5z，所以A正确

；复数z的共轭复数34zi，所以B正确；由复数34zi，可得复数z的虚部为-4，所以C错误；复数z在复平面上对应点的坐标为（3，-4），在第四象限，所以D正确.故选ABD.【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，复数的表示、复数的分类及复数的模的求解等知识

点的应用，着重考查了推理与判断能力，属于基础题.第II卷（非选择题）三、填空题27．已知向量||2a，1b||=，向量a在向量c上的投影等于1，则||abc的最小值为______.【答案】31【分析】利用向量

不等式ababab可求解.【详解】由向量a在向量c上的投影等于1，可知cosacaccrrrrr（向量a、c夹角）又||2a，1b||=，所以222||121abcacbacaacc

rrrrrrrrrrrr2224113131cccrrr当acrr与b反向，||1c时，等号成立.故答案为:31【点睛】此题考查利用向量不等式求最值，同时考查向量的投影概念，属于中档题.28．平面向量a，b，c满

足1aabbccrrrrrr，0xaybzc（,,0xyz且1xyz），则222xyz的取值范围是___________.【答案】31,82【分析】把向量a，b，c，abc置于单位圆中，找到ac，再转化为代数关系，分类讨论.【详解】如图，

单位圆中OAa，OBb，OCc，OPabuuurrr，OTabcuuurrrr，根据向量加法的平行四边形法则：//BPOA且BPOA；//COTP且COTP；1abcabcrrrrrrQ，111OTOBBPOA

TPOCuuuruuuruuruuruuruuur，，，OPBOPTVV，即,BT重合，//BP//OCOA，且OCBPOAuuuruuruur，所以ac.又0xaybzcrrrrQ，0xzaybr

rr，当a，b不共线时，有0,0xzy，又,,0xyz，1xyz.得12xz，22212xyz当a，b共线时，1abrrQ，zxy，若=zxy，1xyz，得12z，12xy，2222221112242xyzxxxx

10,2x；22231,82xyz，若11,,=1,=,22zxyxzyxyzxzy，2222221112242xyzzzzz

10,2z22231,82xyz综上：222xyz的范围是31,82故答案为：31,82【点睛】利用平面几何知识寻找向量之间的关系，再把向量关系转换成代数关系，是处理向量问题常用方法，此题为难题,29．已知同一平面内的

单位向量1e，2e，3e，则2123eeee的取值范围是________.【答案】1,42【分析】可设2(1,0)e，1(cos,sin)e，3(cos,sin)e，转化为坐标运算，再化简转化成三角函数与二次函数复合而成的复合函数

的值域问题.【详解】设2(1,0)e，1(cos,sin)e，3(cos,sin)e，则2123eeee(1cos,sin)(1cos,sin)1coscoscoscossinsin

1cos()(coscos)1cos2()[cos()cos()]2222222cos2coscos222由令tcos[1,1]2，则y2123eeee222cos2

tt，[1,1]t函数开口向上，对称轴为01cos22t11[,]22故当cos12t，cos12或cos12t，cos12时，max4y；当cos12，1cos

22t或cos12，1cos22t时，min12y，故1[,4]2y.故答案为：1,42.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，求三角函数与二次函数复合而成的复合函数的值域问题，还考查了学生分生思维能力，运算能力，难度较大.30．

已知点G为ABC的重心，点D，E，F分别为AB，BC，CA的中点.若6ABGD，32ACGF，则BCGE________.【答案】92【分析】以AB、AC为基底表示出向量GD、GF，代入6ABGD、32ACGF中按向量数量积运算律进行运算得到①式、

②式，再用基底表示出BCGE，②①即可求得BCGE.【详解】1112366GDCDCACBABAC，211126663ABGDABABACABABAC①,1112366GFBFBABCACAB

，2111326632ACGFACACABACACAB②，22111366BCGEBAACAEBAACABACACAB，②①得：221962ACAB，所以BCGE

92.故答案为：92【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的运算律、平面向量基本定理，属于中档题.31．设,xyR，向量,2ax，1,by，2,6c，且ab，//bc，

则ab______.【答案】52【分析】根据向量共线与垂直的条件，以及向量的坐标运算，求得,xy的值，进而得到向量ab的坐标，利用模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，向量,2ax，1,by，2,6c，因为ac，可得2120x，解得6x，又由//bc

，可得126y，解得3y，所以(6,2)(1,3)(7,1)ab，所以22||7(1)52ab.故答案为：52【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量共线与垂直的坐标表示，以及向量模的求解，着重考查了推理

与计算能力.32．已知向量a，b，c满足3a，2b，a与b夹角为56，9()()4cacb，则ca的最大值为_______.【答案】1312【分析】设(3,0),(3,1),(,)abcxy，根据题设条件，求得221()12xy，再结合点与圆的位置关系，

即可求解.【详解】由题意，因为3a，2b，a与b夹角为56，可设(3,0),(3,1),(,)abcxy，又由2229()()3334cacbccbcaabxyxyx，即22304xyy，即221()12xy，可得圆心坐标为

1(0,)2，半径为1的圆，又由22(3)caxy表示圆上的点到点(3,0)C的距离，所以ca的最大值为221131(3)()1122OC.故答案为：1312.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积的运算，以及点与圆上点的距离的

最值等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力.33．如图，已知正方形ABCD，点E，F分别为线段BC，CD上的动点，且2BECF，设ACxAEyAF（x，yR），则xy的最大值为______.【答案】2

12【分析】设边长为1，CFa，建立直角坐标系，求得,,ACAEAF的坐标，根据题设用a表示出xy，再利用函数的性质，即可求解．【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为1，CFa，则(0,0),(1,1),(1,2),(1,1)ACEaFa，可得(1,

1),(1,2),(1,1)ACAEaAFa，由,(,)ACxAEyAFxyR，可得(1)121xayaxy，解得2212,(221221aaxyaaaa其中10)2a，所以21221axyaa，令11[,1]2ta，则2

11211221222222txytttt，当且仅当22t时，即212a时取等号，所以xy的最大值为212．故答案为：212．【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的

应用，其中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力．34．已知向量a与b的夹角为90,1a,2b，则abvv________.【答案】5【分析】先

求出ab，然后利用向量模的计算方法，可得结果.【详解】因为向量a与b的夹角为90,0abrr.1a,2b,2222145aabbab,5ab.故答案为：5【点睛】本题主要考查向量模的计算，属基础题.35．已知平面向量a，b，c满足：a，b

的夹角为4，|ab|＝5，ca，cb的夹角为34，|ca|＝32，则a•c的最大值为_____．【答案】36【分析】设PAa，PBb，PCc，由题意知,,,PABC四点共圆，建立坐标系，求出点C的坐标和圆的半径，设5252

(cos,sin)22P，用表示ac，根据范围和三角和差公式，即可求解．【详解】设PAa，PBb，PCc，则AB＝|ab|＝5，AC＝|ca|＝32，∠ACB34，∠APB4，可得P，A，B，C四点共圆．设△ABC的外接圆的圆心为O，则∠AOB＝2∠APB

2，由正弦定理可知：2OAABsinACB52，故OA522．以O为圆心，以OA，OB为坐标轴建立平面坐标系如图所示：则A（522，0），B（0，522）．在△OAC中，由余弦定理可得co

s∠AOC252518722255252222，故sin∠AOC2425，∴C（7210，1225）．设P（522cosα，522sinα），302，则PA（525222cosα，522sinα），PC（7252102cosα，1225252sinα），∴ac

（525222cosα）（7252102cosα）522sinα（1225252sinα）＝16+12sinα﹣16cosα＝16+20•（35sinα45cosα）＝16+20sin（α﹣φ），其中sinφ45

，cosφ35．∴当α＝φ2时，ac取得最大值36．答案：36．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，正弦定理、余弦定理的应用，以及三角恒等变换与三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了

逻辑推理能力和分析问题和解答问题的能力，属于难题．36．若向量a、b满足a＝1，b＝2，且a与b的夹角为3，则ab＝_________.【答案】7【分析】由1,2,,abab夹角为3，利用平面向量数量积公式，求得ab平方的值，从而可得结

果.【详解】1,2,,abab夹角为3，所以2222ababab142cos3ab152125272所以7ab，故答案为7..37．下列命题中，正确的是______（填序号）.①若,,abc是平面内三个非零向量，则abcabc；②

若sin,1cosa，1,1cosb，其中3,2，则ab；③若O是ABC所在平面上一定点，动点P满足ABACOPOAABAC，0,，则直线AP一定经过ABC的内心.【答案】②③【分析】根据数

量积运算的结果、相等向量的定义可知①中存在等式不成立的情况；利用向量数量积的坐标运算，结合角的范围可得0ab，从而得到垂直关系，知②正确；根据单位向量的表示法可确定P在A的角平分线上，由内心定义可知③正确.【详解】ab和bc为实

数当,ac方向不同，且0ab，0bc时，等式不成立，则①错误2sin1cossinsinab，又3,2sinsinsinsin0，即0abab，②正确ABAB表示AB方向上的单位向量，ACAC表示AC方向上的单位向量

P在A的角平分线上直线AP必过ABC的内心，③正确本题正确结果：②③【点睛】本题考查平面向量数量积运算、垂直关系的向量表示、利用向量表示与三角形的“心”有关的问题，属于中档题.38．如图，0,2,2OAOBOAOB，点C是线段AB上的一个动点，D为OB的中点，则DCOC的

最小值为______________.【答案】12【解析】【分析】选取,OAOB为基向量，设(1)OCOAOB得1=[()][(1)]2DCOCOAOBOAOB，利用数量积运算结合二次函数求最值即可

【详解】选取,OAOB为基向量，设(1)OCOAOB，其中01≤≤，因为D为OB的中点，所以2OBOD，所以1()2DCDOOCOAOB，所以21=[()][(1)]6622DCOCOAOBOAOB2116()22，因为0

1≤≤，所以当1=2时，DCOC取得最小值，为12，故答案为12．【点睛】本题考查平面向量基本定理，数量积运算，二次函数的值域，考查计算能力，是中档题39．下列命题：①abccba；②若abac，则bc；③abab；④y=tanx在定义域上单调递增；⑤若锐

角,满足cossin，则2.其中真命题的序号为_____________【答案】③⑤【解析】【分析】对给出的五个命题分别进行分析、判断后可得正确命题，进而得到答案．【详解】对于①，由于abc是与c共线的向量，cba是与a共

线的向量，而a与c不一定共线，所以①不正确．对于②，由于向量的数量积不满足消去律，所以②不正确．对于③，由于cosabab（为两向量的夹角），所以|cos|ababab，所以③正确．对于④，由正切函数的性质可得，

函数tanyx在区间(,),22kkkZ上单调递增，而在定义域上没有单调性，所以④不正确．对于⑤，由题意得cossincos()2，而,2均为锐角，所以2，即2．所以⑤正

确．综上可得③⑤正确．故答案为③⑤【点睛】解答本题时要熟悉相关的知识，在求解过程中注意推理证明和举反例等方法的运用，考查综合运用知识解决问题的能力，属于基础题．40．在ABC中，4AB，2AC，3A，动点P在以

点A为圆心，半径为1的圆上，则PBPC的最小值为__________．【答案】527【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设,Pxy，然后将数量积用点P的坐标表示出来，再结合圆中的最值问题求解即可．【详解】如

图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．则(0,0),(4,0),(1,3)ABC，设(,)Pxy，则(4,),(1,3)PBxyPCxy，∴22(4)(1)(3)534

PBPCxxyyxxyx2253()()322xy，其中2253()()22xy表示圆A上的点P与点53(,)22M间距离||PM的平方，由几何图形可得22min53||1()()17122PMAP，∴2min()(71)35

27PBPC．故答案为527．【点睛】（1）解答本题的关键是将问题转化为坐标运算来求解，利用代数运算来解决向量数量积的问题，体现数形结合的利用．（2）求与圆有关的最值问题时仍需要结合图形进行，结合图形利用两点间的距离或点到直线的距离求

解，解题时注意几何方法的运用．41．△ABC是边长为3的等边三角形,已知向量,ab满3ABa，3ACab，则下列结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的编号)①b为单位向量；②a为单位向量；③a⊥b；④b//BC；

⑤(6a+b)⊥BC．【答案】②④⑤【分析】利用向量线性运算的法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择后可得正确的结论．【详解】因为△ABC是边长为3的等边三角形，向量,ab满3ABa，3ACab，则13aAB，所以113aAB，因此a为单位向量，故②正确．又3ACABBC

ab，所以BCb，因此3bBC，故①不正确．对于③，由3ACab可得22296ACabab，故9996ab，可得32ab，设,ab的夹角为θ，则12abcosab，从而可得120

，所以③不正确．对于④，由3ABa，3ACab得BCACABb，所以b//BC，故④正确．对于⑤，因为（6a+b）2166613902BCabbabb，所以(6a+b)⊥BC，故⑤正确．综上可得②④⑤正确．故答

案为②④⑤．【点睛】本题综合考查向量的线性运算和数量积运算及其应用，解题的关键是结合题意逐项进行分析，考查综合运用知识解决问题的能力和灵活的应变能力，属于基础题．42．若i是虚数单位，复数z满足12zii，则z___________.【

答案】2【分析】根据复数的四则运算法则和复数的模的计算公式，即可化简得到答案.【详解】由题意，复数满足(1)2izi，则2122211112iiiiziiii,所以22112z.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了复数的运算与化简和复数

模的求解，其中熟记复数的四则运算和复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.43．设复数2(2i)z（i为虚数单位），则z的共轭复数为____．【答案】34i【分析】根据复数的乘法运算，

求得34i，再根据共轭复数的概念，即可得答案.【详解】由于2(2i)34iz，所以z的共轭复数为34i．【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运

算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.44．在复变函数中，自变量z可以写成(cossin)izrire，其中||rz，是z的辐角．点,xy绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点2,3A绕原点逆时针旋转3

arcsin5得A_______；复变函数ln(,0)zzCz，i，z_______．【答案】118(,)551【分析】点A对应的复数13(cossin)zi，其中213313cos,sin1313，则A对应的复数13[cos()sin

()]zi，其中34sin,cos55，利用两角和差公式求得A的坐标；由ln(,0)zzCz，i，则izecossini，化简可得z.【详解】点A对应的复数13(cossin)zi，其中213313cos,sin1313，则A

对应的复数13[cos()sin()]zi，其中34sin,cos55，则13cos()coscossinsin65，1813sin()sincoscossin65，则13181311813()656555zii

，故A的坐标为118(,)55；由ln(,0)zzCz，i，则izecossini，得1z.故答案为：118(,)55；1【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.45．已知复

数111izi，则z____________.【答案】2【分析】根据复数的运算，化简得1zi，得到1zi，利用模的计算的公式，即可求解.【详解】由题意，复数111211111112ii

iiziiii，则1zi，则22112z.故答案为：2.【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念，以及复数模的运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力.46．若复数122,2zizai（i为虚数单位），且12zz为实

数，则实数a______________.【答案】4【分析】根据复数的乘法运算法则，求出12zz，由虚部为零，即可求解.【详解】1212,22,(42)2ziizaizaaz,12zz为实数，4a.故答案为:4.【点睛】本题考

查复数的代数运算以及复数的分类，属于基础题.四、双空题47．若向量a，b满足2||3||6abrr，则|23||23|ababrrrr的最小值为________，最大值为________．【答案】12122

【分析】设a，b的夹角为，根据向量的运算，得到所以7272cos7272cosy，结合三角函数的性质，即可求解．【详解】由题意，设|23||23|yababrr，a，b的夹角为，则22|23|(2)(3)12ababab

rrrrrr7272cos，22|23|(2)(3)127272cosabababrrrrrr，所以|23|aybrr|23|7272cos7272cosabrr，所以27272

cos7272cos2y22721cos1441441cos，因为201cos1，所以2144288y，所以12122y，故|23||23|ababrrrr的最小值为

12，最大值为122．故答案为：12，122【点睛】本题主要考查了平面向量的模、基本不等式的应用，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查逻辑推理、数学运算能力．48．已知矩形ABCD，2AB，1BC，点E是AB的中点，点P是对角线BD上的动点，若ACxAPyDE，则•ACAP的最

小值是__________，xy最大值是__________．【答案】15【解析】根据题意建立以E为原点，直线AB为x轴的平面直角坐标系，如图所示则(1,0)A，(1,0)B，(1,1)C，(1,1)D∴直线BD的方

程为1122yx设1(,)2mPm(11)m∵(2,1)AC，1(1,)2mAPm∴1352222mmACAPm∵11m∴ACAP的最小值是1∵ACxAPyDE∴1(2,1)(1,)(1,1)2m

xmy∴(1)2{(1)12mxymxy∴63{43xmmym∴6418433mxymm∴当1m时，xy取得最大值为5故答案为1，5点睛：对于平面向量应用性问题，常常要利用向量的坐标运算，当题中出现明显的垂直和长

度特征，优先考虑建立平面直角坐标系，用图形表示或构造出要题中给定的条件，再利用几何意义或转换为坐标运算进行求解.尤其要与平面几何结合考虑，本题较好的考查考生转化与化归思想、坐标运算的引入为向量提供了数形转化的基础，将数与形紧密结合起来．49．已知复数z满足1izi（i是虚数单位），则2z_

____；z_____．【答案】2i2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，进一步求得2z，再由复数模的计算公式求z．【详解】由题意，根据复数的运算，化简得21(1)()1iiiziii，所以2212,2ziiz

．故答案为2i2．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.50．已知复数z满足(12)34izi，i为虚数单位，则z的虚部是_____，z__

___．【答案】25【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z的虚部，再由复数模的公式求|z|．【详解】由(12)34izi，得34(34)(12)1212(12)(12)iiizii

ii，∴z的虚部是2，5z．故答案为2，5．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，属于基础题．51．已知复数14iza，286iz，若12zz为纯虚数，则（1）实数a___________

___；（2）复数1z的平方根为______________．【答案】32i或2i【分析】（1）由条件利用两个复数代数形式的除法，求得12824326100aaizz，由纯虚数，得a的关系式，由此求得a的值．（

2）由（1）可得复数1z＝3﹣4i，设1z的平方根为a+bi，a、b∈R，则3﹣4i＝a2﹣b2+2abi，利用两个复数相等的充要条件，求出a、b的值，可得1z的平方根．【详解】∵复数1z＝a﹣4i，2z＝8+6i，

124868243264868686100aiiaaizaiziii为纯虚数，∴8a﹣24＝0，且32+6a≠0，∴a＝3．（Ⅱ）由（1）可得复数1z＝a﹣4i＝3﹣4i，设1z的平方

根为a+bi，a、b∈R，则3﹣4i＝a2﹣b2+2abi，∴a2﹣b2＝3，2ab＝﹣4．解得21ab，或21ab，∴1z的平方根为2﹣i，或﹣2+i．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的除法，求复数的平方根，两个复数相等的充要条件，准确计算是关键，属于

基础题．52．已知i为虚数单位，如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，32i，24i，则向量AO，CA，OB对应的复数分别为________________、________________、________________．【答案】32i52i

16i【分析】利用向量的减法计算向量AO，CA对应的复数即可，利用向量的加法计算向量OB对应的复数即可.【详解】向量AO对应的复数为0(32i)32i；因为CAOAOC，所以向量CA对应的复数为(32)(24)52iii；因为OBOAOC，

所以向量OB对应的复数为(32)(24)ii16i．【点睛】本题主要考查复数与向量的联系，复数的加减运算，向量的加减运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.53．设复数2018201912()()112iizii，其中i为

虚数单位，则z的虚部是____，||z___.【答案】12【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：∵21(1)111iiiiii，2122121212iiiiiii，∴z＝（11ii）2018

+（212ii）2019＝（﹣i）2018+i2019＝i2+i3＝﹣1﹣i，∴1zi，则z的虚部为1．|z|2．故答案为1；2．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．五、解答题54．已知12,ee是平面内两个不共

线的非零向量，12122,,ABeeBEeeEC=122ee，且A，E，C三点共线．（1）求实数λ的值；（2）若122,1,2,2ee，求BC的坐标；（3）已知3,5D，在（2）的条件下，若,,,ABCD四点按逆时针

顺序构成平行四边形，求点A的坐标．【答案】（1）32；（2）(－7，－2)；（3）(10，7)．【分析】（1）AE=kEC，得到12121keke.由12,ee不共线，得到12010kk，求解得到λ的值；（2）利用平面向量

的坐标运算计算即可；（3）设A(x，y)，由ADBC，利用向量的坐标运算求解即可.【详解】（1）12121221AEABBEeeeeee＝.因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得AE=

kEC，即121212eekee，得12121keke.因为12,ee是平面内两个不共线的非零向量，所以12010kk解得13,λ22k.（2）12136,31,17,22BEECee

．（3）因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以ADBC.设A(x，y)，则35ADxy，，因为7,2BC，所以3752xx解得107xy即点A的坐标为(10，

7)．【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，平面向量的坐标运算，属基础题.根据平面向量的基本定理中的唯一性可得若12,ee不共线，由12xeye，则0xy.这是在已知三点共线或向量共线求参数值的常用方法.55．在ABC中，底边BC上

的中线4AD，若动点P满足22sincosBPBABDR.（1）求PBPCAP的最大值；（2）若ABC为等腰三角形，且5AB，点P满足（1）的情况下，求PBPC的值.【

答案】（1）8；（2）-5.【分析】（1）根据平面向量基本定理可知,,APD三点共线且P在线段AD上，设PDx，则4APx，0,4x，可将PBPCAP整理为2228x，根据二次函数图象可求得最值；（2）以D为坐标原点，DC，DA所在直线分别为x，

y轴建立平面直角坐标系，根据222549BD可求得,BC坐标，根据数量积的坐标运算可求得结果.【详解】（1）22sincosBPBABD且22sincos1,,APD三点共线，又22s

in0,1,cos0,1P在线段AD上DQ为BC的中点，设PDx，则4APx，0,4x，2228248222PBPCAPPDAPxxxxx当2x时，PBPCAP取最大值8（2）ABC为等腰三角形，且AD为底边的中线以

D为坐标原点，DC，DA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系由（1）可得0,2P，又222549BD3,0B，3,0C则3,23,2945PBPC【点睛】本题考查平面向量数量积运算的相关计算，

涉及到平面向量基本定理的应用、向量的坐标运算、二次函数最值的求解问题.56．已知a=（1，2）b=（-3，2），当k为何值时．（1）kab与3ab垂直；（2）kab与3ab平行．【答案】（1）19；（2）13.【分析】（1）由题意，求得(3,22),3(10,4)

kabkkab，根据因为kab与3ab垂直，列出方程，即可求解；（2）根据kab与3ab平行，列出方程，即可求解.【详解】（1）由题意，向量(1,2),(3,2)ab，则(3,22),3

(10,4)kabkkab，因为kab与3ab垂直，所以()(3)10(3)4(22)0kababkk，即2380k，解得19k.（2）若kab与3ab平行，则满足4(3

)10(22)0kk，即2480k，解得13k.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以向量垂直和平行的判定及应用，其中解答中熟练应用向量的坐标运算公式，根据向量垂直和平行，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.57．在直角坐标

系xOy中，已知点(1,0)A，(0,3)B，(cos,sin)C，其中0,2.（1）求ACBC的最大值；（2）是否存在0,2，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）2；（2）存在，,32

【分析】（1）根据向量数量积用坐标表示，结合辅助角公式，以及余弦函数的性质，利用整体法，可得结果.（2）利用向量的数量积的符号，来判断三角形的角度大小，可得结果.【详解】解：（1）由题意：(cos1,sin)ACuuur，(cos,sin3)BCuuur；所以(cos1)

cosACBCuuuruuursin(sin3)则cos3sin1ACBCuuuruuur即2cos13ACBCuuuruuur；因为0,2，所以5,336；所以当33，即0时，

ACBC取得最大值2；（2）因为||2AB，22||(1cos)sinAC22cos，22||cos(sin3)BC423sin；又0,2，所以sin[0,1]，cos[0,1]，所以||

2AC，||2BC；所以若ABC为钝角三角形，则角C是钝角，从而0CACBuuuruuur；由（1）得2cos103，解得1cos32；所以25,336，即,32；反之，当,32

时，0CACBuuuruuur，又,,ABC三点不共线，所以ABC为钝角三角形；综上，当且仅当,32时，ABC为钝角三角形.【点睛】本题考查向量在三角形的应用，还考查了向量数量积的坐标表示以及求最值.58．已知3,2a，1,2b，4

,1c.（1）求3abc；（2）求满足条件ambnc的实数,mn；（3）若向量d满足//dcab，且1dc，求d.【答案】（1）65；（2）5989mn；（3）5254,155d或5254,155【分析】（1

）根据向量加减法和模长的坐标运算法则即可求得结果；（2）利用向量相等关系可构造方程组求得结果；（3）由平行关系知dcab，利用模长可构造出关于的方程，解方程求得后，代入即可求得d.【详解】（1）39,61,24,14,7abc

3164965abc（2）,24,4,2mbncmmnnnmmn4322nmmn，解得：5989mn（3）2,4ab且//

dcab2,4dcab，R224161dc，解得：510当510时，525525,4,14,15555d当510时，525525,4,14,15555d

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量加减法、数乘运算、向量相等关系、向量共线的坐标表示等知识，属于中档题.59．已知向量1e、2e是两个共线向量，若a＝1e-2e，12be+2e,求证：a∥b.【答案】详见解析【

解析】【分析】根据向量共线的等价条件进行证明即可．【详解】证明：若1e=20e，则a＝b＝0，所以a,b共线，即a∥b；若1e、2e中至少有一个不为零向量，不妨设1e≠0，则2e＝λ1e(λ∈R)，且a＝(1－λ)1e，b＝(2＋λ)1e，所

以a∥1e，b∥1e.因为1e≠0，所以a∥b..综上可知，a∥b..【点睛】本题主要考查向量共线的证明，比较基础，熟记向量共线的充要条件是关键.60．在ABO中，6,3OAOB，且OA与OB的夹角为60，2BPPA.（1）求OPAB的值；（2）若

3OQQA，PQxOAyOB，求,xy的值.【答案】（1）9；（2）14xy.【分析】（1）选取向量,OAOB为基底，根据平面向量基本定理得3144OPOAOB，又ABOBOA，然后根据向量的数量积的运算量可得结果；（2

）结合向量的线性运算可得1144PQOAOB，然后与PQxOAyOB对照后可得14xy．【详解】选取向量,OAOB为基底．（1）由已知得33314444OPOBBPOBBAOBOAOBOAOB

，ABOBOA，∴3144OPABOAOBOBOA22311442OAOBOAOB12129．（2）由（1）得1311124444PQOQOPOAOA

OBOAOB，又PQxOAyOB，∴14xy．【点睛】求向量数量积的方法（1）根据数量积的定义求解，解题时需要选择平面的基底，将向量统一用同一基底表示，然后根据数量积的运算量求解．（2）建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，将数量积的问

题转化为数的运算的问题求解．61．已知A(-1,0)，B(0,2)，C(-5,-3)，·5ABAD，210AD．(1)求点D的坐标；(2)用,ABAD表示AC．【答案】（1）2,1或2,3；（2）见解

析【分析】（1）设D(x,y)，于是得到1,ADxy，再根据·5ABAD，210AD得到关于,xy的方程组求解即可．（2）由条件得到1,2,4,3ABAC，然后根据平面向量基本定理求解可得结论．【详解】(1)设D(x,y)，则1,ADxy

，由210AD得22110xy；又1,2AB，由•5ABAD得x+2y=4；由2211024xyxy，解得21xy或23xy．故点D的坐标为(2,1)或(-2,3).(2)由题意得1,2,

4,3ABAC．①当D(2,1)时，3,1AD，设ACABAD，即4,31,23,1mn则3423，解得31mn，所以3ACABAD．

②当D(-2，3)时，1,3AD，设ACmABnAD，即4,31,213,mn则4233mnmn，解得31mn，所以3ACABAD．综上可得，当D(2,1)时，ACABAD；当D(-2,3

)时，3ACABAD．【点睛】本题考查向量的模的计算和平面向量基本定理的应用，解题时根据有关结论将向量问题转化为数的运算的问题处理，考查转化能力的运用和计算能力，属于基础题．62．设,ab是不共线的两个向量,已知2ABakb，BCab

，2CDab若A、B、D三点共线,求k的值.【答案】=1，k=－1【分析】根据A,B,D三点共线得//ABBD,再根据向量共线得ABBD，利用,ab是不共线的两个向量得方程，解得k的值.【详解】由A、B、C三点共线，存在实数，使得ABBD∵,2BCabCDab∴2BDBCC

Dab故22akbab又a,b不共线∴=1，k=－1【点睛】向量共线：（1）//,0,abbabR，（2）111BAACOAOBOC（3）若OAmO

BnOC，则,,ABC三点共线1mn（4）,,ABC三点共线,ABACR63．在平面直角坐标系xOy中，已知点2,1,4,5,1,1ABC．(1)求以线段,ABAC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)若向量ACtOB与向量O

B垂直，求实数t的值.【答案】（1）561、.（2）2241t【解析】试题分析：（1）由题意可求得ABAC，ABAC，即为四边形两条对角线的长．（2）根据题意求得4,5OB和34,25A

CtOBtt，根据两向量的数量积为零可得2241t．试题解析：(1)2,4,3,2ABAC,由1,2ABAC,得5ABAC,由5,6ABAC，得61ABAC.故以线段,ABA

C为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为561、.(2)由题意得4,5OB,所以34,25ACtOBtt,因为向量ACtOB与向量OB垂直，所以0ACtOBOB,所以

3442550tt，解得2241t.所以实数t的值为2241．64．运用向量法证明：平行四边形的一顶点与不过此点的一条边的中点的连线三等分该平行四边形的一条对角线．【答案】

见解析.【解析】试题分析：作出平行四边形ABCD，F为CD的中点，E为AF与BD的交点，要说明E为BD的一个三等分点，只要得到23BEBD即可，根据题意设{AFAEBDBE，利用向量的加法与减法，即可得到，的值，从而得出结论.试题解析：如图：在平行四边形ABCD中，F

为CD的中点，E为AF与BD的交点，要说明E为BD的一个三等分点，只要得到23BEBD即可．由于A，E，F三点共线，B，E，D三点共线，则设{AFAEBDBE(，为实数)∴11()AEABBEABBDABADAB．又∵111

11()()()22AEADDFADDCADAB∴111()()2ABADABADAB，即1111()(1)2ADAB∴110{11102，解得32{32，即23BEBD∴点E

三等分BD.65．平面直角坐标系xOy中，已知向量6,1AB，,BCxy，2,3CD，且ADBC．（1）若已知1,1M，1,2Ny，0,2y，则求出MNBC的范围；（2）若ACBD，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)

1[6,]8(2)16【解析】试题分析：（1）由ADBC可得20xy，故121MNBCxyyy211248y，0,2y，转化为二次函数的最值求解；（2）由于6,1ACABBCxy，

2,3BDBCCDxy，根据条件求出xy，的值，进而确定出ACBD，的坐标，然后根据12ABCDSACBD四边形求解．试题解析：（1）由题意得ADABBCCD4,2xy，,BCxy，因为ADBC，所以420xyyx

，即20xy．121MNBCxyyy22112248yyy，0,2y所以范围是16,8（2）由题意6,1ACABBCxy，2,3BDBCCDxy，因为ACBD，所以

62130xxyy，即2242150xyxy，联立222042150xyxyxy，解得21xy或63xy当21xy时，8,0AC，0,4BD，1162ABCDSAC

BD四边形；当63xy时，0,4AC，8,0BD，1162ABCDSACBD四边形．所以四边形ABCD的面积为16．点睛：用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．66．在平面直角坐标系xoy中，点(1,2),(2,3),(2,1)ABC．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条

对角线的长；（2）设实数t满足()0ABtOCOC，求t的值．【答案】（1）42、210；（2）115-【详解】解:(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).所以|AB+AC|=210,|

AB-AC|=42.故所求的两条对角线长分别为42,210.(2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).由(AB-tOC)·OC=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-

11,所以t=-115.67．在平面直角坐标系xOy中，点(1,2)A，()2,3B，(2,1)C.（1）求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）当t为何值时，ABtOC与OC垂直；（3）当t为何值时，tOAOB与2OA

OB平行，平行时它们是同向还是反向.【答案】（1）210，42；（2）115t；（3）12t，反向.【分析】（1）两条对角线的长即||ABAC和||ABAC，求出坐标即可求解；（2）两向量垂直，数量积为零，用坐

标表示即可求解；（3）两向量平行，根据共线向量定理得坐标表示即可求解，若倍数为正数，则同向，若为负数，则为反向.【详解】（1）由题设知(3,5),(1,1)ABAC，则(2,6),(4,4)ABACABAC，所以||210,||42ABACABAC

.故所求的两条对角线的长分别为210，42.（2）由题设知：(2,1),(32,5)OCABtOCtt.由ABtOC与OC垂直，得：()0ABtOCOC.即232150tt，从而511t

，所以115t.（3）由题设知：(2,32),2(5,8)tOAOBttOAOB，由tOAOB∥2OAOB，得1015816tt.解得：12t.此时，51,4(5,8)22tOAOB，所以它

们方向相反.【点睛】本题考查向量的模及向量的垂直、共线.向量的垂直、共线问题都分为有坐标和无坐标两种，向量的垂直根据的是数量积为零，向量的共线根据的是共线向量定理.68．已知(23,2)cmanb，a与c垂直，b与c的夹

角120，且•4bc,22a，求实数m，n的值及a与b的夹角【答案】6,4,6mn；56,4,6mn【解析】解：,0.acac又,,164,4.cmanbccmacnbcnn01cos120,4

()4.2bcbcb2.b24,2.acmaababm又2224,2164.6.bcmabbmm6m当6m时，26326,cos.2222ababab.6当6m时，同理可求5.6

综上知，6,4mn时，;6,46mn时，5669．已知i是虚数单位，复数z＝m2(1＋i)－m(2＋3i)－4(2＋i)，当m分别取何实数时，z满足如下条件？(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.【答案】（1）

m＝－1或m＝4；（2）m≠－1且m≠4；（3）m＝－2；（4）m＝4.【分析】（1）由虚部等于0求得m的值；（2）由虚部不为0求得m值；（3）由实部为0且虚部不为0求得m值；（4）由实部为0且虚部为0求得m值．【详解】z＝m2(1＋i)－m(2＋3i

)－4(2＋i)化为222834zmmmmi（1）由2340mm，得4m，或1m，当4m，或1m时，z是实数；（2）由2340mm，得4m且1m，当4m且1m时，z为

虚数；（3）由2280mm，且2340mm，解得2m，当2m时，z为纯虚数；（4）由22280340mmmm，解得4m，当4m时，z为零．70．（1）若复数11aizii是实数（其中,aRi是虚数单位）,则求

a的值.（2）求曲线yx，直线2yx及y轴所围成的封闭图形的面积.【答案】（1）1a；（2）163.【分析】（1）先化简复数z再令虚部为0，求解即可．（2）利用微积分基本定理即可求出．【详解】（1）因为11111111122aiia

iaaziiiiii是实数,所以102a，所以1a.(2)由2yxyx解得4,2xy，故面积为432420021622|323xxxdxxx.【点睛】（1）本题考查复数的运算和基本概念，

考查计算能力；（2）考查微积分基本定理求解区域面积，均属于基础题．71．已知复数2i，mi，mR.（1）若2，求实数m的取值范围；（2）若是关于x的方程2100xnxnR的一个根，求实

数m与n的值.【答案】（1）6,2；（2）36mn或36mn.【分析】（1）根据题意，结合复数的运算和模的计算公式，得到22425m，即可求解实数m的取值范围；（2）由,mimR是方程2100xnxn

R的一个根，得到mimR也是此方程的一个根，结合根据与系数的关系，即可求解.【详解】（1）由题意，复数2i，mi，mR.则222(1)5又由222224i

mimim因为2，所以22425m，即24120mm解得62m.所以实数m的取值范围为6,2.（2）因为,mimR是方程2100xnxnR的一个根，则

mimR也是此方程的一个根，可得10miminmimi，解得36mn或36mn，且满足24130n，所以36mn或36mn.【点睛】本题主

要考查了复数的运算，复数模的计算，以及复数方程和复数相等的条件的应用，着重考查推理与运算能力.72．已知复数221izimi（其中i是虚数单位，mR）.（1）若复数z是纯虚数，求m的值；（2）求1z的取值范围.【答案】（1）12m；（2）1z25

5.【分析】（1）先对复数进行化简，然后结合z是纯虚数可求m的值；（2）结合复数的模长公式，表示出1z，利用二次函数的知识求解.【详解】（1）2ii12i2i2ii1i1i1zmm2iii121(1)immm，若复数z是纯虚数

，则210,10mm，所以12m.（2）由（1）得21(1)izmm，12(1)izmm，22214(1)521zmmmm，因为2521ymm是开口向上的

抛物线，有最小值45；所以1z255.【点睛】本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.73．已知复数z满足|3|1zi„，求：（1）||z的最大

值和最小值；（2）22|1||1|zz的最大值和最小值.【答案】（1）最大值为3，最小值为1.（2）最大值为20，最小值为4.【分析】(1)由复数的几何意义知|3|1zi„表示圆心为(3,1)M，半径为1的圆内区域并包括边界，||z则表示圆面上一点到原点的距离，max|

|OMrz，min||zOMr；(2)设(,)zabiabR，则||222zab，22|1||1|zz可表示为22||2z，由(1)可求得22|1||1|zz的最大值与最小值.【详解】（1）满足

|3|1zi„的复数z的几何意义：圆心为(3,1)M，半径为1的圆内区域并包括边界，||z则表示圆面上一点到原点的距离.如图所示，OA对应的复数的模为||z的最大值，OB对应的复数的模为||z的最小值.∵22||(3)(1)2OM

，∴maxmin||213,||211zz.即||z的最大值为3，最小值为1.（2）设(,)zabiabR，则||222zab，2222|1||1||1||1|zzabiabi

2222(1)(1)abab222222||2abz，由（1）知22|1||1|zz的最大值为223220，最小值为22124.【点睛】本题考查复数的基本运算与几何意义，涉及模与复平面上两点的距离，圆外点到圆上点的距离的最值，属于中档题.74．已知复数

22(2)1)(zimi．当实数m取什么值时，复数z是：1虚数；2纯虚数；3复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．【答案】（1）mR（2）1m（3）0m＝【分析】（1）复数z可表示为222()()221222.()zimimmi220m＋，

即mR时，z为虚数（2）当2220m－＝，且220m＋，z为纯虚数（3）当22(22)2mm，即0m＝时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应【详解】由于mR，复数z可表示为222()()221222.()z

imimmi1当220m＋，即mR时，z为虚数．2当2220m－＝，且220m＋，即1m时，z为纯虚数．3当22(22)2mm，即0m＝时，z为复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数．【点睛】本题考查了复数知识

，属于基础题型.75．已知复数26(2)2(1)1mzimii，其中i是虚数单位，根据下列条件分别求实数m的值.（Ⅰ）复数z是纯虚数；（Ⅱ）复数z在复平面内对应的点在直线0xy上.【答案】（Ⅰ）12m；（Ⅱ）0m或2m.【分析

】（Ⅰ）根据纯虚数为实部为0，虚部不为0即可得到方程，于是求得答案；（Ⅱ）将复数z在复平面内对应的点表示出来，代入直线上，即可得到答案.【详解】解：因为mR，复数z可表示为2(2)3(1)2(1)zimmii2223232mmmmi，（Ⅰ

）因为z为纯虚数，所以222320,320,mmmm解得12m；（Ⅱ）复数z在复平面内对应的点坐标为22232,32mmmm因为复数z在复平面内对应的点在直线0xy上所以22232320mmmm即2360mm解得0m或2m.【点睛】本题主要

考查纯虚数，复数的几何意义等相关概念，难度较小.76．已知复数(1)(3)i,(R)zmmm在复平面上的对应点在第四象限.（Ⅰ）求实数m的取值集合M；（Ⅱ）若集合1(1)2,RiNxxx，求R()MNð.【答案】（Ⅰ）

13Mmm；（Ⅱ）1023RMNxxx或ð【分析】（Ⅰ）由于复数z在复平面上的对应点在第四象限，因此1030mm从而得到答案;（Ⅱ）由112ix得222112x,解得集合N，从而求得R

MNð.【详解】（Ⅰ）依题意1030mm，解得13m，即13Mmm.（Ⅱ）由112ix得1i2x，即222112x，化简得220xx解得：02x，即02Nxx，所以02RNxxx

或ð故1023RMNxxx或ð【点睛】本题主要考查复数的几何意义，集合的相关运算，意在考查学生对于基础知识概念的掌握，难度不大.77．已知复数21(2)izmmm，22131izmm，其中mR.（1）若复数1z为实数

，求m的取值范围；（2）求12zz的最小值.【答案】（1）20mm或；（2）2【分析】（1）由复数1z为实数，则220mm，即可求解m的取值范围；（2）根据题意，求得12(1)(1)zzmmi，

由模的计算公式得21222zzm，即可求解，得到答案.【详解】（1）由复数1z为实数，则220mm，解得20mm或，即复数1z为实数，求m的取值范围为20mm或；（2）因为12(1)(1)zzmmi，所以2

2212(1)(1)22zzmmm，故12zz的最小值为2，此时0m【点睛】本题主要考查了复数的分类，以及复数的模的计算，其中解答中熟记复数的分类，以及复数的模的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.78．已知复数24i1im

z（,imR是虚数单位）.（1）若z是纯虚数，求m的值和z；（2）设z是z的共轭复数，复数2zz在复平面上对应的点位于第三象限，求m的取值范围.【答案】（1）12m，2z；（2）1122m【分析】将复数241mizi化成zabi形式．（

1）若z是纯虚数，则0,0ab，从而求出m，进而求模．（2）复数2zz在复平面上对应的点位于第三象限，则横坐标小于零，纵坐标小于零，列出不等式求m的取值范围．【详解】）（1）由题复数241mizi（,mRi是虚数单位），化简

22241+2424421221111+1miimimimiizmmiiiii若z是纯虚数，则12=0210mm，解得12m此时2zi所以2z.（2）由（1）可知122

1zmmi，所以1221zmmi22121zzmmi又因为复数2zz在复平面上对应的点位于第三象限所以210210mm，即1122m【点睛】本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，解题的关键是

将复数化成zabi形式，属于基础题．79．i是虚数单位，且2(1)25,3aiiabibRi．（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）设复数1zyiyR，且满足复数abiz在复平面上对应的点在第一、三象限的角平

分线上，求z．【答案】（Ⅰ）3,1；（Ⅱ）12i.【解析】【分析】（Ⅰ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求a、b的值；（Ⅱ）利用复数代数形式的乘除运算，再由实部与虚部相等列式求得y，则z可求．【详解】（Ⅰ）∵a+bi=2(1)2510333iiiii，∴

31ab，；（Ⅱ）∵z=-1+yi，∴（a+bi）z=（3-i）（-1+yi）=（-3+y）+（3y+1）i，由题意，-3+y=3y+1，即y=-2．∴z=-1-2i．【点睛】本题考查复数代数形式的

乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题．