【文档说明】(新高考)高考数学二轮精品复习专题02《圆锥曲线中的面积问题》(解析版).doc，共(57)页，2.062 MB，由MTyang资料小铺上传

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专题02圆锥曲线中的面积问题一、单选题1．直线l经过抛物线24yx的焦点F且与抛物线交于A、B两点，过A、B两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q，则PQF△的面积的最小值是（）A．23B．4C．42D．6【答案】B【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，设直线l：1xty

，与抛物线方程联立求出,AB两点纵坐标之差的绝对值的最小值，再利用三角形面积公式可求得面积的最小值.【详解】由抛物线24yx可知2p，所以(1,0)F，准线为1x，依题意设直线l：1xty，代入24yx得2440yt

y，设1122(,),(,)AxyBxy，则124yyt，124yy，所以22121212||()416164yyyyyyt，当且仅当0t时，等号成立.所以1212||||42PQFSPQyy

△.故选：B【点睛】关键点点睛：利用,AB两点的纵坐标之差的绝对值表示||PQ是本题解题关键.2．已知1F，2F为椭圆22110064xy的两个焦点，P是椭圆上任意一点，若123FPF，则12FPF△的面积

为（）A．643B．6433C．1283D．12833【答案】B【分析】利用椭圆焦点三角形面积公式122tan2FPFSb，即可求解.【详解】由题意知：1F，2F为椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，所以12FPF△是焦点三角

形，且264b，3，所以1223643tan64233FPFSb，故选：B3．已知双曲线22197xy的左右焦点分别为12,FF，若双曲线上一点P使得1260FPF，求12FPF△的面积（）A．733B．1433C．73D．143【答案】C【分析】先根据双曲线

方程得到3a，7b，4c，设1PFm，2PFn，可得，22mna.由1260FPF，在12FPF△根据余弦定理可得:2221212122cos60FFPFPFPFPF，即可求得答案.【详解】22197xy，所以3a，7b，4c，P在

双曲线上，设1PFm，2PFn，26mna①由1260FPF，在12FPF△根据余弦定理可得:2221212122cos60FFPFPFPFPF故2264mnmn②由①②可得28mn，直角12

FPF△的面积121212s11insin607322FPFSmPFPFFPFn故选：C.【点睛】思路点睛：在解决椭圆或双曲线上的点与两焦点组成的三角形问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行处理，结合双曲线的定义、余弦定理和三角形的面积公式进行求解，要注意整体思想

的应用.4．已知椭圆2212516xy两焦点12,FF，P为椭圆上一点，若123FPF，则12FPF△的的内切圆半径为（）A．33B．233C．3D．23【答案】B【分析】由余弦定理得2212121212122c2osPFPFFPPFFFFPFFPPF

，得到12FPPF，可求得面积，再由12121212PFFSPFPFFFr可得答案.【详解】2212516xy，22225,16,9abc，由题意得12+210FPPFa，1226FFc，由余弦定理得22222121212121

2121212+cos222PFPFFPPFFFPFPFFFFPFPFPFFPPF，得12643FPPF，12121164163sinsin602233PFFSPFPF，设内切圆的半径为r，则121212111

6316223PFFSPFPFFFrr，所以233r.故选：B.【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.5．过抛物线2

8yx的焦点F的直线l与抛物线交于,AB两点，线段AB的中点M在直线2y上，O为坐标原点，则AOB的面积为（）A．3102B．45C．922D．9【答案】B【分析】首先设11,Axy，22,

Bxy，利用点差法得到2ABk，从而得到直线:22lyx.联立直线与抛物线，利用根系关系得到1245yy，再求AOB的面积即可.【详解】由抛物线28yx，得2,0F，设11,Axy，22,Bxy，由题知：21122288yxyx，即1212128

yyyyxx.由题意知：124yy，所以12122AByykxx，故直线:22lyx.联立2228yxyx得：24160yy.所以124yy，1216yy.故212121241641645yyyyyy

.所以12112454522AOBSOFyy.则AOB的面积为45.故选：B.【点睛】方法点睛：利用点差法求焦点三角形的面积问题.点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候,利用直线和圆锥

曲线的两个交点,并把交点代入圆锥曲线的方程,并作差.求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.利用点差法可以减少很多的计算,所以在解有关的问题时用这种方法比较好.二、多选题6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2

222:10,0xyCabab的焦点在圆:O2220xy上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，若点0,3E满足MEON(O为坐标原点)，下列说法正确的有（）A．双曲线C的虚轴长为4B

．双曲线的离心率为5C．双曲线C的一条渐近线方程为32yxD．三角形OMN的面积为8【答案】BD【分析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为25c，由双曲线方程可得，其渐近线方程为byxa，设00,Mxy，则00,Nxy，根据MEON，以

及点00,Mxy在圆2220xy上，求出M的坐标，得出2ba，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.【详解】因为双曲线2222:10,0xyCabab的焦点在圆:O2220xy上，所以双曲线的半焦距为25c，由

2222:10,0xyCabab可得其渐近线方程为byxa，因为圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，不妨设0000,0,0Mxyxy，则00,Nxy，又0,3E，MEON，所以1MEONk

k，即000031yyxx，整理得220003yyx，又点00,Mxy在圆O上，所以220020xy，由220002200003200,0yyxxyxy解得0024xy，即2,4M，又点2,4M在渐近线byxa上，所以2ba，

由222220bacab解得22416ab，因此双曲线C的方程为221416xy；所以其虚轴长为28b，故A错；离心率为2552cea，故B正确；其渐近线方程为2yx，故C错；三角形OMN的面积为000182OMNSMNyxy，故D正确.

故选：BD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及MEON，求出交点坐标，得出,ab之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.7．已知曲线C的方程为2210(

)91yxx，0,3,0,3,1,0ABD，点P是C上的动点，直线AP与直线5x交于点M，直线BP与直线5x交于点N，则DMN的面积可能为（）A．73B．76C．68D．72【答案】ABD【分析】设00,Pxy，求出9PAPBkk，求

出,MN的坐标和||MN的最小值，得到DMN的面积的最小值，即得解.【详解】设00,Pxy，则2200220099919PAPByykkyx．设(0)Apkkk，则9PBkk，直线AP的方程为3ykx，则点M的坐标

为(5,53)k，直线BP的方程为93yxk，则点N的坐标为455,3k．所以454545||5335625624MNkkkkkk，当且仅当455kk，即3k时等号成立．从而DMN面积的最小

值为1246722.故选：ABD．【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨

论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性、直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角

式.（5）利用数形结合分析解答.8．双曲线C：22142xy的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的离心率为62；B．若POPF，则PFO△的面积为2；C．||PF的最小值为2；D．双曲线22148yx与C的渐近线相同.【答案】ABD

【分析】由题知，双曲线方程2,2ab，226cab，再利用双曲线离心率62cea==，双曲线渐近线方程byxa，点到直线的距离可以分别判断选项.【详解】选项A，因为2,2ab，所以226cab，则离心率为62cea==，故A正确；选项B，若

POPF，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在22yx上，即220xy，点(6,0)F到渐近线的距离为2626d，则22622PO，所以PFO△的面积为12222S，故B正确；选项C，||PF的最小值就是点F到渐近

线的距离2d，故C错误；选项D，它们的渐近线都是22yx，渐近线相同，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式，考查学生的分析问题能力和运算求解能力，属于中档题.9．已知1F、2F是双曲线

22:12yCx的上、下焦点，点M是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12FF为直径的圆经过点M，则下列说法正确的有（）A．双曲线C的渐近线方程为2yxB．以12FF为直径的圆方程为222xyC．点M的横坐标为2D．12

MFF△的而积为3【答案】AD【分析】由双曲线的标准方程可求得渐近线方程，可判断A选项的正误；求得c的值，可求得以12FF为直径的圆的方程，可判断B选项的正误；将圆的方程与双曲线的渐近线方程联立，求得点M的坐标，可判断C选项的正误；利用三角形的面积公式

可判断D选项的正误.【详解】由双曲线方程2212yx知2a,1b，焦点在y轴，渐近线方程为2ayxxb，A正确；223cab，以12FF为直径的圆的方程是223xy，B错误；由2232xyyx得12xy或12xy

，由2232xyyx得12xy或12xy.所以，M点横坐标是，C错误；121211231322MFFMSFFx△，D正确．故选：AD．【点睛】双曲线222210,0x

yabab的渐近线方程为byxa，而双曲线222210,0yxabab的渐近线方程为ayxb（即bxya），应注意其区别与联系.三、解答题10．已知圆22:6630Cxxyy，直线:20lxy

是圆E与圆C的公共弦AB所在直线方程，且圆E的圆心在直线2yx上.（1）求圆E的方程；（2）过点(2,0)Q分别作直线MN、RS，交圆E于M、N、R、S四点，且MNRS⊥，求四边形MRNS面积的取值范围.【答案】（1）229xy（2）[65,1

4]【分析】（1）设出经过圆C和直线l的圆系方程，利用圆心在直线2yx上可求得结果；（2）当直线MN的斜率不存在时，可求出四边形的MRNS面积为65，当直线MN的斜率存在时，设直线:(2)MNykx，则直线:20RSxky，利

用几何方法求出||MN和||RS，求出四边形MRNS面积，再换元求出最值可得取值范围.【详解】（1）依题意可设圆E的方程为22663(2)0xxyyxy，整理得22(6)(6)320xyxy，所以圆心

66(,)22E，因为圆心E在直线2yx上，所以66222，解得6，所以圆E的方程为229xy.（2）当直线MN的斜率不存在时，||25MN，||6RS，四

边形MRNS面积为1256652，当直线MN的斜率存在时，设直线:(2)MNykx，即20kxyk，则直线:20RSxky，圆心E到直线MN的距离12|2|1kdk，圆心E到直线RS的距离2221

dk，所以2212244||29292511kMNdkk，2224||29291RSdk，所以四边形MRNS面积为1||||2MNRS22442(5)(9)11kk，令211tk，则01t，所以2244(5)(9)(

54)(94)11ttkk224516164516()16tttt，当12t，即1k时，24516()16tt取得最大值49，此时四边形的MRNS面积的最大值为14，当1t，即0k时，24516()16tt取得最小

值45，此时四边形MRNS面积的最小值为65，综上所述：四边形MRNS面积的取值范围为[65,14]【点睛】结论点睛：经过直线0AxByC与圆220xyDxEyF的交点的圆系方程为22()0xyD

xEyFAxByC.11．已知椭圆222:1(0)3xyMaa的一个焦点为(1,0)F，左、右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（1）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（2）

记ABD与ABC的面积分别为1S和2S，求12||SS的最大值．【答案】（1）247；（2）3.【分析】（1）同椭圆方程为22143xy，直线方程为1yx，联立221431xyyx，得27880xx，由此利用根的判别式，韦达定理、弦长公

式能求出CD的长．（2）当直线l无斜率时，直线方程为1x，12|0|SS，当直线l斜率存在时，设直线方程为(1)(0)ykxk，联立22143(1)xyykx，得2222(34)84120kxkxk，由此利用根的判别式，韦达定理、弦

长公式，结合已知条件能求出12||SS的最大值．【详解】解：（1）因为(1,0)F为椭圆的焦点，所以1c，又23b，所以24a，所以椭圆方程为22143xy，因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1

，所以直线方程为1yx，和椭圆方程联立得到221431xyyx，消掉y，得到27880xx，所以△288，1287xx，1287xx，所以线段CD的长2212121224||1||2()47CDkx

xxxxx．（2）当直线l无斜率时，直线方程为1x，此时3(1,)2D，3(1,)2C，ABD，ABC面积相等，12|0|SS，当直线l斜率存在（由题意知0)k时，设直线方程为(1)(0)ykxk，设1(Cx，1)y，

2(Dx，2)y，和椭圆方程联立得到22143(1)xyykx，消掉y得2222(34)84120kxkxk，△0，方程有根，且2122834kxxk，212241234kxxk，此时12121221||2||||||2||2|(1)(1)|SS

yyyykxkx21212||12121232|()2|3(334232124||24||||||kkxxkkkkkkk„时等号成立）所以12||SS的最大值为3．【

点睛】求解时注意根的判别式，韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．12．已知直线:(0)lykxbb与抛物线2:4Cyx交于A、B两点，P是抛物线C上异于A、B的一点，若PAB△重心的纵坐标为13，且直线PA、PB的倾斜角互补．（Ⅰ）求k的值．（Ⅱ）求PAB△面积的取值范围．【答案

】（Ⅰ）2；（Ⅱ）30,4.【分析】（Ⅰ）设001122,,,,,PxyAxyBxy，利用斜率公式得到直线PA、PB、AB的斜率，根据直线PA、PB的倾斜角互补．得到01220yyy，根据三角形的重心的坐标公式可得122yy，从而可得2k；（Ⅱ）联立直线:2l

yxb与抛物线方程，根据弦长公式求出||AB，利用点到直线的距离公式求出AB边上的高，根据面积公式求出面积，再利用导数求出取值范围即可.【详解】（Ⅰ）设001122,,,,,PxyAxyBxy，则010122010101444PAyyyykyyxxyy，同理可得0

21244,PBABkkyyyy，因为直线PA、PB的倾斜角互补，所以0102440yyyy，即01220yyy，又PAB△重心的纵坐标为13，根据三角形的重心的坐标公式可得0121yyy，所以122yy，所以422ABkk．（Ⅱ）由（Ⅰ）

知直线:2lyxb，与抛物线方程联立，并整理得2244(1)0xbxb，其判别式22116(1)1602bbb，所以102b．而212111,4bxxbxx，因此，2221212||1445(1)512ABxxxxbbb

，又由（Ⅰ）知，01y，所以200144yx，所以1,14P，1,14P到直线:20lxyb的距离为31|21|24415bbd，所以2113113||512(12)222225PABSABdbbbb

△令231()(12),022fbbbb，则2333()2122(61)0222fbbbbbb

恒成立，故()fb在10,2上单调递减，所以9()(0,)4fb，故30,4PABS.【点睛】结论点睛：本题中用到的结论：①三角形的重心的坐标公式，若三角形的三个顶点的坐标

为112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，则三角形的重心的坐标为123123,33xxxyyy，②弦长公式：21212||1()4ABkxxxx，本题考查了运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题.13．已知椭圆22:1

2xCy的右焦点为F，直线:2lx被称作为椭圆C的一条准线，点P在椭圆C上（异于椭圆左、右顶点），过点P作直线:mykxt与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q.（1）求证：PFQF；（2）若点P在x轴的上方，当PQF△的面积最小时，求直线m的斜率k的

平方.【答案】（1）证明见解析；（2）512.【分析】（1）联立直线m的方程和椭圆C的方程，利用判别式列方程，求得P点的坐标，求得Q点的坐标，通过计算得到0FPFQ，由此证得PFQF.（2）求得||,||FPFQ，由此

求得三角形PQF面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形PQF面积的最小值，进而得出直线m的斜率k的平方.【详解】（1）证明：由题意得，点F的坐标为1,0，设00,Pxy.由2212xyykxt

，得222214220kxktxt02222221ktktkxktt，2022212121kttytkkt.即点P坐标为21,ktt.当2x时，可

求得点Q的坐标为2,2kt，21211,,kktFPtttt，1,2FQkt.220ktktFPFQtt故PFQF.（2）解：点P在x轴上方，22

21tk，1t由（1）知221ktFPt；221FQktPFQF2221134131222222POFkttkttSFPFQkttt△①当0k时，由（1）知212tk，2312122PQFtStt△函

数23121122tftttt单调递增11POFSf△.②当0k，由（1）知212tk，2312122PQFtStt△令23121122tgtttt

则2222232131222211tttgttttt由222222642242422313122351241411ttttttttttttt2222424242125251414

141tttttttttt当25t时，0gt，此函数gt单调递增；当125t时，0gt，此函数gt单调递减.函数gt即PQFS△的最小值2511gg，

此时，222521tk，解得2512k.综上，当PQF△的面积最小时，直线m的斜率的平方为512.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量数量积的坐标表示垂直关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，解决本题的关键点是表示

出PQFS△，按0k和0k分别将k用t表示，并构造函数求导判断单调性和最值，考查了学生分析解决问题的能力和运算求解能力，属于中档题.14．设F1，F2分别是椭圆2222:1bxyCa(a>b>0)的左、右焦点，且椭圆的

离心率为22，过F2的直线1l与椭圆交于A、B两点，且1ABF的周长为82，（1）求椭圆C的方程；（2）过F2点且垂直于1l的直线2l与椭圆交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值.【答案】（1）22184xy；（2）649.【分析】（1）由1ABF的周长为82，

可得22a，又椭圆的离心率为22，即可得出结果；（2）分类讨论：当AB所在的直线斜率不存在时，此时四边形ABCD的面积为：22Sb=；当AB所在的直线斜率存在且不为0时，不妨设直线AB的方程为：2ykx，1122,,,AxyB

xy，直线CD的方程为：12yxk，分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得,ABCD,利用四边形ABCD的面积12SABCD，可得关于斜率k的式子，再利用基本不等式求最值即可得出结果.【详解】（1）由1ABF的周长为82

，可得48222aa，又椭圆的离心率为22，可得22222cceca，所以222844bac，所以椭圆C的方程为：22184xy；（2）又椭圆22184xy可得：22,2,

2,2,0abcF，①当AB所在的直线斜率不存在时，CD所在的直线斜率为0，此时四边形ABCD的面积为：2211222822bSABCDaba；②当AB所在的直线斜率存在时，由题意知AB所在的直线斜率不为0，不妨设直线AB的方程为：2ykx，112

2,,,AxyBxy，则直线CD的方程为：12yxk，联立222184ykxxy，化为：2222128880kxkxk，由韦达定理得：212221228128812kxxkkxxk，所以2221212242

11412kABkxxxxk，把k换成1k，可得224212kCDk，所以四边形ABCD的面积为：22224214211122122kkSABCDkk22422424222161242881252252122kkkk

kkkkkk22181225kk，由222222252259kkkk，当且仅当21k时取等号；此时2211648181299

25Skk，综上：四边形ACBD面积的最小值为649.【点睛】思路点睛：两条直线相互垂直，先考虑有一条直线的斜率不存在，再分析直线的斜率存在的情况，利用斜率之间的关系转化，直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到

根与系数的关系，再利用弦长公式，四边形面积计算公式以及基本不等式求最值.15．已知抛物线220ypxp的焦点F恰为椭圆22211yxaa的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂

直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离.（1）求抛物线及椭圆的标准方程；（2）过点F作两条直线1l，2l，且1l，2l的斜率之积为1.①设直线1l交抛物线于A，B两点，2l交抛物线于C，D两点，求11ABCD的值；②设直线1l，2

l与椭圆的另一个交点分别为M，N.求FMN面积的最大值.【答案】（1）24yx；2212yx(2)①14②169【分析】(1)由抛物线的焦点为椭圆的右焦点可得p，求出抛物线方程，根据通径与准线间的距离可求a，c，即可求出椭圆方程；（2）

①设出直线方程，联立抛物线方程，由根与系数关系及弦长公式可求出弦长，代入即可计算求解②设出直线方程，联立椭圆方程，由根与系数关系，得出弦长，同理可得另外一条弦长，根据三角形面积公式表示出面积，换元后求最值即可.【详解】(1)2221(1)y

xaa,右顶点为(1,0)，即抛物线220ypxp的焦点(1,0)F,2p，故抛物线方程为24yx，因为抛物线的通径的长等于椭圆的两准线间的距离，所以2224apc，222221cbcac，1,2ca，椭圆的标准方程为：2212yx(2)①设

1:1lykx，代入24yx消元得：2222(24)0kxkxk，设1122(,),(,)AxyBxy，212221224421kxxkkxx，2222122244(1)11(2)4kABkxxkkk

，又12CDk，同理可得2224(1)||41)11(kCDkk222114(1)41(1)14kkACDkB②仍设1:1lykx，代入椭圆方程2212yx消元得：

2221220kxx，即2(1)(1)2(1)0xkxx，2221,2FNkxxk，2224|1||12|FMFkxxMkk，同理得2214||112FNkk，2211|22FMNSF

MFNkk∣228225kk，22221122kkkk（当且仅当1k时，等号成立），令2212222kkt，则22212kkt，228881212252FMNttStttt,对于11222()ytttt，在[

2,)上是增函数，当2t时，即1k时，min92y，812FMNStt，FMN△面积的最大值为169.【点睛】关键点点睛：本题求解过程中，需要熟练运用弦长公式，以及类比的思想的运用，在得到三角形面积2212FMN

Skk228225kk后，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，题目较难.16．已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点3(1,)2，且短轴长为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点，且OPOQ，求OPQ△

面积的取值范围.【答案】（1）2214xy；（2）4[,1]5.【分析】（1）利用已知条件求出a，b，然后求解椭圆方程；（2）()i当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，1OPQS；()ii当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设:OPlykx，1(P

x，1)y，2(Qx，2)y，由2214ykxxy求出P的坐标，然后推出Q坐标，求解||OP，||OQ，求出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求解最值.【详解】（1）由题意知，221314a

b，22b，解得2a，1b，故椭圆方程为：2214xy.（2）()i当OP，OQ斜率一个为0，一个不存在时，1OPQS，()ii当OP，OQ斜率都存在且不为0时，设:OPlykx，1(Px，1)y，2(Qx，2)y，由2214ykxxy消y得212414x

k，2222112414kykxk，22114yxkxy，得222244kxk，222222144yxkk，2222221122224444,144kkOPxyOQxykk，22222421

144441··2922144421OPQkkSOPOQkkkkk，又24222999012142kkkkk，所以415OPQS„，综上，OPQ△面积的取值范围为4[,1]5.【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）

几何法：结合定义利用图形中几何量之间的大小关系或曲线之间位置关系列不等式，再解不等式.（2）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围.（3）利用代数基本不等式.代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并

进行巧妙的构思.（4）结合参数方程，利用三角函数的有界性.直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式.（5）利用数形结合分析解答.17．在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线2y的距离与到点(0,1)F的距离之差为

1.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点(0,2)M的直线l与C交于A、B两点，若AOB的面积为43，求直线l的方程.【答案】（1）24xy；（2）2yx或2yx.【分析】（1）本题首先可以设动点(,)Pxy，然后根据题意得出22(2)(1)1

yxy，通过化简即可得出结果；（2）本题首先可排除直线l斜率不存在时的情况，然后设直线方程为2ykx，通过联立方程并化简得出2480xkx，则124xxk，128xx，再然后根据AOBAOMBOMSSS得出21632AOBSk△，最后根据AOB的面积为43即

可得出结果.【详解】（1）设动点(,)Pxy，因为动点P到直线2y的距离与到点(0,1)F的距离之差为1，所以22(2)(1)1yxy，化简可得24xy，故轨迹C的方程为24xy.（2）当直线l斜率不存在时，其方程为0x，此时，l与C只有一个交点，不符合题意，当直线l斜率

存在时，设其方程为2ykx，联立方程224ykxxy，化简得2480xkx，216320k，令11(,)Axy、22(,)Bxy，则124xxk，128xx，因为AOBAOMBOMSSS，所以121

2111222AOBSOMxOMxOMxx△22121212()416322xxxxk，因为AOB的面积为43，所以2163243k，解得1k或1，故直线l的方程为：2yx或2yx.【点

睛】本题考查动点的轨迹方程的求法以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，能否根据题意列出等式是求动点的轨迹方程的关键，考查韦达定理的应用，在计算时要注意斜率为0这种情况，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.18．如图，A为椭圆2212xy

的下顶点，过点A的直线l交抛物线22(0)xpyp于,BC两点，C是AB的中点.（1）求证:点C的纵坐标是定值；（2）过点C作与直线l倾斜角互补的直线l交椭圆于,MN两点.问：p为何值时，BMN△的面积最大？并求面积的最大值.【答案】（1）证明

见解析；（2）当914p时，面积最大值为324.【分析】（1）由题意可得：0,1A，不妨设2,2tBtp，则222,4ttpCp，代入抛物线方程，整理得24tp，计算可得点C的纵坐标值为12，从而得证；（2）由题意可得：BMNAMNSS，求

得直线l的斜率，可求得直线l的斜率和方程，不妨记3mt，则:2lymx，代入椭圆方程并整理得2221860mxmx，设11,Mxy，22,Nxy，求得MN的值和点A到直线l的距离231dm，进

而根据三角形的面积公式和基本不等式可求BMN△的面积的最大值，即可求解.【详解】（1）易知0,1A，不妨设2,2tBtp，则222,4ttpCp，代入抛物线方程得222224ttppp，得24tp，∴42142Cppyp，故点C的

纵坐标为定值.（2）∵点C是AB的中点，BMNAMNSS，设直线l的斜率为k，则11322ktt，所以直线l的斜率为3kt，∴直线l的方程为1322tyxt，即32yxt，不妨记3mt，则:2lymx，代入椭圆方程并整理得

2221860mxmx，设11,Mxy，22,Nxy，则12122286,2121mxxxxmm222122231||221,21mMNmxxmm点A到直线l的距离231d

m，所以2222232232421423231332AMNmSmmNdmM当且仅当2242323mm时取等号，解得272m，所以229187tm，从而29414tp故当914p时，BMN△的面积最大.【点睛】关键点点睛：设出2,2tBtp

结合0,1A，可得222,4ttpCp利用点C在抛物线上可求出24tp，利用其计算224tpp的值；第二问关键是根据倾斜角互补可得直线l与直线l的斜率互为相反数，直线l的方程为

32yxt，利用弦长公式和点到直线距离公式，三角形面积公式将BMN△的面积表示出来，最关键的是利用基本不等式求最值，这是难点也是易考点.19．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右顶点分别为,AB，||4AB.过右焦点F且垂直于x轴的直线交椭圆C

于,DE两点，且||1DE.（1）求椭圆C的方程；（2）斜率大于0的直线l经过点(4,0)P，且交椭圆C于不同的两点,MN（M在点,PN之间）.记PNA与PMB△的面积之比为，求实数的取值范围.【答案】（1）2214xy

；（2）1,13.【分析】（1）由椭圆性质结合通径运算即可得解；（2）设直线l的方程为4,0xmym，1122,,,MxyNxy，联立方程组结合韦达定理得1221102,3yyyy，再由三角形的面积公式即可得解

.【详解】（1）因为||4AB，所以24a即2a，设椭圆右焦点,0Fc，当xc时，2221cbybaa，所以221ba，1b，所以椭圆C的方程为2214xy；（2）设直线l的方程为4,0xmym，1122,,,MxyNxy

，则120yy，由22414xmyxy，整理可得2248120mymy，22264484161920mmm，解得212m，所以12284myym，122124yy

m，则22221212221122816422212344myyyymmyyyymm2161022,4331m，所以211,3yy

，所以2211112,11332PNAPMBPAySySyPBy△△.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将三角形的面积比转化为213yy，结合韦达定理即可得解.20．已知双曲线C的标准方程为22136xy，12,FF分别为双

曲线C的左、右焦点.（1）若点P在双曲线的右支上，且12FPF的面积为3，求点P的坐标；（2）若斜率为1且经过右焦点2F的直线l与双曲线交于,MN两点，求线段MN的长度.【答案】（1）14,12或14,12；（2）83.【分析】（1）由双曲线方程可

得126FF，进而可得点P的纵坐标，代入即可得解；（2）联立方程组，由韦达定理、弦长公式运算即可得解.【详解】（1）由题意，双曲线的焦距122366FF，设点,,0Pmnm，则12121332FPFSFFnn△，解得1n，代入双曲线方程可得142

m，所以点P的坐标为14,12或14,12；（2）由题意，23,0F，则直线:3MNyx，设1122,,,MxyNxy，由221363xyyx，化简可得26150xx

，则126xx，1215xx，所以112222142366083MNkxxxx.21．已知椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，离心率为12，直线1y与C的两个交点间的距离为463.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）分别过12,F

F作12ll、满足12ll//，设12ll、与C的上半部分分别交于,AB两点，求四边形21ABFF面积的最大值.【答案】（Ⅰ）22143xy；（Ⅱ）3.【分析】(I)利用离心率及直线y=1与C的两个

交点间的距离，求出a，b，即可求椭圆C的方程;（Ⅱ）直线与椭圆方程联立，利用基本不等式，求四边形21ABFF面积的最大值.【详解】（Ⅰ）易知椭圆过点26(,1)3，所以228113ab，①又12ca，②222

abc，③由①②③得24a，23b，所以椭圆的方程为22143xy.（Ⅱ）设直线1:1lxmy，它与C的另一个交点为D.与C联立，消去x，得22(34)690mymy，2144(

1)0m.设交点1122,,,AxyDxy则1212229,63434yyyymmm，22222264934121||34134mAmmmDmm，又2F到

1l的距离为221dm，所以22211234ADFmSm△.令211tm，则21213ADFStr△，所以当1t时，最大值为3.又2212111111(||||)(||||)||222ADFABFFSBFAFd

AFDFdADdS△四边形所以四边形21ABFF面积的最大值为3.【点睛】关键点点睛：设直线1:1lxmy，联立方程，消元后利用弦长公式、点到直线的距离公式，表示三角形的面积，换元后由均值

不等式可求出最值，找到四边形与三角形的关系即可解决，属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆222210xyCabab：的离心率为22e，且点21P，在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）若点,AB都在椭圆C上，且AB的

中点M在线段OP（不包括端点）上.①求直线AB的斜率；②求AOB面积的最大值.【答案】（1）22163xy；（2）①1；②322.【分析】（1）利用离心率，点代入椭圆方程，及222acb，解方程即得参数a，b，即得方程；（2）先利用两点坐标代入椭

圆方程，再作差即求得直线AB的斜率；设直线AB的方程，联立椭圆的方程，利用弦长公式计算AB的长度，再利用点到直线的距离公式计算AOB的高，即得到面积，最后利用基本不等式求其最大值即可.【详解】解：（1）离心率22cea，21P，代入椭圆C方程得22411ab，又

222acb，解得6,3abc，故椭圆C的方程是22163xy；（2）①点,AB都在椭圆C上，设1122,,,AxyBxy，则222211221,16363xyxy，作差得12121212

2xxxxyyyy，即1212121212yyyyxxxx，因为1212AByykxx，121212OPOMyykkxx，1ABk，即直线AB的斜率是

1；②设直线AB的方程是yxt，联立椭圆22163xy得2234260xtxt，由221612260tt解得33x，且21212426,33ttxxxx，故22221212426424249333tt

ABxxxxt，又O到直线AB的距离为2td，故AOB面积22222114229329922333222tttSABdttt，当且仅当229tt时，即292t时等号成立，故A

OB面积的最大值为322.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取

值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．23．已知椭圆M：22213xya0a的一个焦点为1,0F，左右顶点分别为A，

B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆M方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为1S和2S，求12SS的最大值．【答案】（Ⅰ）22143xy；（Ⅱ）247；（Ⅲ）12||SS

的最大值为3.【分析】（Ⅰ）根据椭圆的几何性质求出,ab可得结果；（Ⅱ）联立直线与椭圆，根据弦长公式可求得结果；（Ⅲ）设直线l：1xty(0)t，11(,)Cxy，22(,)Dxy，联立直线l与椭圆M的方程，利用韦达定理求出12yy，12||SS212||34tt，

变形后利用基本不等式可求得最大值.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的焦点为1,0F，所以1c且23b，所以222314abc，所以椭圆M方程为22143xy.（Ⅱ）因为直线l的倾斜角为45，所以斜率为1，直线l的方程为1yx，联立221143yxxy，

消去y并整理得27880xx，设11(,)Cxy，22(,)Dxy，则1287xx，1287xx，所以2848||1177CD247.（Ⅲ）由（Ⅰ）知(2,0),(2,0)AB，设直线l：1xty(0)t，11

(,)Cxy，22(,)Dxy，联立221143xtyxy，消去x并整理得22(34)690tyty，则122634tyyt，123934yyt0，所以12,yy异号，所以121211||

|4||4|||22SSyy122||||||yy122||yy212||34tt1243||||tt1212344323||||tt,当且仅当23||3t时，等号成立.所以1

2||SS的最大值为3.【点睛】关键点点睛：第（Ⅲ）问中将三角形面积用,CD两点的纵坐标表示，并利用韦达定理和基本不等式解决是解题关键.24．已知圆M：2222100xyy和点(0,2)N，Q是圆M上任意一点，线段NQ的垂直平分线和QM相交于点P，P的轨迹为曲线E.（1

）求曲线E的方程；（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，直线xtym交E于B､C两点，直线AB，AC的斜率分别是1k，2k，若129kk，求ABC面积的最大值.【答案】（1）2213yx；（2）34.【分析】（1）首先利用线

段垂直平分线的性质得PNPQ，再表示为椭圆定义，得到曲线方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示129kk，求得2m，再表示ABC的面积求最值.【详解】（1）圆M：2222100xyy的圆心为0,2M，半径为23，点N0,2NQ的垂直平分交MQ于点P

∴PNPQ在圆M内，23PMPNPMPQMN，所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为23的椭圆，由3a，2c，得2321b，所以曲线E的方程为2213yx.（2）①设11,Bxy，22,C

xy，直线BC：xtym，联立方程组22,1,3xtymyx得222136330tymtym，由0，解得21t，122613mtyyt，21223313myyt，由129kk知121212911911yyxxtymt

ym22121299191tyymtyym，且1m，代入化简得2229111831130tmmtmt，解得2m，②222122213131213431ABCttSyytt22334431

1tt(当且仅当273t时取等号).综上，ABC面积的最大值为34.【点睛】关键点点睛：本题考查求曲线（椭圆）方程，考查直线与椭圆相交中的面积问题，解题方法是：（1）求曲线方程采用定义法，利用几何关系表示椭圆的定义，即可得曲线方程．（2）直线与椭圆相交问题采取“设而

不求”的思想方法，即设交点为1122(,),(,)xyxy，设直线方程为xtym，代入椭圆方程应用韦达定理得1212,yyyy，本题的关键是求出2m，然后代入三角形面积，把面积转化为参数t的函数后求解．25．如图，在平面直标xO

y中，椭圆2222:1(0)xyCabab过点632,,3,22.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A为椭圆C的左顶点，过点A的直线与椭圆C交于x轴上方一点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中直线CD过原点O，求平行四边

形ABCD面积S的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在如下的平行四边形ABCD：“原点O到直线AB的距离与线段AB的长度相等”，请说明理由.【答案】（1）22143xy；（2）23；（3）存在满

足条件的平行四边形，理由见解析.【分析】（1）将点的坐标代入椭圆方程得到方程组，解出方程即可得到答案.（2）设点B的坐标为(,)(03)mnn,可求出22||(2)ABmn，则直线AB的方程为(2)2nyxm

，点O到直线AB的距离为222(2)nnm，得出S的表达式，从而可得出答案.(3)假设存在满足条件的平行四边形，则22222(2)(2)nmnmn，结合22143mn，分析解方程组是否有解，从而得出答案.【详解】解：（1）由题意有222223123314abab

，解得23ab故椭圆C的标准方程为22143xy（2）设点B的坐标为(,)(03)mnn，有22143mn点A的坐标为(2,0)，22||(2)ABmn直线AB的方程为(2)2nyxm，整

理为(2)20nxmyn点O到直线AB的距离为222(2)nnm222(2)2(2)nSmnnmn由03n„，可知当3n时，平行四边形ABCD面积S的最大值为23（3）由（2）有，若存在满足条

件的平行四边形ABCD，只需要方程组2222221432(2)(2)mnnmnmn有解整理为2222143(2)(1)1mnmn上述方程组有解的问题化归为椭圆22143xy

与圆22(2)(1)1xy∣是否有交点的问题由下图可知，椭圆和圆有两个交点,PQ，显然点Q为所示故存在满足条件的平行四边形.【点睛】关键点睛：本题中求四边形的面积的关键是选择一个合适的量将面积的目标函数表示出来，

设(,)Pmn,则22||(2)ABmn，然后表示出直线AB的方程，由点到直线的距离求出高，即可表示出目标函数,(3)问中分析出方程组所表示的几何意义是关键，属于中档题.四、填空题26．已知椭圆2

2:143xyC的左、右焦点分别为12FF、，过2F且倾斜角为4的直线l交椭圆C于AB、两点，则1FAB的内切圆半径为________．【答案】327【分析】求出△ABF1的周长和面积，可得内切圆半径．【详解】因为椭圆22:143xyC的左、右焦点分别为12(

1,0)FF(-1,0)、，所以直线l为：tan(1)14yxx，代入椭圆方程可得：27690yy，设AB、两点坐标为11(,)xy，22(,)xy，则212647912277yy，故1FAB的面积121122227Scyy，1FAB的

周长C=4a=8，所以1FAB的内切圆半径为2327SrC，故答案为：327【点睛】关键点点睛：考查三角形内切圆半径．椭圆中过一个焦点的弦与另一焦点构成的三角形的周长为长轴长的2倍，即4a．利用三角形面积12SCr可求解.27．椭圆22143xy的左焦

点为F，直线1ykx与椭圆相交于A、B两点，当FAB的周长最大时，FAB的面积为________.【答案】1227.【分析】首先利用椭圆的定义得FAB的周长为22AFBFABaAFaBFAB

888ABAFBFABAB，得出直线AB经过椭圆的右焦点时周长最大，进而得出直线AB的方程为：1yx，与椭圆方程联立，求出12yy的值，利用1212FABSFFyy即可求解.【详解】由椭圆的标准方程得：2a，1c如图所示，设

椭圆的右焦点为F，则FAB的周长为22AFBFABaAFaBFAB888ABAFBFABAB，当且仅当直线AB经过椭圆的右焦点F时取等号，将1,0代入1ykx得1k，∴直线AB的方程为：1yx

，设11,Axy，22,Bxy，联立221143yxxy，消x得：27690yy，∴1267yy，1297yy，∴221212126912244777yyyyyy，∴FAB的面积＝1

21112212222277FFyy故答案为：1227.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是FAB的周长为AFBFAB利用椭圆的定义转化为22aAFaBFAB888ABAFBFABAB，进而求出直线AB过右焦点F时

FAB的周长最大，直线AB的方程为：1yx，与椭圆方程联立很容易想到，下一步求面积迎刃而解.28．已知椭圆22:12xCy，过右焦点的直线:1lyx与椭圆交与,AB两点，O为坐标原点，则OAB的面积为___

_______.【答案】23【分析】根据题意，求出右焦点F，将直线方程代入椭圆方程，消去x得到关于y的一元二次方程，设11,Axy，22,Bxy，解方程求出方程根，求出OAB的面积即可.【详解】由题意可知，椭圆2211,02xyF，，又直线l方程为1yx，将其代入椭圆2212

xy，消去x整理可得23210yy，设11,Axy，22,Bxy，则11y，213y所以AOB的面积为12114212233AOBSyyOF.故答案为:23.29．直线l与抛物线2yx=交于A，C两点，B为抛物线上一点，A，B，C三点的横坐标依次成等差数

列.若ABC中，AC边上的中线BP的长为3，则ABC的面积为____.【答案】33【分析】设出11,Axy，,Bmn，22,Cxy，由成等差数列得到122mxx，利用点差法得到121212k2ACyyxxmxx，再利用韦达定理可

得弦长，然后求面积.【详解】设11,Axy，,Bmn，22,Cxy，因为A，B，C三点的横坐标依次成等差数列，所以122mxx，又因为BP为AC边上的中线，所以BPx轴，即2,3Pmm，因为11,Axy，

22,Cxy在抛物线上，所以有211222yxyx，两式作差可得2212121212yyxxxxxx，所以121212k2ACyyxxmxx，所以直线l的方程为2y32mmxm，

即2y2m3xm，由2223ymxmyx得：222m30xxm，所以2121223xxmxxm，，所以2121212423xxxxxx，故121S332ABCBPxx【点睛】解决本题的关键点是利用点差

法得到直线的斜率和中点坐标之间的关系，结合韦达定理得到弦长.30．已知点(0,2)A，抛物线22(0)ypxp的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B．过B作l的垂线，垂足为M，若AMMF，则三角形AFM的面积S__________．【答案】32

4【分析】由抛物线的定义可知BFBM，(2pF，0)，再由直角三角形的性质可知，点B为AF的中点，利用中点坐标公式求出点B的坐标，代入抛物线方程求出p的值，根据2AFMBMFSS即可算出结果．【详解】解：如图所示：，由抛物线的定义可知BFBM，(2pF，0)，又AMMF，由直角三

角形的性质可知，点B为AF的中点，(4pB，1)，把点(4pB，1)代入抛物线方程：22(0)ypxp得，124pp，解得2p，2(4B，1)，12232221()2424AFMBFMS

S，故答案为：324．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了抛物线的性质，解题的关键是结合图形由抛物线的定义得BFBM，(2pF，0)，再由直角三角形的性质得，点B为AF的中点，利用中点坐标公式表示出点B的坐标，

考查了直角三角形的性质，是中档题．31．已知经过点（1，0）的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，点C（-1，-1），且CA⊥CB，则△ABC的面积为________．【答案】552【分析】由题意可设直线l的方程为1xky，221212(,),(,)44y

yAyBy，联立抛物线方程有124yyk，124yy，结合CA⊥CB结合向量垂直的坐标表示即可求k，应用点线距、焦点弦长公式即可求△ABC的面积.【详解】由题意，设直线l的方程为1xky与抛物线y2＝4x相交于221212(,),(,)44yyAyBy，∴1y、2y为244

0yky的两个根，即有124yyk，124yy，又∵CA⊥CB，由向量垂直的坐标表示，有221111(1)(1)(1)(1)044yyyy，得12k，若设C到AB的距离为h，则12ABCShAB，∴由00

221|11|||25114AxByChAB，2121?5ABkyy，所以552ABCS，【点睛】关键点点睛：由于直线l可能垂直于x轴而不可能平行x轴，用点斜式设直线为y表示x的方程，注意该直线过抛物线焦点，联立

方程求得k，并应用点线距、焦点弦长公式、三角形面积公式求面积.32．已知经过点1,0的直线l与抛物线24yx相交于A，B两点，点1,1C，且CACB，则ABC的面积为______.【答案】552【分析】设直线:1lxmy

，联立241yxxmy，由0CACB，利用韦达定理求得m，然后再求得点C到l的距离及弦长AB求解.【详解】设直线:1lxmy，设点11,Axy，22,Bxy，联立241yxxmy，得2440ymy，则124y

ym，124yy，则21242xxm，121xx.由题意知0CACB，所以121211110xxyy，展开并代入化简得24410mm，所以12m，所以l的方程为220xy，点C到l的距离为21255，22121251

441654ABmyyyy，所以115555222ABCSdAB△.故答案为：552【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系研究三角形面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.五、双空题33．设抛物线220ypxp的焦点为1

,0F，准线为l，过焦点的直线交抛物线于,AB两点，分别过,AB作l的垂线，垂足为,CD，若4AFBF，则AB_________.CDF的面积为_________.【答案】2545【分析】由题意利用焦点坐标即可求得p的值，联立直线方程和抛物线

方程，结合几何关系和弦长公式即可求得CDF的面积．【详解】解：抛物线22(0)ypxp的焦点为(1,0)F，所以12p，所以2p，如图所示，过点B作//BMl，交直线AC于点M，由抛物线的定义知||||AFAC，||||BF

BD，且||4||AFBF，所以||3||AMBF，||5||ABBF，所以3,45AMABBMBF，可知：AFxBAM，所以直线AB的斜率为4tan3BMkBAMAM，设直线AB的方程为4(1)3yx，点1(Ax，1)

y，2(Bx，2)y，由24(1)34yxyx，消去y整理得241740xx，所以12174xx，所以1225||4ABxxp，所以254||||sin545CDABBAM

，所以CDF的面积为15252，故答案为：25,54．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点

，可直接使用公式12||ABxxp，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．