【文档说明】新教材(辅导班)高一数学寒假讲义15《6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例》课后练习(含解析).doc，共(6)页，189.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-27864.html

以下为本文档部分文字说明：

A级：“四基”巩固训练一、选择题1．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝519m，起吊的货物与岸的距离AD为()A．30mB．1532mC．153mD．45m答案B解析在△ABC中，

AC＝15m，AB＝519m，BC＝10m，由余弦定理，得cos∠ACB＝AC2＋BC2－AB22AC×BC＝152＋102－51922×15×10＝－12，∴sin∠ACB＝32.又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝32.在Rt△ADC

中，AD＝ACsin∠ACD＝15×32＝1532(m)．故选B．2．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()A．10kmB．3kmC

．105kmD．107km答案D解析在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos1

20°＝100＋400－2×10×20×－12＝700，∴AC＝107，即A，C两地的距离为107km.3．某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β

，已知AB＝a,0<β<α<π2，则水塔CD的高度为()A．asinα－βsinβsinαB．asinαsinβsinα－βC．asinα－βsinαsinβD．asinαsinα－βsinβ答案B解析如图，在△ABD中，∠ADB＝α－β，由正弦定理，得ADs

inβ＝ABsin∠ADB，即AD＝asinβsinα－β，在Rt△ACD中，CD＝ADsinα＝asinαsinβsinα－β.4．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出

发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A．1507minB．157hC．21.5minD．2.15h答案A解析当时间t<2.5h时，如图．∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝

6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝202×28＝514(h)，即1507min时，CD2最小，即CD最小为6757.当t＝2.5

h时，CF＝15×32，CF2＝6754，当t>2.5h时，甲、乙两船之间的距离总大于6754.故距离最近时，t<2.5h，即t＝1507min.二、填空题5．一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的

北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________km(精确到0.1km)．答案5.2解析作出示意图如图．由题意，知AB＝24×1560＝6，∠ASB＝35°，由正弦定理，得6sin35°＝BSsin30°，解得B

S≈5.2(km)．6．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝______.答案30°解析如图，AC＝10，∠DAC＝

45°，∴DC＝10，∵∠DBC＝30°，∴BC＝103.由余弦定理，得cos∠ACB＝102＋1032－1022×10×103＝32，∴∠ACB＝30°.7．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至

D点，测得顶端A的仰角为4θ，则θ等于________．答案15°解析如图，由题意知CA＝BC＝30，DA＝CD＝103，设AE＝h，则h＝30sin2θ，h＝103sin4θ，所以30sin2θ＝103sin4θ＝203sin2θ

cos2θ，所以2cos2θ＝3，cos2θ＝32，所以2θ＝30°，θ＝15°.三、解答题8．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，为测出A，B的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA

＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．解∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60

°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BCcos45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴

AB＝64(km)．∴A，B两点间的距离为64km.9．一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这

艘船可以继续沿正北方向航行吗？解在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.由正弦定理，得SB＝ABsin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(nmile)．设点S到直线AB的距离为h，则

h＝SBsin65°≈7.06(nmile)．∵h>6.5nmile，∴此船可以继续沿正北方向航行．B级：“四能”提升训练1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90nmile.此时海盗船距观测站107nm

ile,20min后测得海盗船距观测站20nmlie，再过________min，海盗船到达商船．答案403解析如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝107，AD

＝20，CD＝30，由余弦定理，得cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD×CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC＝60°.在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，∴∠BAD＝60°－30°＝30°

，∴BD＝AD＝20，2090×60＝403(min)．2．据气象台预报，在S岛正东距S岛300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响．问：

S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．解如图，设台风中心经过th到达B点，由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦

定理，得SB2＝SA2＋AB2－2SA×ABcos∠SAB＝3002＋(30t)2－2×300×30tcos60°.若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702，化简整理，得t2－10

t＋19≤0，解得5－6≤t≤5＋6.所以从现在起，经过(5－6)h，S岛开始受到影响，(5＋6)h后影响结束，持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(h)．