【文档说明】人教版数学七年级上册专项培优练习十《角的综合问题》（含答案）.doc，共(15)页，165.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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人教版数学七年级上册专项培优练习十《角的综合问题》1.如图①，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点.(1)若点C恰好是AB中点，则DE=cm；(2)若AC=4cm，求DE的长；(3)试利用“字母代替数”的方法，说明不论

AC取何值(不超过12cm)，DE的长不变；(4)知识迁移：如图②，已知∠AOB=120°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关.2.

已知O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE.(1)如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为______，∠COF和∠DOE的数量关系为_____；(2)若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠

COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；(3)若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF和∠DOE之间的数量关系.3.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起：(1)①如图(1)若∠ECD=35°，则∠ACB=°若∠ACB=135

°，则∠ECD=°②猜想∠ACB与∠ECD的数量关系式，并加以证明.(２)若三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针方向任意转动一个角度，当∠ACE(0°＜∠ACE＜9

0°)等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，先画出所有可能的图形，并求出∠ACE角度所有可能的值.(３)若三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针方向每分钟旋转15°，旋转过程中两三角尺斜边无重叠，旋转时间为t分

钟.在旋转一周过程中，t为何值时，AD与BE平行?4.以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处.(注：∠DOE=90°)(1)如图-1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE=

_______°；(2)如图-2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；(3)如图-3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠C

OD=15∠AOE，求∠BOD的度数？5.已知∠AOB=160°，∠COE=80°，OF平分∠AOE.(1)如图1，若∠COF=14°，则∠BOE=28°；若∠COF=n°，则∠BOE=2n°，∠BOE与∠COF的数量关系为；(2)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，(1)

中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；(3)在(2)的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF=3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由.6.已知点O是直线AB上的一点，∠COE=90

°，OF是∠AOE的平分线.(1)当∠AOC=40°，点C、E、F在直线AB的同侧(如图1所示)时，求∠BOE和∠COF的度数.(2)当∠AOC=40°，点C与点E、F在直线AB的两旁(如图2所示)时，求∠BOE和∠COF的度数.(3)当∠AOC=n°，请选择图(1)或图(2)一种

情况计算，∠BOE=∠COF=(用含n的式子表示)(4)根据以上计算猜想∠BOE与∠COF的数量关系(直接写出结果).7.已知∠AOB内部有三条射线，其中OE平分∠BOC，OF平分∠AOC.(1)如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求EOF的度数；(2)如图2，

若∠AOB=α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)；(3)若将题中的“OE平分∠BOC，OF平分∠AOC”的条件改为“∠EOB=13∠BOC，∠COF=23∠AOC”，且∠AOB=α，求∠EOF的度数(用含α的式子表示)8.如图1，已知∠AOB=150

°，∠AOC=40°，OE是∠AOB内部的一条射线，且OF平分∠AOE.(1)若∠EOB=10°，则∠COF=________；(2)若∠COF=20°，则∠EOB=____________；(3)若∠COF=n°，则

∠EOB=_____(用含n的式子表示).(4)当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时，∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由.9.如图，∠AOB＝90°，∠AOC为∠AOB外的一个锐角，

且∠AOC＝30°，射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC.(1)求∠MON的度数；(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；(3)如果(1)中∠AOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数；(4)从(1)，(2)，(3

)的结果中，你能看出什么规律？(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法.请你模仿(1)～(4)设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律.10.如图1，将一副三角板的两个

锐角顶点放到一块，∠AOB=45°，∠COD=30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线.(1)当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时(如图2)，则∠MON的大小为；(2)如图3，在(1)的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC=10°时，求∠MON的大小

，写出解答过程；(3)在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON=°.11.(1)已知：如图1，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线.OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE=；(2)已知：如图2，点O为直线AB上任意一点，射线OC为任意一条射线，其中∠COD=1

3∠AOC，∠COE=13∠BOC，求∠DOE得度数；(3)如图3，点O为直线AB上任意一点，OD是∠AOC的平分线，OE在∠BOC内，∠COE=13∠BOC，∠DOE=72°，求∠BOE的度数.12.如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BO

C=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条边OM在射线OB上，另一条边ON在直线AB的下方.(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问直线．．ON是否平分∠AOC？请说明理由；(2

)将图1中的三角板绕点O按每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线．．ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为；(直接写出结果)(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC

之间的数量关系，并说明理由.参考答案1.解：(1)∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴DC=12AC，12CE=CB，∴DC+CE=12(AC+CB)=6cm；故答案为：6．(2)∵AC=4cm，∴CD=2cm，∵AB=12cm，AC=4cm，∴BC=8cm，∴CE=4cm，

DE=DC+CE=6cm；(3)∵点D，E分别是AC和BC的中点，∴DC=12AC，CE=12CB，∴DC+CE=12(AC+CB)，即DE=AB；(4)∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC=12∠AOC

，∠COE=12∠COB，∴∠DOE=∠DOC+∠COE=12∠AOB=50°，当∠AOB=n°，∠DOE=12n°．故答案为：50；12n．2.解：(1)∠AOC+∠DOE=180°；∠DOE=2∠COF；(2)(1)∵∠COE=90°，∴∠COF=90°-∠EOF=90°

-12∠AOE，∵∠DOE=180°-∠AOE，所以12∠DOE=12(180°-∠AOE)=90°-12∠AOE，∴12∠DOE=∠COF.所以∠DOE=2∠COF.(3)不发生变化.证明如下：∵射线OF平分∠AOE，∴∠EOF=

12∠AOE，∵∠COE=90°，∴∠COF=90°+∠EOF=90°+-12∠AOE∠DOE=90°+∠EOF.∴∠DOE=90°+-12∠AOE.所以∠COF=∠DOE.3.解：(1)①∵∠ECB=90°，∠DCE=45°，∴∠DCB

=90°-45°=45°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+45°=135°.②∵∠ACB=140°，∠ACD=90°，∴∠DCB=140°-90°=50°，∴∠DCE=90°-50°=40°.(2)∠ACB+∠DCE=180°，∵∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB，∴∠AC

B+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°.(3)存在.当∠ACE=30°时，AD∥BC，当∠ACE=∠E=45°时，AC∥BE，当∠ACE=120°时，AD∥CE，当∠ACE=135°时，BE∥CD，当∠ACE=165°时，BE∥

AD.4.解：(1)∵∠BOE=∠COE+∠COB=90°，又∵∠COB=60°，∴∠COE=30°，(2)∵OE平分∠AOC，∴∠COE=∠AOE=12∠COA，∵∠EOD=90°，∴∠AOE+∠DOB

=90°，∠COE+∠COD=90°，∴∠COD=∠DOB=12∠BOC=30°；(3)设∠COD=x，则∠AOE=5x．∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC=180°，∠DOE=90°，∠BOC=60°，∴5x+90°+x+60°=1

80°，解得x=5°，即∠COD=5°，∴∠BOD=∠COD+∠BOC=5°+60°=65°，∴∠BOD的度数为65°．5.解：(1)∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF，∴

2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，∴2(∠COE﹣∠COF)=∠AOB﹣∠BOE，而∠AOB=160°，∠COE=80°，∴160°﹣2∠COF=160°﹣∠BOE，∴∠BOE=2∠COF，当∠COF=14°时，∠BOE=28°；当∠COF=n°时，

∠BOE=2n°，(2)∠BOE=2∠COF仍然成立.理由如下：∵∠AOE=∠AOB﹣∠BOE，而OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠EOF，∴2∠EOF=∠AOB﹣∠BOE，∴2(∠COE﹣∠COF)=∠AOB﹣∠BOE，而∠AOB=160°，∠COE=80°，∴160°﹣2

∠COF=160°﹣∠BOE，∴∠BOE=2∠COF；(3)存在.设∠AOF=∠EOF=2x，∵∠DOF=3∠DOE，∴∠DOE=x，而∠BOD为直角，∴2x+2x+x+90°=160°，解得x=14°，∴∠BOE=90°+x=104°，∴∠COF=12×104°=52°(满足∠COF+∠FO

E=∠COE=80°).6.解：(1)如图(1)，∵∠AOC=40°，∠COE是直角，∴∠AOE=130°，∴∠BOE=180°﹣130°=50°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=12∠AOE=65°，∴∠COF=65°﹣40°

=25°；(2)如图(2)，∵∠AOC=40°，∠COE是直角，∴∠AOE=50°，∴∠BOE=180°﹣50°=130°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=12∠AOE=25°，∴∠COF=25°+40°=65°；(3)如

图(2)，∵∠AOC=n°，∠COE是直角，∴∠AOE=(90﹣n)°，∴∠BOE=180°﹣(90﹣n)°=(90+n)°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=12∠AOE=(45﹣12n)°，∴∠COF=n°+(45﹣12n)°=45°+12n°.(4)根据以上计算的∠BOE和∠COF的度

数可得：∠BOE=2∠COF.7.解：(1)∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣30°=60°，∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC=12∠BOC=12×60°=30°，∠COF=12∠AOC=12×30°=15°，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=3

0°+15°=45°；(2)∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，∴∠EOC=12∠BOC，∠COF=12∠AOC，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=12∠BOC+12∠AOC=12(∠BOC+∠AOC)=12∠AOB=12a；(3)∵∠EOB=13∠BOC，∴∠EOC=

23∠BOC，又∵∠COF=23∠AOC，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=23∠BOC+23∠AOC=23(∠BOC+∠AOC)=23∠AOB=23a.8.解：(1)∵∠AOB=150°，∠EOB=10°，∴∠AOE=∠AOB-∠EOB=150°-10°=140°，∵OF平分∠A

OE，∴∠AOF==70°，∴∠COF=∠AOF-∠AOC=70°-40°=30°；(2)∵∠AOC=40°，∠COF=20°，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+20°=60°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠AOF=2×60°=

120°，∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=150°-120°=30°；(3)∵∠AOC=40°，∠COF=n°，∴∠AOF=∠AOC+∠COF=40°+n°=60°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠AOF=2(

40°+n°)=80°+2n°，∴∠EOB=∠AOB-∠AOE=150°-(80°+2n°)=70°-2n°；(4)如图所示；∠EOB=70°+2∠COF.证明：设∠COF=n°，则∠AOF=∠AOC-∠COF=4

0°-n°，又∵OF平分∠AOE，∴∠AOE=2∠AOF=80°-2n°.∠EOB=∠AOB-∠AOE=150°-(80°-2n°)=(70+2n)°即∠EOB=70°+2∠COF.9.解：(1)因为∠AOB=90°，∠AOC=30°，所以∠BOC

=120°.因为OM平分∠BOC，所以∠COM=12∠BOC=60°.因为ON平分∠AOC，所以∠CON=12∠AOC=12×30°=15°，所以∠MON=∠COM－∠CON=60°－15°=45°(2)当∠AOB=α，其它条件不变时，仿(1)可得∠MON=12α(

3)仿(1)可求得∠MON=∠COM－∠CON=45°(4)从(1)(2)(3)的结果中，可以得出一般规律：∠MON的大小总等于∠AOB的一半，与锐角∠AOC的大小无关(5)问题可设计为：已知：线段AB＝a，延长AB到点C，使BC＝6，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长.

规律是：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关10.解：(1)∵∠AOB=45°，∠COD=30°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，∴∠BON=12∠COD=15°，∠MOB=12∠AOB=22.5°，∴∠MON=37.5°.故答案为：37.5

°；(2)当绕着点O逆时针旋转∠COD，∠BOC=10°时，∠AOC=55°，∠BOD=40°，∴∠BON=12∠BOD=20°，∠MOB=12∠AOC=27.5°，∴∠MON=47.5°；(3)∵∠AOC=∠AO

B+∠BOC，∠BOD=∠COD+∠BOC，∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，∠AOB=45°，∠COD=30°，∴∠MOC=12∠AOC=12(∠AOB+∠BOC)，∠CON=12∠BOD﹣∠BOC，∴∠MON

=12(∠AOB+∠BOC)+12BOD﹣∠BOC=12∠AOB+12(∠BOD﹣∠BOC)=12∠AOB+=12∠COD=37.5°，12α+12β=12(α+β).11.解：(1)∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠COD=12AOC，∠COE=12BOC，∵∠AOB=180°，∴∠D

OE=∠COD+∠COE=12(∠AOC+∠BOC)=12∠AOB.(2)∵∠COD=13∠AOC，∠COE=13∠BOC，∴∠DOE=∠COD+∠COE=13∠AOC+13∠BOC=13(∠AOC+∠BOC)=13∠AOB=60°；(3)设∠BOC=x°则∠COE=1

3x°，∠BOE=23x°，∠AOC=(180﹣x)°，∵OD是∠AOC的平分线，∴∠COD=12∠AOC=(90﹣12x)°，∵∠DOE=72°，∴(90﹣12x)+13x=72°，解得：x=108，∴∠BOE=23×1

08=72°.12.解：(1)直线ON是否平分∠AOC.理由：设ON的反向延长线为OD，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC=∠MOB，又∵OM⊥ON，∴∠MOD=∠MON=90°，∴∠COD=∠BON，又∵∠AOD=∠BON(对顶角相等)，∴∠COD=∠AOD，∴OD

平分∠AOC，即直线ON是否平分∠AOC.(2)∵∠BOC=120°∴∠AOC=60°，∴∠RON=∠COD=30°，即旋转60°时ON平分∠AOC，由题意得，6t=60°或240°，∴t=10或40；(3)∵∠MON=90°，∠AOC=60°，∴∠AOM=90°﹣∠AON、

∠NOC=60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°.