【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案3．1《导数的概念及运算》(含详解).doc，共(9)页，270.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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3．1导数的概念及运算1．导数的概念(1)定义如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值ΔyΔx就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即ΔyΔx＝

f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.如果当Δx→0时，ΔyΔx有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处____________，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作____________或y′|x＝x0，即f′(x0)＝0

limxΔyΔx＝0limxf（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导函数当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝0limxf（x＋Δx）－f（x）Δx.(3

)用定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法①求函数的增量Δy＝____________；②求平均变化率ΔyΔx＝____________；③取极限，得导数f′(x0)＝0limxΔyΔx.2．导数的几何意义函数y＝f(x

)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应的切线方程为．3．基本初等函数的导数公式(1)c′＝(c为常数)，(xα)′

＝(α∈Q*)．(2)(sinx)′＝___________，(cosx)′＝___________.(3)(lnx)′＝___________，(logax)′＝___________．(4)(ex)′＝_____

_______，(ax)′＝___________.4．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__________________.(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；当g(x)＝c(c为常数)

时，即[cf(x)]′＝.(3)f（x）g（x）′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为______________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．自查自纠：1

．(1)可导f′(x0)(3)①f(x0＋Δx)－f(x0)②f（x0＋Δx）－f（x0）Δx2．f′(x0)y－y0＝f′(x0)(x－x0)3．(1)0αxα－1(2)cosx－sinx(3)1x1xlna(4)exaxln

a4．(1)f′(x)±g′(x)(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)(3)f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]25．yx′＝y′u·u′x已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f′π2的值为()A．－1B．0C．1D.π2解：f′(x)＝

sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，所以f′π2＝π2cosπ2＝0.故选B.一质点作直线运动，由始点起经过ts后的距离为s＝13t3－6t2＋32t，则速度为0的时刻是()A．4s末B．8s末C．0s末与8s末D．4s末与8s末解：s′＝t2－12t＋32，由

导数的物理意义可知，速度为0的时刻就是s′＝0的时刻，解方程t2－12t＋32＝0，得t＝4或t＝8.故选D.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()ABCD解：由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明

函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的

切线方程是________．解：因为y′|x＝0＝－5e0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.故填5x＋y＋2＝0.曲线y＝log2x在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积等于____

____．解：y′|x＝1＝1ln2，所以曲线在点(1，0)处的切线方程为y＝1ln2(x－1)．所求三角形面积S＝12×1×1ln2＝12ln2.故填12ln2.类型一导数的概念已知函数y＝x2＋1.(1)求函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；

(2)求函数在x＝1处的导数．解：(1)Δy＝（x0＋Δx）2＋1－所以ΔyΔx＝.(2)由(1)可得，当x＝1时，ΔyΔx＝Δx＋2（1＋Δx）2＋1＋2，limΔyΔx＝22，即函数在x＝1处的导数为y′|x＝1＝22.点拨：利用导数定义求

函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率ΔyΔx，再化简平均变化率，最后判断当Δx→0时，ΔyΔx无限趋近于哪一常数，该常数即为所求导数，这是定义法求导数的一般过程．(1)航天飞机发射后的一段时间内，第ts时的高度h(

t)＝5t3＋30t2＋45t＋4(单位：m)．(Ⅰ)求航天飞机在第1s内的平均速度；(Ⅱ)用定义方法求航天飞机在第1s末的瞬时速度．解：(Ⅰ)航天飞机在第1s内的平均速度为h（1）－h（0）1＝5＋30＋45＋4－41＝80m/s.(Ⅱ)航天飞机第1s末高度的平均

变化率为h（1＋Δt）－h（1）Δt＝5（1＋Δt）3＋30（1＋Δt）2＋45（1＋Δt）＋4－84Δt＝5Δt3＋45Δt2＋120ΔtΔt＝5Δt2＋45Δt＋120，当Δt→0时，5Δt2＋45Δt＋120→120，所以航天飞机在

第1s末的瞬时速度为120m/s.(2)设f(x)是可导函数，且满足0limxf（2Δx＋1）－f（1）2Δx＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为()A．－2B．－1C．1D．2解：0limxf（2Δx＋1）－f（1）2Δx＝－1，即f′(1)＝－1，由导数的几何意义

知，y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－1.故选B.类型二求导运算求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝ln

xx2＋1；(5)y＝ln(2x－5)．解：(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y

′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)(3e)x－2xln2.(4)y′＝（lnx）′（x2＋1）－lnx（x2＋1）′（x2＋1）2＝1x（x2＋1）－2xlnx

（x2＋1）2＝x2（1－2lnx）＋1x（x2＋1）2.(5)令u＝2x－5，y＝lnu，则y′＝(lnu)′u′＝12x－5·2＝22x－5，即y′＝22x－5.点拨：求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速

度，减少差错，常用求导技巧有：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角

形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．(1)f(x)＝x(2018＋lnx)，若f′(x0)＝2019，则x0＝________．解：f′(x)＝2018＋lnx＋x·1x＝2019＋lnx，故由f′(x0)＝2019，得

x0＝1.故填1.(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________．解：f′(x)＝4ax3＋2bx，因为f′(x)为奇函数且f′(1)＝2，所以f′(－1)＝－2.故填－2.(3)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex

)＝x＋ex，则f′(1)＝________．解法一：令t＝ex，故x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，即f(x)＝lnx＋x，所以f′(x)＝1x＋1，所以f′(1)＝2.解法二：f′(ex)＝1＋ex，f′(1)＝f′(e0)＝1＋e0

＝2.故填2.类型三导数的几何意义(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．解：由题意得，当x>0时，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝1x－3，f′(1)＝－2，则曲线y

＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故填2x＋y＋1＝0.点拨：曲线切线方程的求法：①以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：求出函数f(x)的导数f′(x)；求切线的斜率f′(x0)；写出切线方

程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．②如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组y0＝f（x0），y1－y0x1－x0＝f′（x0），得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注

意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．(2017·天津)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在

y轴上的截距为________．解：因为f′(x)＝a－1x，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切点坐标为(1，a)，所以切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1.故填1.设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)

上点P处的切线垂直，则P的坐标为()A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)解：对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y＝1x(x>0)上点P处的切线斜率为－1，由y′＝－1x2＝－1，得x＝1，则y＝1，所以P的坐标

为(1，1)．故选A.点拨：导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：①已知切点A(x0，f(x0))，求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)；②已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；③若求过点P

(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由方程组y1＝f（x1），y0－y1＝f′（x1）（x0－x1）求解即可．(2016·无锡一模)曲线y＝x－1x(x＞0)上点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为13，则点P

的坐标为________．解：由题意可得y0＝x0－1x0，x0＞0，因为y′＝1＋1x2，所以过点P的切线的斜率为解得x0＝5(舍去负根)，所以点P的坐标为5，455.故填5，455.(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝l

nx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．解：设直线y＝kx＋b与y＝lnx＋2相切于点(x1，lnx1＋2)，与y＝ln(x＋1)相切于点(x2，ln(x2＋1))，则切线分别为

y－(lnx1＋2)＝1x1(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝1x2＋1(x－x2)，这两条切线表示同一条直线，所以1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝ln（x2＋1）－x2x2＋1，解得x1＝12，所以k＝1x1＝2，b＝lnx1＋2－1＝1－ln2.故填1－ln2.点拨：

处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．已知f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1

))，则m＝________．解：因为f′(x)＝1x，所以直线l的斜率k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，所以直线l的方程为y＝x－1.设直线l与g(x)图象的切点为(x0，x0－1)，g′(x)＝x＋m，则有x0＋m＝1，x0－1＝12x20＋mx0＋72，

又m<0，解得m＝－2.故填－2.1．“函数在点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在点x0处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，

b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)．(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(

x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．2．函数在x0处导数的两种常用求法(1)利用导数的定义，即求0limxf（x0＋Δx）－f（x0）Δx的值；(2)求导函数在x0处的函数值：先求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数f′(x)，再将x0(x0∈(a，b))代

入导函数f′(x)，得f′(x0)．3．关于用导数求曲线的切线问题(1)圆是一种特殊的封闭曲线，注意圆的切线的定义并不适用于一般的曲线．(2)求曲线在某一点处的切线方程，这里的某一点即是切点，求解步骤为先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程．(3)求过某点的曲

线的切线方程，这里的某点可能是切点(点在曲线上的情形)，也可能不是切点，即便点在曲线上，切线也不一定唯一．1．一质点沿直线运动，由始点起经过t秒后的距离(单位：米)为s＝13t3－3t2＋8t，那么4秒末的速度为()A．2米/秒B．0米/秒C．－163米/秒D.163米/秒解：s′(t)

＝t2－6t＋8，由导数的物理意义知v＝s′(t)，令t＝4，得v＝0，即4秒末的速度为0米/秒．故选B.2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝()A．2B．0C．－2D．－4解：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′

(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.故选D.3．(2016·淄博质检)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，如果f′(x)是二次函数，f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y＝f(x)上任一点处的切线的倾斜角α的取值范围是()

A.0，π3B.π3，π2C.π2，2π3D.π3，π解：依题意得f′(x)≥3，即曲线y＝f(x)在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角的取值范围是π3，π2.故

选B.4．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解：因为函数f(x)是奇函数，所以a－1＝0，得a＝1

，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，即y＝x.故选D.5．(2016·郑州二测)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f

(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A．－1B．0C．2D．4解：l与y轴交点为(0，2)，可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率k等于－13，即f′(3)＝－13.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g

′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－13＝0.故选B.6．(2016·山东)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称

y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是()A．y＝sinxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x3解：设函数y＝f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，则由题意知只需函数y＝f(x)满足f′(x1)·f′(x2)＝－1即可．y＝f

(x)＝sinx的导函数为f′(x)＝cosx，则f′(x1)·f′(x2)＝－1有无数组解，故函数y＝sinx具有T性质；y＝f(x)＝lnx的导函数为f′(x)＝1x，则f′(x1)·f′(x2)＝

1x1x2>0，故函数y＝lnx不具有T性质；y＝f(x)＝ex的导函数为f′(x)＝ex，则f′(x1)·f′(x2)＝ex1＋x2>0，故函数y＝ex不具有T性质；y＝f(x)＝x3的导函数为f′(x)＝3x2，则f′(x1)·f′(x2)＝9x21x22≥0，故函数y＝

x3不具有T性质．故选A.7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解：因为y′＝2x＋1，所以在点(0，0)处切线斜率k＝2，切线方程为y＝2x.故填y＝2x.8．若函数f(x)＝12x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，

则实数a的取值范围是________．解：函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－a＋1x.由题意可知f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，所以a＝x＋1x≥2，当且仅当x＝1时取等号．故填[2，＋∞)．9．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y

＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．因为f′(x)＝3x2＋1，所以f(x)在点(2，－6)处切线的斜率k＝f′(2)＝13.所以切线方程为y＋6＝13

(x－2)，即y＝13x－32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，y0＝x30＋x0－16，直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又因为直线l

过原点(0，0)，所以0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，解得x0＝－2，y0＝－26，即切点坐标为(－2，－26)．所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．10．(2017·长沙调研)已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为

l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．解：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，所以当x＝2时，y′＝－1，y＝53，所以斜率最小的切线过点2，53，斜率k＝－1，所以所求切

线方程为3x＋3y－11＝0.(2)由(1)得k≥－1，所以tanα≥－1，又因为α∈[0，π)，所以α∈0，π2∪3π4，π.故α的取值范围为0，π2∪3π4，π.11．设函数f(x)＝ax－bx，曲线y＝f(x)在点(2，

f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)切线方程7x－4y－12＝0可

化为y＝74x－3.当x＝2时，y＝12.又f′(x)＝a＋bx2，于是2a－b2＝12，a＋b4＝74，解得a＝1，b＝3.故f(x)＝x－3x(x≠0)．(2)证明：设P(x0，y0)

(x0≠0)为曲线上任一点，由y′＝1＋3x2，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为令x＝0，得y＝－6x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－6x0.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2

x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝12－6x0|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导数f′(x)在D上也

可导，则称f(x)在D上存在二阶导数，记为f″(x)＝[f′(x)]′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在0，π2上是凸函数的是________．(把你认为正确的序号都

填上)①f(x)＝sinx＋cosx；②f(x)＝lnx－2x；③f(x)＝－x3＋2x－1；④f(x)＝xex.解：由①知，f′(x)＝cosx－sinx，则f″(x)＝－sinx－cosx＝－2sinx＋π4<0在区间0，π2上恒

成立；由②知，f′(x)＝1x－2(x>0)，则f″(x)＝－1x2<0在区间0，π2上恒成立；由③知，f′(x)＝－3x2＋2，则f″(x)＝－6x<0在区间0，π2上恒成立．故①②③中的函数均为凸函数．由④知，f′(x)＝ex＋xex，

f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)>0在区间0，π2上恒成立，故④中的函数不是凸函数．故填①②③.