【文档说明】高考数学(理数)一轮复习学案2．9《函数模型及其应用》(含详解).doc，共(15)页，536.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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2．9函数模型及其应用1．函数的实际应用(1)基本函数模型函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模型指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(

a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)幂型函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(2)三种常用函数模型性质比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调____函数单调____函数单调_

___函数增长速度越来越____越来越____相对平稳图象的变化随x值增大，图象与____轴接近平行随x值增大，图象与____轴接近平行随n值变化而不同2.函数建模(1)函数模型应用的两个方面①利用已知函数模型解决问题；②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某

些发展趋势进行预测．(2)应用函数模型解决问题的基本过程：________、________、________、________.自查自纠：1．(1)f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(2)增增增快慢yx2．审

题建模解模还原(2018·长沙模拟)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()ABCD解：出发时距学校最远，排除A；中途堵塞停留，距离

没变，排除D；堵塞停留后比原来骑得快，排除B.故选C.(教材改编题)已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为()A．800米B．900米C．1000米D．1200米解：设这个广场的长为x米，则宽为40000x米，所以其周长l＝2x

＋40000x≥800，当且仅当x＝40000x，即x＝200时取等号．故选A.(教材改编题)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．105元B．106元C．

108元D．118元解：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选C.(2018·抚顺模拟)某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动

物第2年有100只，则可预测第8年有________只．解：因为alog33＝100，所以a＝100，当x＝8时，y＝100log39＝200.故填200.交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到0.8mg

/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到个位，lg2＝0.301)解：设至少经过n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得0.8(1－20%)n≤0.2，n∈N*，0.8n＋1≤0.

2，n＋1≥log0.80.2＝lg2－13lg2－1≈7.2，则n≥6.2，即至少经过7小时他才可以驾驶机动车．故填7.类型一幂型函数模型李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L

甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为()A．11000元B．22000元C．33000元D．40000元解：

设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，所以当x＝60时，有最大利润33000元．故选C.点拨：①列函数关

系式时，注意自变量的取值范围；②求最值这里运用了配方法，通常换元法、导数法、均值不等式法也是解这类题比较常用的方法．(2016·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25

米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t秒内的路程为s＝12t2米，那么，此人()A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离

为14米D．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7米解：已知s＝12t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝12t2－6t＋25＝12(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.故选D.类型二指数型函数模型一片森林原来

面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解

：(1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)．则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即12m10＝1212，即m10＝12，解得

m＝5，故到今年为止，该森林已砍伐了5年．(3)设从今年开始，最多还能砍伐n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，12n10≥1232，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．

点拨：此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂型函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式表示．解题时，往

往用到对数运算．(2017·德阳一诊)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin后甲桶中的水只有a4L，则m的值为()A．5B．8C．9D．10解：因为过5min后甲

桶和乙桶的水量相等，所以函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝12a，可得n＝15ln12，所以f(t)＝a·12t5，因此，当kmin后甲桶中的水只有a4L时，f(k)＝a·1

2k5＝14a，即12k5＝14，所以k＝10，由题可知m＝k－5＝5.另解：由f(5)＝ae5n＝12a，得e5n＝12，故e10n＝14，即m＝10－5＝5.故选A.类型三对数型函数模型某校学生社团心理学研究小组在

对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，

当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．(1)试求p＝f(t)的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．解：(1)当t∈(0，14]时，设p＝f(t)＝c(t－12

)2＋82(c<0)，将点(14，81)代入得c＝－14，t∈(0，14]时，p＝f(t)＝－14(t－12)2＋82；当t∈(14，40]时，将点(14，81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝13，所以p＝f(t)＝－14（t－12）2＋

82，t∈（0，14]，log13（t－5）＋83，t∈（14，40].(2)当t∈(0，14]时，由－14(t－12)2＋82≥80，解得12－22≤t≤12＋22，所以t∈[12－22，14]，当t∈(14，40]时，由lo

g13(t－5)＋83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14，32]，所以t∈[12－22，32]，即老师在t∈[12－22，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．点拨：善于利用已知条件，

根据问题的实际意义列出方程(组)、不等式(组)等来解决问题．解题过程中注意合理地使用对数式的运算法则进行运算．有一片树林现在的木材储蓄量为7100m3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400m3，则平均每年木材储蓄量的增长率是____

____．(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg5≈0.6990，100.03≈1.072)解：设增长率为x，由题意得28400＝7100(1＋x)20，所以(1＋x)20＝4，即20lg(1＋x)＝2lg2，lg(1＋x)≈0.030

10，所以1＋x≈1.072，得x≈0.072＝7.2%.故填7.2%.类型四分段函数模型季节性商品的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某商品开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20

元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该商品不再销售．(1)试建立价格p与周次t之间的函数关系式；(2)若此商品每周进货一次，每件进价Q与周次t之间的关系式为Q＝－0.125(t－8

)2＋12，t∈[0，16]，t∈N，试问该商品第几周每件销售利润最大？最大值是多少？解：(1)p＝10＋2t，t∈[0，5]，t∈N，20，t∈（5，10]，t∈N，40－2t，t∈（10，16]，t∈N.(2)设第t周时每件销售利润为L(t

)，则L(t)＝10＋2t＋0.125（t－8）2－12，t∈[0，5]，t∈N，20＋0.125（t－8）2－12，t∈（5，10]，t∈N，40－2t＋0.125（t－8）2－12，t∈（10，16]，t∈N，＝0.1

25t2＋6，t∈[0，5]，t∈N，0.125（t－8）2＋8，t∈（5，10]，t∈N，0.125t2－4t＋36，t∈（10，16]，t∈N.当t∈[0，5]，t∈N时，L(t)max＝L(5)＝9.125；当t∈(5，10]，t∈

N时，L(t)max＝L(6)＝L(10)＝8.5；当t∈(10，16]，t∈N时，L(t)单调递减，L(t)max＝L(11)＝7.125.由9.125>8.5>7.125，知L(t)max＝9.125.从

而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．点拨：①实际问题的情况往往是复杂的，许多实际问题都要使用分段函数模型求解．②解分段函数模型要注意定义域区间的分界点．③含有参数的实际应用题要注意分类讨论．(2017·河南省实验中学期中)国庆节期间，某旅行社组团去风

景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为

多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅游团人数为x人，由题得0＜x≤75，飞机票价格为y元，则y＝900，0＜x≤30，900－10（x－30），30＜x≤75，即y＝900，0＜x≤30，1200－10x，3

0＜x≤75.(2)设旅行社获利S元，则S＝900x－15000，0＜x≤30，x（1200－10x）－15000，30＜x≤75，即S＝900x－15000，0＜x≤30，－10（x－

60）2＋21000，30＜x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0，30]上为单调增函数，故当x＝30时，S取最大值12000元，又S＝－10(x－60)2＋21000在区间(30，75]上，当x＝60时，取得最大值21000.故每团人数

为60人时，旅行社可获得最大利润．1．解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．(2)建模

：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实

际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得结果．(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题

．以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的过程可以用下面框图表示：2．函数模型的选择解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型．一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量

的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模

型等．另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型．1．现有一组数据如下

：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2tB．v＝log12tC．v＝t2－12D．v＝2t－2解法一

：v值随t值增大，且增长速度越来越快，故应选择指数型函数模型，仅选项C符合．解法二：取t＝1.99≈2(或t＝5.1≈5)，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B，得v＝log122＝－1≠1.5；代入C，

得v＝22－12＝1.5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1.5.其余4组数据同样代入可知C最合要求．故选C.2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是()A．3B．4C．5D．6解：设至少要洗x次，则

1－34x≤1100，所以14x≤1100，4x≥100，因此至少洗4次．故选B.3．(2018·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，

则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A．7B．8C．9D．10解：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6(k－9)2＋864(1≤k≤10，k∈N)，所以当k＝9时，获得利

润最大．故选C.4．某地一天内的气温Q(t)(单位：℃)与时刻t(单位：h)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的

函数关系用下列图象表示，则正确的图象是()ABCD解：当0<t<4时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除C；当4<t<8时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除A，B.故选D.5．(2018·福

建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期

”个数至少是()A．8B．9C．10D．11解：不妨设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为12n，由12n<11000得n≥10.所以若探测不到碳14含量，则至少经过了10

个“半衰期”．故选C.6．(2017·武汉模拟)某段时间内，国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%

纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元解：由题意可建立纳税额y(元)关于稿费x(元)的函数解析式为y＝0，x≤800，0.14（x－800），800<x≤4000，0.11x，x>

4000，显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.故选B.7．若某商场将彩电价格由原价2250(元/台)提高40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖________元．解：由题意

可得每台彩电比原价多卖2250×(1＋40%)×80%－2250＝270元．故填270.8．已知某品牌商品靠广告产生的收入R与广告费A之间满足关系R＝aA(a为常数)，广告效果为D＝R－A，为了取得最大广告效果，投入的广

告费应为________．(用常数a表示)解：依题意D＝R－A＝aA－A，令t＝A(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－t－12a2＋14a2，显然a>0，所以当t＝12a，即A＝14a2时，D取得最大值．故填14a2.9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和

外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热屋，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为

隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C

(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2（6x＋10）·8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5，即x＝5时等号

成立．所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．10．(2017·山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正

比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k

1x，g(x)＝k2x.由已知得f(1)＝18＝k1，g(1)＝12＝k2，所以f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12x(x≥0)．(2)设投资债券类产品为20－x万元，则投资股票类产品为x万元．依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝20－x8＋12x＝－x＋4x＋208(0≤

x≤20)．所以x＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．11．(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系

为v＝a＋blog3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为

0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog33010＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故有a＋blog39010＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组a＋b＝0，a＋2

b＝1，得a＝－1，b＝1.(2)由(1)知，v＝－1＋log3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，即－1＋log3Q10≥2，即log3Q10≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于

2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．(2018·山西模拟)为提倡低碳生活，某旅游区在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的

自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；

(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6.当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－1

15>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20.故x∈[3，20]，x∈Z，y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，－3x2＋68x－115，6<x≤20，x∈Z.(2)对于y＝50x

－115(3≤x≤6，x∈Z)，显然当x＝6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115＝－3x－3432＋8113(6<x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270.因为270>185，所以当每辆自行车的日租金

定为11元时，才能使一日的净收入最多．2．9函数模型及其应用1．函数的实际应用(1)基本函数模型函数模型函数解析式一次函数模型二次函数模型指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为

常数，a＞0且a≠1，b≠0)幂型函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)(2)三种常用函数模型性质比较函数性质y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的单调性单调____函数单调____函数单调____函数增长速度越来越____越来越____

相对平稳图象的变化随x值增大，图象与____轴接近平行随x值增大，图象与____轴接近平行随n值变化而不同2.函数建模(1)函数模型应用的两个方面①利用已知函数模型解决问题；②建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．(2)应用函数模型解决问题的基本过程：___

_____、________、________、________.自查自纠：1．(1)f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)(2)增增增快慢yx2．审题建模解模还原(2018·长沙模拟)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留

了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()ABCD解：出发时距学校最远，排除A；中途堵塞停留，距离没变，排除D；堵塞停留后比原来骑得快，排除B.故选C.(教材改编题)已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为()A．80

0米B．900米C．1000米D．1200米解：设这个广场的长为x米，则宽为40000x米，所以其周长l＝2x＋40000x≥800，当且仅当x＝40000x，即x＝200时取等号．故选A.(教材改编题)某家具的标价为132元，若降价以九折出售(

即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是()A．105元B．106元C．108元D．118元解：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选C.(2018·抚顺模拟)某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)

，设这种动物第2年有100只，则可预测第8年有________只．解：因为alog33＝100，所以a＝100，当x＝8时，y＝100log39＝200.故填200.交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2mg/ml.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到

0.8mg/ml，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到个位，lg2＝0.301)解：设至少经过n小时后他才可以驾驶机动车，由题意得0.8(1－20%)n≤0.2，

n∈N*，0.8n＋1≤0.2，n＋1≥log0.80.2＝lg2－13lg2－1≈7.2，则n≥6.2，即至少经过7小时他才可以驾驶机动车．故填7.类型一幂型函数模型李华经营了甲、乙两家电动车销售连锁店，其月利润(单位

：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为()A．11000元B．22000元C．33000元D．4000

0元解：设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，所以当x＝60时，有最大利润33000元．故选C.点拨：①列函数

关系式时，注意自变量的取值范围；②求最值这里运用了配方法，通常换元法、导数法、均值不等式法也是解这类题比较常用的方法．(2016·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由

红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t秒内的路程为s＝12t2米，那么，此人()A．可在7秒内追上汽车B．可在9秒内追上汽车C．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14米D．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7米解：已知s＝12t2，车与人的间距d＝(s＋25)

－6t＝12t2－6t＋25＝12(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.故选D.类型二指数型函数模型一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林

面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年降低的百分比为x(0<

x<1)．则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即12m10＝1212，即m10＝12，解得m＝5，故到今年为

止，该森林已砍伐了5年．(3)设从今年开始，最多还能砍伐n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，12n10≥1232，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．点拨：此类增

长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂型函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．(2017·德阳一诊)将甲桶中的aL水缓慢注入空桶乙中，tmin后甲桶中剩余的水量符合

指数衰减曲线y＝aent.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin后甲桶中的水只有a4L，则m的值为()A．5B．8C．9D．10解：因为过5min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝12a，

可得n＝15ln12，所以f(t)＝a·12t5，因此，当kmin后甲桶中的水只有a4L时，f(k)＝a·12k5＝14a，即12k5＝14，所以k＝10，由题可知m＝k－5＝5.另解：由f(5)＝ae5n＝12a，得e5n＝12，故e10n＝14，即m

＝10－5＝5.故选A.类型三对数型函数模型某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14，40

]时，曲线是函数y＝loga(t－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．(1)试求p＝f(t)的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学

生听课效果最佳？请说明理由．解：(1)当t∈(0，14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，将点(14，81)代入得c＝－14，t∈(0，14]时，p＝f(t)＝－14(t－12)2＋82；当t∈(14，40]时，将点(14，81)代入y＝lo

ga(t－5)＋83，得a＝13，所以p＝f(t)＝－14（t－12）2＋82，t∈（0，14]，log13（t－5）＋83，t∈（14，40].(2)当t∈(0，14]时，由－14(t－12)2＋82≥80，解得12－22≤t≤12＋22，所以t∈[12－

22，14]，当t∈(14，40]时，由log13(t－5)＋83≥80，解得5<t≤32，所以t∈(14，32]，所以t∈[12－22，32]，即老师在t∈[12－22，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．点拨：善于利用已知条件，根据问题

的实际意义列出方程(组)、不等式(组)等来解决问题．解题过程中注意合理地使用对数式的运算法则进行运算．有一片树林现在的木材储蓄量为7100m3，要力争使木材储蓄量20年后翻两番，即达到28400m3，则平均每年木材储蓄量的增长率是________．(参考数据：lg2

≈0.3010，lg3≈0.4771，lg5≈0.6990，100.03≈1.072)解：设增长率为x，由题意得28400＝7100(1＋x)20，所以(1＋x)20＝4，即20lg(1＋x)＝2lg2，lg(1＋x)≈0.03010，所以1

＋x≈1.072，得x≈0.072＝7.2%.故填7.2%.类型四分段函数模型季节性商品的销售当旺季来临时，价格呈上升趋势，设某商品开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16周后，该商品不再销售

．(1)试建立价格p与周次t之间的函数关系式；(2)若此商品每周进货一次，每件进价Q与周次t之间的关系式为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0，16]，t∈N，试问该商品第几周每件销售利润最大？最大值是多少？解：(1)p＝10＋2t，t

∈[0，5]，t∈N，20，t∈（5，10]，t∈N，40－2t，t∈（10，16]，t∈N.(2)设第t周时每件销售利润为L(t)，则L(t)＝10＋2t＋0.125（t－8）2－12，t∈[0，5]，t∈N，20＋0.125（t－8）2－12，t∈（5，10]，t

∈N，40－2t＋0.125（t－8）2－12，t∈（10，16]，t∈N，＝0.125t2＋6，t∈[0，5]，t∈N，0.125（t－8）2＋8，t∈（5，10]，t∈N，0.125t2－4t＋36，t∈（

10，16]，t∈N.当t∈[0，5]，t∈N时，L(t)max＝L(5)＝9.125；当t∈(5，10]，t∈N时，L(t)max＝L(6)＝L(10)＝8.5；当t∈(10，16]，t∈N时，L(t)单调递减，L(t)max＝L(11)＝7.125.由9.125>8.5>7.125，知L(

t)max＝9.125.从而第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元．点拨：①实际问题的情况往往是复杂的，许多实际问题都要使用分段函数模型求解．②解分段函数模型要注意定义域区间的分界点．③含有参数

的实际应用题要注意分类讨论．(2017·河南省实验中学期中)国庆节期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞

机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅游团人数为x人，由题得0＜x≤75，飞机票价格为y元，则y＝900，0＜x≤30，90

0－10（x－30），30＜x≤75，即y＝900，0＜x≤30，1200－10x，30＜x≤75.(2)设旅行社获利S元，则S＝900x－15000，0＜x≤30，x（1200－10x）

－15000，30＜x≤75，即S＝900x－15000，0＜x≤30，－10（x－60）2＋21000，30＜x≤75.因为S＝900x－15000在区间(0，30]上为单调增函数，故当x＝30时，S取最大值12000元，又S＝－10(x

－60)2＋21000在区间(30，75]上，当x＝60时，取得最大值21000.故每团人数为60人时，旅行社可获得最大利润．1．解函数应用问题的步骤(1)审题：数学应用问题的文字叙述长，数量关系分散且难以把握，因此，要认真读题，缜密审题，准确

理解题意，明确问题的实际背景，收集整理数据信息，这是解答数学问题的基础．(2)建模：在明确了问题的实际背景和收集整理数据信息的基础上进行科学的抽象概括，将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，合理引入自变量，运用已掌握的数

学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式(也叫目标函数)，将实际问题转化为数学问题，即实际问题数学化，建立数学模型．(3)解模：利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型或目标函数)予以解答，求得

结果．(4)还原：将求解数学模型所得的结果还原为实际问题的意义，回答数学应用题提出的问题．以上过程可以用示意图表示为：模拟函数的过程可以用下面框图表示：2．函数模型的选择解题过程中选用哪种函数模型，要根据题目具体要求进行抽象和概括，灵活地

选取和建立数学模型．一般来说：如果实际问题的增长特点为直线上升，则选择直线模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(指数爆炸)，则选择指数型函数模型；若增长的特点是随着自变量的增大，函数值的增大速度越来越慢，则选择对数型函数模型；如果实

际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式表示，则选择分段函数模型等．另外，常见的出租车计费问题、税收问题、商品销售等问题，通常用分段函数模型；面积问题、利润问题、产量问题常选择幂型函数模型，特别是二次函数模型；而对于利率、细胞分裂、物质衰变，则常选择指数型函数模型．1．现有一组数据

如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2tB．v＝log12tC．v＝t2－12D．v＝2t－2解法一：v值随t值增大，且增长速

度越来越快，故应选择指数型函数模型，仅选项C符合．解法二：取t＝1.99≈2(或t＝5.1≈5)，代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B，得v＝log122＝－1≠1.5；代入C，得v＝22－12＝1.5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1.5.其余4组数据同样代入

可知C最合要求．故选C.2．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是()A．3B．4C．5D．6解：设至少要洗x次，则1－34x≤1100，所以14x≤1100，4x≥100，因此至少洗4次．故选B.3．(2018·安阳一模)某类产品按工

艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A．7B．8C．9D．1

0解：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6(k－9)2＋864(1≤k≤10，k∈N)，所以当k＝9时，获得利润最大．故选C.4．某地一天内的气温Q(t)(单位：

℃)与时刻t(单位：h)之间的关系如图所示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差(即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差)，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象是()ABCD解：当0<t<4时，最高温度不变，最低温度减小，所以温差变大，排除C；

当4<t<8时，前面一段温差不变，后面一段最高温度增大，所以温差变大，排除A，B.故选D.5．(2018·福建质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一

时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A．8B．9C．10D．11解：不妨设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为12n，由12

n<11000得n≥10.所以若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.6．(2017·武汉模拟)某段时间内，国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬

的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3000元B．3800元C．3818元D．5600元解：由题意可建立纳税额y(元)关于稿费x(元)的函数解析式为y＝0，x≤800，0.14（x－800），80

0<x≤4000，0.11x，x>4000，显然由0.14(x－800)＝420，可得x＝3800.故选B.7．若某商场将彩电价格由原价2250(元/台)提高40%，然后在广告上写出“大酬宾八折优惠”，则商场每台彩电比原价多卖________元．解：由题意可得每台彩电比原价多卖2250×

(1＋40%)×80%－2250＝270元．故填270.8．已知某品牌商品靠广告产生的收入R与广告费A之间满足关系R＝aA(a为常数)，广告效果为D＝R－A，为了取得最大广告效果，投入的广告费应为________．

(用常数a表示)解：依题意D＝R－A＝aA－A，令t＝A(t≥0)，则A＝t2，所以D＝at－t2＝－t－12a2＋14a2，显然a>0，所以当t＝12a，即A＝14a2时，D取得最大值．故填14a2.9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙

需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热屋，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)

为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x

＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2（6x＋10）·8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5，即x＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f(x)达到

最小值，最小值为70万元．10．(2017·山东实验中学月考)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已

知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)

＝k1x，g(x)＝k2x.由已知得f(1)＝18＝k1，g(1)＝12＝k2，所以f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12x(x≥0)．(2)设投资债券类产品为20－x万元，则投资股票类产品为x万元．依题意得y＝f(20－x)＋g(x)＝20－x8＋12x＝－x＋4x＋

208(0≤x≤20)．所以x＝2，即x＝4时，收益最大，ymax＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．11．(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧

量Q之间的关系为v＝a＋blog3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解

：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog33010＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s，故有a＋blog39010＝1，整理得a＋2b＝1.解方

程组a＋b＝0，a＋2b＝1，得a＝－1，b＝1.(2)由(1)知，v＝－1＋log3Q10.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，即－1＋log3Q10≥2，即log3Q10≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要2

70个单位．(2018·山西模拟)为提倡低碳生活，某旅游区在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租

不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车

的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115>0，解得x>2.3，因为x为整数，所以3≤x≤6.当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－

115>0，有3x2－68x＋115<0，结合x为整数得6<x≤20.故x∈[3，20]，x∈Z，y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，－3x2＋68x－115，6<x≤20，x∈Z.(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，显然当x＝

6时，ymax＝185，对于y＝－3x2＋68x－115＝－3x－3432＋8113(6<x≤20，x∈Z)，当x＝11时，ymax＝270.因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元

时，才能使一日的净收入最多．