【文档说明】人教版数学九下11《锐角三角函数 全章复习与巩固》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）.doc，共(18)页，1.181 MB，由MTyang资料小铺上传

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《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够

正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解

决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△AB

C中，∠C=90°，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的

比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能

写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1.函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA

是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三

角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A30°45°60°sinAcosAta

nA130°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知

元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边

)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化

归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3

)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角

：(3)仰角与俯角：要点诠释：1．解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如

∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常

识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三

角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：∵∴∵∴∵∴【典型例题】类型一、锐角三角函数1．（2016•广东）如图，在平面直角坐标系中，点

A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D．【思路点拨】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．【答案】D．【解析】解：由勾股定理得OA==5，所以cosα=．故选D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念

并准确识图求出OA的长度是解题的关键．举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固高清ID号：395953关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】【变式】已知，如图，D是ABC中BC边的中点，90BAD

，2tan3B，求sinDAC．ABCD【答案】过D作DE∥AB交AC于E，则∠ADE=∠BAD=90°，由2tan3B，得2,3ADAB设AD=2k,AB=3k,∵D是ABC中BC边的中点，∴DE=3,2k在Rt△ADE中，5,2AEk

332sin.552kDEDACAEk类型二、特殊角三角函数值的计算2．先化简，再求代数式231122xxx的值，其中4sin452cos60x°°．【答案与解析】原式1212(1)(1)1xxxxxx

．而214sin452cos604222122x°°．∴原式＝12422．【点评】先进行分式化简，再由21sin45,cos6022°°得x的值，最后代值求出结果．举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固高清ID号：

395953关联的位置名称（播放点名称）：计算】【变式】计算：tan230°＋cos230°－sin245°tan45°【答案】原式=222332()+()()1322=131+342=712类型三、解直角三角形3．如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，

DE⊥AB，垂足为E，3sin5A，则下列结论正确的个（）．①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝210cm．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C；【解析】由菱形的周长为20cm知菱形

边长是5cm．在Rt△ADE中，∵AD＝5cm，sinA＝35，∴DE＝AD·sinA＝3535(cm)．∴224AEADDE(cm)．∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)．菱形的面积为AB·DE＝5×3＝15(cm2)．在Rt△DEB中，22223110BDDEBE

(cm)．综上所述①②③正确．故选C．【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用.类型四、锐角三角函数与相关知识的综合4．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED

＝45°．(1)试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．(2)若⊙O的半径为3cm，，AE＝5cm．求∠ADE的正弦值．【思路点拨】(1)连接OD，可证OD⊥CD，所以CD与⊙O相切；(2)连接BE，则∠ADE＝∠ABE，所以sin∠ADE＝sin∠AB

E＝AEAB．【答案与解析】(1)CD与⊙O相切．理由：如图所示，连接OD，则∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠CDO＝∠AOD＝90°，∴OD⊥CD，∴CD与⊙O相切．(2)如图所示，连接BE，则∠ADE＝∠AB

E．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6(cm)．在Rt△ABE中，5sin6AEABEAB．∴sin∠ADE＝sin∠ABE56AEAB．【点评】证明某直线是圆的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线

垂直．第(2)题通过作辅助线BE，将问题巧妙转化为Rt△ABE的边角关系．在圆的有关证明中若有直径，一般要利用“直径所对的圆周角等于90°”这一性质构造直角三角形．举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习

与巩固高清ID号：395953关联的位置名称（播放点名称）：例6-例8】【变式】如图，C、D是半圆O上两点，511CDAB，求cosCEB和tanCEB．ABCDEO【答案】如图，连结BC，则∠ACB=90°，易证△EC

D∽△EBA，∴CECD5==EBAB11，cos∠CEB=5.11CE=EBtan∠CEB=46.5BC=CE类型五、三角函数与实际问题5．如图所示，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南

方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号)．【思路点拨】由题意知△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C．

【答案与解析】过点P作PC⊥AB垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，在Rt△APC中，cosPCAPCPA．∴PC＝PA·cos∠APC＝403，在Rt△PCB中，cosPCBPCPB，∴403406coscos45PCPBBP

C°∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是406海里．【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过75°(或105°)角的顶点向对边作垂线是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•南通）如图，一海伦位于灯塔P的西南方向

，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．【答案与解析】解：过P作PC⊥AB于点C，在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°，sin∠APC=，

cos∠APC=，∴AC=AP•sin45°=40×=40（海里），PC=AP•cos45°=40×=40（海里），在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，∴BC=PC•tan60°=40（海里），则AB=AC+BC=（40+40）海里．6．（2015•安徽模拟）如图，某滑

板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到0.01）（2）若斜

坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（参考数据：）【答案与解析】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AC=AB•sin45°=（m

），在Rt△ADC中AD==5（m），CD==（m），∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后的斜坡会加长2.07m；（2）这样改造能行．∵CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59，∴这样改造能行．【点评】当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此

类题的一般思路．《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）A．B．4C．8D．42．（2015•抚顺县四模）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（）

A．60°B．90°C．120°D．150°3．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45，BC＝10，则AB的值是()．A．3B．6C．8D．9第1题图第3题图第4题图4．

如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，3cos5A，tan∠DBE的值是()．A.12B.2C.52D.555．如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于()．A．34

B．43C．35D．45第5题图第7题图6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，3sin2B，则cosA的值为（）．A．12B．22C．32D．337．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为()．A．5

cosα米B．5cos米C．5sin米D．5sin米8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（）．A．30°B．50°C．60°或120°D．30°或150°二、填空题9．计算：101|23tan45|(

21.41)3°________．10．如图所示，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，4cos5B，则AC＝________．11．如图所示，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到ABC△，使点B与C重合，连接AB

，则tan∠ABC的值为________．第10题图第11题图第12题图12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3米，3cos4BAC，则梯子长AB＝_______米．13.如图所示，已知正方

形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D处，那么tan∠BAD′等于________．第13题图第15题图14．一次函数经过(tan45°，tan60°)和(-cos60°，-6tan30°)，则此一次

函数的解析式为________．15．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，AC＝6，CD＝5，则sinA等于________．16．（2016•自贡）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B

、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值=，tan∠APD的值=．三、解答题17.（2015•沛县二模）如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5米，斜坡AC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定

降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m的人行道，问离原坡脚A处7m的建筑物M是否需要拆除，请说明理由．（≈1.73）18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的

中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB＝3，ME＝2，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转

角∠ECG的度数．20.如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB＝3:2，求⊙

O的半径及DF的长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故选：D．2．【答案】A；【解析】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，依题意得CD：AD=

1：=：3，而tan∠DAC=CD：AD，∴tan∠DAC=：3，∴∠DAC=30°，∴顶角∠BAC=60°．3.【答案】B；【解析】因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，又∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，所以∠D

CA＝∠ACB．在Rt△ACB中，AC＝BC·cos∠BCA＝41085，则226ABBCAC．4.【答案】B；【解析】∵DE⊥AB，∴在Rt△ADE中，cosA＝35．∴设AD＝5k，则AE＝3k，DE＝4k，又AD＝AB，∴BE＝2k，∴tan∠D

BE＝422DEkBEk．5.【答案】B；【解析】如图所示，连结BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4，又BC＝5，CD＝3，∴CD2+BD2＝BC2．∴△BDC是直角三角形．且∠BDC＝90°，∴4tan3B

DCCD．6.【答案】C；【解析】∵3sin2B，∴∠B＝60°，∠A＝90°－60°＝30°，∴3cos2A．7．【答案】B；【解析】由上图知ABC，在Rt△ABC中，cosBCAB．∴5cosAB．8．【答案】D；【解析】有两种情况：当∠A为锐角时，如

图(1)，sinA＝12，∠A＝30°；当∠A为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC＝30°，∠BAC＝150°．二、填空题9．【答案】23；【解析】原式＝3|23|142323．10．【答案】5；【解

析】在Rt△ABC中，．AD⊥BC，所以∠CAD＝∠B．∴coscosADCADBAC，∴45ADAC，又∵AD＝4，∴AC＝5．．11．【答案】13；【解析】过A作ADBC于点D，在Rt△AB

D中，设ADx，则BDx，BC=2x,BD=3x.12．【答案】4；【解析】由3cos4ACBACAB，知334AB，AB＝4米．13．【答案】2；【解析】由题意知22BDBD．在Rt△ABD′中，22tan22BDBADAB．14

．【答案】233yx；【解析】tan45°＝1,tan60°＝3，-cos60°＝12，-6tan30°＝23．设y＝kx+b经过点(1,3)、1,232，则用待定系数法可求出23k，3b．15．【答案】4

5；【解析】∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AB＝2CD＝2×5＝10，BC＝22221068ABAC，∴84sin105BCAAB．16.【答案】3，2．【解析】解：∵四边形BCED是正方形，∴DB∥

AC，∴△DBP∽△CAP，∴==3，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP=BD：AC=1：3，∴DP：DF=1：2，∴DP=PF

=CF=BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2，三、解答题17.【答案与解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=5，∵i=1：1，∴AB=5，在Rt△DBC中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5，tan30°=，∴=，解得D

B==5×1.73≈8.65，∵BM=7+5=12，BD≈8.65，∴12﹣8.65＞3，所以，离原坡脚7m的建筑物无需拆除．18.【答案与解析】(1)如图所示，作AE⊥BC于E，则BE＝AB·cosB＝8cos60°＝1842

．AE＝AB·sinB＝8sin60°＝38432．∴EC＝BC－BE＝12—4＝8．∴在Rt△ACE中，tan∠ACB＝43382AEEC(2)作DF⊥BC于F，则AE∥DF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是矩形．AD＝EF．∵AB

＝DC，∴∠B＝∠DCF．又∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE△≌△DCF(AAS)．∴FC＝BE＝4，∴EF＝BC－BE—FC＝4．∴AD＝4．∴MN＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【答案与解析】(1)证明：∵BE＝FC，∴BC＝EF．又∵∠ABC＝

∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF．∴AB＝DE．(2)解：∵∠DEF＝∠B＝45°，∴DE∥AB．∴∠CME＝∠A＝90°．∴AC＝AB＝3，MC＝ME＝2．∴CG＝CE＝2．在Rt△CAG中，3cos2AC

ACGCG，∴∠ACG＝30°．∴∠ECG＝∠ACB－∠ACB＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】(1)连接OD，∵直线CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE＝90°．又∵DF⊥AB，∴∠DEO＝

∠DEC＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°．∴∠CDE＝∠EOD．又∵∠EOD＝2∠B；∴∠CDE＝2∠B．(2)连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵BD:AB＝3:2，∴在Rt△ADB中，3cos2B

DBAB，∴∠B＝30°，∵∠AOD＝2∠B＝60°．又∵∠CDO＝90°，∴∠C＝30°，∵在Rt△CDO中，CD＝10，∴OD＝10tan30°＝1033．即⊙O的半径为1033．在Rt△CDE中，CD＝10，∠C＝30°，∴DE

＝CDsin30°＝5．∵弦DF⊥直径AB于点E，∴DE＝EF＝12DF，∴DF＝2DE＝10．