【文档说明】人教版数学九下09《锐角三角函数》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）.doc，共(15)页，958.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“

锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A

的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinAaAc的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosAbAc的邻边斜

边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanAaAAb的对边的邻边.同理sinBbBc的对边斜边；cosBaBc的邻边斜边；tanBbBBa的对边的邻边．要点诠

释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠

A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角

不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：ABCabc锐角30°45°160°要点诠释：(1)通过该表可

以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正

切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关

系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边

长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：

D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（2）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c=，sinA=，cosA=，s

inB=，cosB=．【答案】c=5，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算ABCabc2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟

）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==122．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322．【总结升华】熟记特殊角的三角函数

值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例1（3）-（4）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°

，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟

）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴t

anA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=

．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相

交于点P，若弦CD＝6，试求cos∠APC的值．【答案与解析】连结AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACP＝90°，又∵∠B＝∠D，∠PAB＝∠PCD，∴△PCD∽△PAB，∴PCCDPAAB．又∵CD＝6，AB＝10，∴在Rt△PAC中，63cos105PCCDAPCPAAB

．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，cosPCAPCPA，PC、PA均为未知，

而已知CD＝6，AB＝10，可考虑利用△PCD∽△PAB得PCCDPAAB．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类

似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadABCAB底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯

一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA＝35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．【答案与解析】(1)1；(2)0＜sadA＜2

；(3)如图2所示，延长AC到D，使AD＝AB，连接BD．设AD＝AB＝5a，由3sin5BCAAB得BC＝3a，∴22(5)(3)4ACaaa，∴CD＝5a-4a＝a，22(3)10BDaaa，∴10sadA5BDAD．【总结升华】(1)将60

°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sad

A＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．锐角三角函数—巩固练习【巩固练习】一、选择题1.（2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）

A．B．C．D．2.（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．3.已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝()A．2

5°B．55°C．65°D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为()A．12B．34C．32D．45第4题第5题5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是

()A．5714B．35C．217D．21146．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值()A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C

＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为()A．303cmB．203cmC．103cmD．53cm第7题第8题8.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD的值为()A

．53B．253C．52D．23二、填空题9．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．10.用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20°(2

)tan18°________tan21°11．在△ABC中，若223sincos022AB，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为.12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．13．已知：正方形

ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．第12题第15题14．如果方程2430xx的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．15．如图所示，△ABC的内心在y

轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为112yx，则tanA的值是________．16.（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．三、解答题17．如图

所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．18.计算下列各式的值．(1)（2015•普陀区一模）；(2)（2015•常州模拟）sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3)（2015•奉贤区一模）﹣cos

60°．19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20.如图所示，已知⊙O的半径为

2，弦BC的长为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．(参考数据：3sin602°，3cos302°，3tan30)3°．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.【解析】在Rt

△ABC中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD⊥BC，∴sinB=，sinB=sin∠DAC=，综上，只有C不正确故选：C．2.【答案】D；【解析】如图：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．3.【答案】C；【解析】由互余角的三角函

数关系，cossin(90)°，∴sin25°-sin(90°-α)，即90°-α＝25°，∴α＝65°．4.【答案】C；【解析】设⊙A交x轴于另一点D，连接CD，根据已知可以得到OC＝5，CD＝10，∴2210553OD，∵∠OBC＝∠ODC，∴533cosOBcos10

2ODCODCCD．5.【答案】D；【解析】如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝60°，又∵AC＝2，∴AD＝1，CD＝3，∴BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，222827BCBDCD，∴321sin1427CDBBC

．6.【答案】D；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7.【答案】C；【解析】由3tan3BCBACAC，∴333010333BCAC

8.【答案】A；【解析】∵223ABACBC，∴5sinsin3ACACDBAB二、填空题9.【答案】．【解析】过点A作AB⊥x轴于B，∵点A（3，t）在第一象限，∴AB=t，OB=3，又∵tanα===，∴t=．故答案为：．

10.【答案】(1)＜；(2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴tan18°＜tan21°．11．【答案】

105°；【解析】∵223sincos022AB，∴2sin02A，3cos02B即2sin2A，3cos2B．又∵∠A、∠B均为锐角，∴∠A＝45°，∠B＝30°，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°

，∴∠C＝105°．12．【答案】55；【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C点向AB所在直线作垂线CH．垂足为H，则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得224225AC，∴25sin525CHAAC

．13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P是直线CD上一点，所以点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上，当P在边CD上时，tan2BCBPCPC；当P在CD延长线上时，2tan

3BCBPCPC．14．【答案】13或24；【解析】由2430xx得11x，23x，①当3为直角边时，最小角A的正切值为1tan3A；②当3为斜边时，另一直角边为223122，∴最小角

A的正切值为12tan422A.故应填13或24．15．【答案】13；【解析】由△ABC的内心在y轴上可知OB是∠ABC的角平分线，则∠OBA＝45°，易求AB与x轴的交点为(-2，0)，所以直线AB的解析式

为：2yx，联立2112yxyx可求A点的坐标为(-6，-4)，∴2262ABADBD，又OC＝OB＝2，∴BC＝22．在Rt△ABC中，221tan362BCAAB．16.【答案】；【解析】∵0

＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得.三、解答题17.【答案与解析】过D作DE∥AC，交BC于点E．∵AD＝BD，∴CE＝EB，∴AC＝2DE．又∵DC⊥AC，DE∥AC，∴DC⊥DE，即∠CDE＝90°．又∵∠BC

D＝30°，∴EC＝2DE，DC＝3DE．设DE＝k，则CD＝3k，AC＝2k．在Rt△ACD中，227ADACCDk．∴227sin77ACkCDAADk，321cos77CDkCDAADk．223tan33ACk

CDACDk．18.【答案与解析】解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3．(2)原式=×+1﹣2×=1+1﹣1=1．(3)原式=﹣×=﹣=2314．19.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC∴∠DAF＝∠AEB又∵AE＝BC，∴AE＝AD又∵∠B=

∠DFA＝90°，∴△EAB≌△ADF．∴AB＝DF．(2)解：在Rt△ABE中，22221068BEAEAB∵△EAB≌△ADF，∴DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，∴EF＝AE-AF＝10-8＝2．∴21tan63E

FEDFDF．20.【答案与解析】(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．∵BD是直径，∴BD＝4，∠DCB＝90°．在Rt△DBC中，233sin42BCBDCBD，∴∠BDC＝60°，∴∠BA

C＝∠BDC＝60°．(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中

点．连结AB，AC，则AB＝AC，∠BAE12∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵BE3，∠BAE＝30°，∴33tan3033BEAE°，∴1233332ABCS△．答：△ABC面积的最大值是33．