【文档说明】人教版数学九下08《相似 全章复习与巩固》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）.doc，共(15)页，435.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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《相似》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定

方法解决生活中的一些实际问题；3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思

维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures)

.要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的

比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四

条线段是成比例线段，简称比例线段．要点诠释：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）（2）若a:b=b:c，则2b=ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的

直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三

角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定

两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重

要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3)相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应

边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点三、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一

条直线上；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化

规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、相似图形及比例线段1.（2016•崇明县一模）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F

，，AC=14；（1）求AB、BC的长；（2）如果AD=7，CF=14，求BE的长．【思路点拨】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC的长；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=7，由平行线分

线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．【答案与解析】解：（1）∵AD∥BE∥CF，∴，∴，∵AC=14，∴AB=4，∴BC=14﹣4=10；（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥C

F，AD=7，∴AD=HE=GF=7，∵CF=14，∴CG=14﹣7=7，∵BE∥CF，∴，∴BH=2，∴BE=2+7=9．【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．

举一反三【变式】（2015•眉山）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．8【答案】C.类型二、相似三角形2.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和

△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)∠ABC=________，BC=________；(2)判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.【答案与解析】(1)135°，(2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).因为，，所以.又因为

∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关角的度数和边的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三

角形相似．举一反三：【变式】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）.A．B．C．D．【答案】B.【高清课堂:相似专题复习ID号：394502关联的位置名称（播放点名称）：“

一线三等角”问题及例5】3.在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．【答案与解析】∵BP=3PC，Q是CD的中点，∴12CPCQDQAD，又∵∠ADQ=∠QCP=90°，∴△ADQ∽△QCP.【总结升华】本题考查了相似三角形对应角相等的性质

，以及相似三角形的判定.4.如图所示，在△ABC和△DBE中，若.(1)△ABC与△DBE的周长差为10cm，求△ABC的周长；(2)△ABC与△DBE的面积之和为170cm2，求△DBE的面积．【答案与解析】(1)∵，∴△ABC∽△DBE.∴，设△ABC的周长为5kcm，△DBE的

周长为3kcm，∴，，，∴△ABC的周长为.(2)∵△ABC∽△DBE，∴.设，.∴，解得k=5，∴.【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．举一反三【变式】如图，在平

行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=（）A．2：5：25B．4：9：25C．2：3：5D．4：10：25【答案】D.5.如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6

，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上(点E与点A，D不重合)，且∠BEF=120°，设，.(1)求y与x的函数解析式；(2)当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【答案与解析】(1)在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=

60°，所以∠A=∠D=120°，所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，所以∠ABE=∠DEF.所以△ABE∽△DEF，所以.因为，，所以，所以y与

x的函数解析式是.(2)，所以当时，y有最大值，最大值为.【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最值问题.举一反三【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从

点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为

多少?【答案】(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以.又因为AB=8，AC=6，，，所以，即，自变量x的取值范围为.(2).所以当时，S有最大值，且最大值为6.类型三、位似6.将下图中的△ABC作下列变

换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．(1)沿y轴负方向平移1个单位；(2)关于x轴对称；(3)以C点为位似中心，放大到1.5倍．【答案与解析】变换后的图形如下图所示．(1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，A1(-5，

-1)，B1(0，2)，C1(0，-1)．即横坐标不变，纵坐标减小．(2)将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2(-5，0)，B2(0，-3)，C2(0，0)．即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．(3)将△ABC以C点为位似中心，放大到1

.5倍得△A3B3C3(有2个三角形)，显然，A3(-5×1.5，0)，B3(0，3×1.5)，C3(0，0)，即A3(-7.5，0)，B3(0，4.5)，C3(0，0),或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.【总结升华】本题应先按图形

变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，第(3)问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．《相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2015•乐山）如

图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（）A．B．C．D．2.（2016•奉贤区一模）用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（）A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边A

B是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是()4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A

′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）A．B．C．D．5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1：2；④两个相似多边形

的面积比为4：9，则周长的比为16：81中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是()A．∠APB=∠EPCB．∠APE=90

°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：37.如图，在△ABC中，EF∥BC，12AEEB,，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）A．9B．10C．12D．138.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则

下列结论正确的是（）A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL二、填空题9.（2016•衡阳）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，则△ABC与△DEF的周长之比为．10.如图，在△ABC中，D、

E分别是AB和AC中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG与△BFD的面积之比为________.11.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB

=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12.在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.（2015•金华）如图，直线

l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝________

_____.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_________.第14题第15题16.－油桶高0.8m，桶内有油，一根木棒长1m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部

分长0.8m，则桶内油面的高度为.三、解答题17.如图，等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线上有点E、F，且∠E+∠F=45°，AE=3，设AB=x，BF=y，求y关于x的函数解析式.18.（2015•岳阳）如图，正方形AB

CD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．19.如图，圆中两弦AB、CD相交于

M，且AC=CM=MD，MB=AM=1，求此圆的直径的长.20.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时

出发，用t秒表示移动的时间(0≤t≤6)那么:(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3)当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC

相似？【答案与解析】一．选择题1．【答案】D.【解析】∵l1∥l2∥l3，，∴===，故选：D．2.【答案】A.【解析】∵放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，则A错误，符合题意．3．【答案

】A【解析】考点：相似三角形的判定.4．【答案】D.5．【答案】B.【解析】提示：①③.6．【答案】C.7.【答案】A.【解析】求出AEAB的值，推出△AEF∽△ABC，得出19AEFABCSS△△，把S四边形BCFE=8代入求出即可．8.【答案】B.【解析】根据相似

多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．二．填空题9.【答案】5：4．【解析】∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25：16，∴△ABC与△DEF的相似比为5：4；∴△ABC与△DEF的周长之比为5：4．10

．【答案】2，1:4，1:6.11．【答案】1:3.【解析】∵S△AOD:S△COB=1:9，，∵△AOD与△DOC等高，∴S△AOD:S△DOC=1:3，∴S△DOC:S△BOC=1:3.12．【答案】30m.13．【答案】5.【解析】∵l3∥l6

，∴BC∥EF，∴△ABC∽△AEF，∴=，∵BC=2，∴EF=5．14．【答案】68°，1:2.【解析】首先，想到定理的含义，再结合图形分析（或进行比例变形）就可直接求出结果.15.【答案】10.【解析】∵∠A

BC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴AEDEABCB，DE=10.16.【答案】0.64m.【解析】将实际问题转化为几何问题是解题的关键，即由题意可得Rt△ABC，其中AB=1m，AC=0.8m，B

D=0.8m，DE//BC，将问题转化为求CE的长，由平行线分线段成比例定理计算即得.三.解答题17．【解析】解：△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=∠CBA=45°，∠E+∠F=45°，∠E+∠ECA=∠CAB=45°，∠F+∠BCF=∠C

BA=45°，所以∠ECA=∠F，∠E=∠BCF，所以△ECA∽△CFB，，3y=CA2=x2，即y=x2.18.【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EF

A；（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．19．【解析】连结BD，由∠CAM=∠BDM，∠AMC=∠DMB，△ACM

∽△DBM，，又DM=CM，CM2=AM·BM=2，CM=DM=，AC=.又AC2+CM2=AM2，所以∠ACD=90°，所以圆的直径为AD==.20.【解析】(1)对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，当QA=AP时，△QAP•是等腰直角三角形，即6-t=2

t，t=2秒.(2)四边形QAPC的面积=S△QAC+S△APC=(36-6t)+6t=36cm2，在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变(或P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变)(3)分两种情况:①当时△QAP∽△ABC，则，从而t=1.2，②

当时△PAQ∽△ABC，则，从而t=3.