【文档说明】人教版数学九下07《相似多边形及位似》知识讲解+巩固练习(基础版)（含答案）.doc，共(14)页，510.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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相似多边形及位似--知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边

形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都

相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图

形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似

图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽

然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要

点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割【高清课程名称：位似和黄金分割高清ID号：394501关联的位置名称（播放点名称）：黄金分割及总结】定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度

之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAPPB（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x，则BP=x1∵ABAPAPPB

∴11xxx∴xx12∴618.0215x(舍负)2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】类型一、相似多边形1.如图，矩形草坪长20m，宽16

m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.542016221616EFAB，652420222020EHAD而6554，∴EHAD

EFAB∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】（2015•梧州一模）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为

EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A.2：1B.：1C.3：D.3：2【答案】B.提示:∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF=AB=a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴=，即=，∴（）2=2，∴=．故选B．ABCDEFGH

2.（2014•甘肃模拟）如图，在长8cm，宽4cm的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（）．A.2cm2B.4cm2C.8cm2D.16cm2【答案】C.【解析】设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与原矩形相似，∴，∴x=2，∴留下的矩形的面积为：

2×4=8（cm2）故答案为：8．故选C．【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．类型二、位似3.利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.【答案与

解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:

OA＝OB′:OB＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：A′B′AB＝B′C′BC＝C′D′CD＝D′E′DE＝A′E′AE＝1.5.则五边形A′B′C′D′E′为所求.另外一种情况，所画

五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.ABCDEA1B1C1D1E1ABCDE4.如图，矩形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（6，4），C

（0，4）.画出以点O为位似中心，矩形OABC的位似图形OA′B′C′，使它的面积等于矩形OABC面积的41，并分别写出A′、B′、C′三点的坐标.【答案与解析】因为矩形OA′B′C′与矩形OABC是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2.连接OB，（1）分别取线

段OA、OB、OC的中点A′、B′、C′，连接OA′、A′B′、B′C′、C′O，矩形OA′B′C′就是所求的图形.A′，B′，C′三点的坐标分别为A′（3，0），B′（3，2），C′（0，2）.（2）

分别在线段OA，OB，OC的反向延长线上截取OA″、OB″、OC″，使OA″=21OA，OB″=21OB，OC″=21OC，连接A″B″、B″C″，则矩形OA″B″C″为所求.A″、B″、C″三点的坐标分别为A″（-3，0），B″（-3，-2），C″（0，-2）.【总结升华】平面直角坐标

系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.举一反三【高清课程名称：位似和黄金分割高清ID号：394501关联的位置名称（播放点名称）：位似作图及例4】【变式】在已知三角形内求作内接正方形．

【答案】作法：（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC于F；（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别

作BC的垂线FE，GD；∴四边形DEFG即为所求．类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】宽与长的比是512的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形AB

CD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．即矩形DCEF为黄金矩形．证明：在正方形ABCD中，取2ABa，EDGF

F'E'D'ABCG'∵N为BC的中点，∴12NCBCa．在RtDNC△中，2222(2)5NDNCCDaaa．又∵NEND，∴(51)CENENCa．∴515122CEaCDa（）．故矩形DCEF为黄

金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0

.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm【答案】D.∵该女士身高165cm，下半身长与身高的比值是0.60，∴此女士下半身长是165×0.60=99cm，设需要穿的高跟鞋是xcm，根据黄金分割的定义得：99+=1

65+xx0.618，解得：x≈8．故选D．相似多边形及位似--巩固练习【巩固练习】一.选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似

；其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.ABCDEFMNB.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（）A.分别在AB

C的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（

）A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5.（2015•杭州模拟）如图，四边形ABCD∽四边

形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A.10B.12C.D.6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）A.AB：AC=AC：BCB.AC=512ABC.AB=512ACD.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD

中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A.512B.512C.3D.2二.填空题8.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形

周长为30cm，则较大图形周长为______.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.10．如图，以点O为位似中心，

将五边形ABCDE放大后得到五边形ABCDE，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形ABCDE的周长的比值是__________．11.△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的

图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12.（2015春•庆阳校级月考）图中的两个四边形相似，则x+y=，α=．13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星

形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去„，则正

六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.14.如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则

BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？1

6.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，A

G=，求GD的长．17.如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在

最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误

．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.5．【答案】C．【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∴=，∵AB=12，CD=15，A1B1=9，∴C1D1==．6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长

的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=512AB,AB=512ACAC≈0.618AB．故选D．7.【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴

EFADFDAB，111xx，解得11+5=2x,21-5=2x,（负值舍去），经检验11+5=2x是原方程的解．故选B．二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2个；全等.10.【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′

=20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．故答案为：1：2．11.【答案】；【解析】由BC∥DE可得△

ADE∽△ABC，所以，故.12.【答案】63，85°.【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，∴18：4=x：8=y：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．∴a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．故答案为63，85°．13.【答案】1256.【

解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1

D1C1E1的面积为14，同理可得，第三个六角形的面积为：314=164，第四个六角形的面积为：1111=1644256，故答案为：1256.14.【答案】25-2；【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=

∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD，∵D点是AC的黄金分割点，∴BC=AD=4×5-12=25-2.三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.

又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=

∠B所以DE∥BC.16.【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD交AC

于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．17.【答案与解析】（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，∴S矩形

ODEF=116S矩形ABCO=116×4×43=3；（2）存在．∵OE=所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，设点O到AC的距离为h，AC=22224438ABBC∴8h=4×43，解得h=23，∴当点E到AC的距离为23+2时，△ACE的面积有最大值

，当点E到AC的距离为23-2时，△ACE的面积有最小值，S最大=182328382S最小=182328382