【文档说明】人教版八年级数学上册25《分式方程的解法及应用》知识讲解+巩固练习(提高版)（含答案）.doc，共(9)页，367.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2.会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】

要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式

方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能

产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方

程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根

叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同

解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种

检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系

；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.【典型例题】类型一、判别分式方程1、（2016春•闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（）A．21xxB．112231xxxC．22

112xxxxD．21212xxx【答案】B．【解析】解：A、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；B、该方程属于无理方程，故本选项正确；C、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；D、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；故

选B．【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．类型二、解复杂分式方程的技巧2、解方程：1310414351xxxx．【答案与解析】解：方程的左右两边分别通分，得3131(4)(3)(5)(1)xxxxxx，∴313

10(4)(3)(5)(1)xxxxxx，∴11(31)0(4)(3)(5)(1)xxxxx，∴310x，或110(4)(3)(5)(1)xxxx，由310x，解得13x，由110(4)(3)(5)(1)xx

xx，解得7x．经检验：13x，7x是原方程的根.【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(4)(3)(5)(1)xxxx，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式

的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解．举一反三：【变式】解方程11114756xxxx．【答案】解：移项得11114567xxxx，两边同时通分得(5)(4)(7)(6)(4)(5)(6)(7)xxxxxxxx，即

11(4)(5)(6)(7)xxxx，因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．所以(4)(5)(6)(7)xxxx，229201342xxxx，2292013420xxxx

，4220x，∴112x．检验：当112x时，(4)(5)(6)(7)0xxxx．∴112x是原方程的根．类型三、分式方程的增根【高清课堂分式方程的解法及应用例3】3、（1）若分式方程223242mxxxx有增根，求m值；（2）若分式方程2

221151kkxxxxx有增根1x，求k的值．【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则(2)(2)0xx，即2x或2x，然后把2x代入由分式方程转化得的整式方程求出m的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把1x代

入解出k的值.【答案与解析】解：（1）方程两边同乘(2)(2)xx，得2(2)3(2)xmxx．∴(1)10mx．∴101xm．由题意知增根为2x或2x，∴1021m或1021m．∴4m

或6m．（2）方程两边同乘(1)(1)xxx，得(1)(1)(5)(1)kxxkx．∴34xk．∴43kx．∵增根为1x，∴413k．∴1k．【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增

根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．举一反三：【变式】（2015•泰州校级一模）是否存在实数x，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．【答案】解：根据题意得：﹣=1+，去分

母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4+4x+8，移项合并得：8x=﹣16，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，分式方程无解，所以不存在这样的实数x，使得代数式﹣与代数式1+的值相等．类型四、分式方程的应用【高清课堂分式方程的解法及应用例3】4、某市在道路改

造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成

该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（2）由工期不超过10天列出不等式组求出范围.【答案与解析】解：

(1)设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设20x米．根据题意，得35025020xx．解得70x．经检验，70x是原分式方程的解且符合题意．故甲、乙两工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队100

0y米．由题意，得10,70100010,50yy解得500≤y≤700．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米．方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米．方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工

程队300米．所以分配方案有3种．【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力.举一反三：【变式】一慢车和一快车同时从A地到B地，A，B两地相距276公里，慢车的速度是快车速度的三分之二，结果快车比慢车早到达2小时，求快车，慢车的速度.【答案】解：设快车速度为x

/kmh，则慢车速度为23x/kmh依题意，得276276223xx，去分母，得276×2＝276×3－4x，所以69x，经检验知69x是原方程的解，所以2463x，答：慢车、快车的速度分别为46/kmh、69/kmh．

【巩固练习】一.选择题1．下列关于x的方程中，是分式方程的是（）A．35435xxB．abbxbaaxC．2(1)11xxD．xnxnmn2．若分式方程2()8(1)5xaax的解为,51x则a等于（）A．65B．5C．65D．－53.（2016•潍坊）

若关于x的方程3333xmmxx的解为正数，则m的取值范围是（）A．92mB．92m且32mC．94mD．94m且34m4．若关于x的方程0111xxxm有增根，则m的值是（）A．3B．2C．1D．－15．将公式21111RRR（12RRR，，均不为

零，且2RR）变形成求1R的式子，正确的是（）A．212RRRRRB．212RRRRRC．1212RRRRRRD．212RRRRR6．若关于x的方程323xmxx有正数解，则()．A.m＞0且m≠3B.m＜6且m≠3C.m＜0

D.m＞6二.填空题7．当m＝______时，方程213mx的解为1．8．（2016春•宜宾期末）已知分式方程5133xmxx有增根，则m的值为．9．关于x的方程324bxa的解为______．10．一艘轮船在静

水中的最大航速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为v千米/时，则它以最大航速顺流航行s千米所需的时间是______．11．某人上山，下山的路程都是s，上山速度1v，下山速度2v，则这个人上山和下山的平均速度是______．12．若一个分数的分子、分母同时加1，得12

；若分子、分母同时减2，则得13，这个分数是______．三.解答题13.已知关于x的方程233xmxx有一个正数解，求m的取值范围．14.甲工人工作效率是乙工人工作效率的212倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时完工，问他们每

人每小时各加工多少个零件?15.（2015•沈阳）高速铁路列车已成为中国人出行的重要交通工具，其平均速度是普通铁路列车平均速度的3倍，同样行驶690km，高速铁路列车比普通铁路列车少运行了4.6h，求高速铁路列车的平均速度．【答案与解析】一.选择

题1.【答案】C；【解析】分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.2.【答案】B；【解析】原式化简为101088xaaxa，将15x代入解得5a.3.【答案】B；【解析】解：去分母

得：x+m﹣3m=3x﹣9，解得：292mx∵方程的解为正数，∴﹣2m+9＞0，即：92m，当x=3时，2932mx，解得：32m，故m的取值范围是：92m且32m．4.【答案】B【解析】将1x代入10mx，解得2m.5.【答案】A；【解析】212211

1RRRRRRR，所以212RRRRR.6.【答案】B【解析】原方程化简为23xxm，6xm，03xx且，解得m＜6且m≠3.二.填空题7.【答案】12；【解析】将1x代入213mx，解得12m.8.【答案】-0.6；【

解析】解：去分母得：x+x﹣3=﹣5m，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：3+3﹣3=﹣5m，解得：m=﹣0.6，，9.【答案】264abx；【解析】原方程化简为264abx，所以264a

bx.10.【答案】20sv；11.【答案】12122vvvv；【解析】由题意上山和下山的平均速度为：12121222vvsssvvvv.12.【答案】511；【解析】设这个分数为ab，1112ab，2123ab，解之得：511ab

，，所以这个分数是511.三.解答题13.【解析】解：方程两边同乘(3)x约去分母，得2(3)xxm．整理，得6xm．∵0,30,xx∴60,630.mm解得6m且3m，∴当6m且3m时，原方程有

一个正数解．14.【解析】解：设乙工人每小时加工x个零件，甲工人每小时加工52x个零件，由题意，得：150015001852xx整理得，55150015001822x，解得50x.经检验，是50x原方程的根.51252x.

答：甲工人每小时加工125个零件，乙工人每小时加工50个零件.15【解析】解：设高速铁路列车的平均速度为xkm/h，根据题意，得：，去分母，得：690×3=690+4.6x，解这个方程，得：x=300，经检验，x=300是原分式方程的解，答：高速铁

路列车的平均速度为300km/h．