【文档说明】人教版八年级数学上册20《整式的乘除与因式分解》知识讲解+巩固练习(提高版)（含答案）.doc，共(11)页，497.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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整式的乘除与因式分解全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平

方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的

基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂整式的乘除与因式分解单元复习知识要点】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(mn，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘

方：(mn，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(n为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a≠0,mn，为正整数，并且mn).同底数幂相除，底数不变，指数

相减.5.零指数幂：010.aa即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们

的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mcmbmacbam)((cbam,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与

多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即abmnamanbmbn.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“

＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：2xaxbxabxab.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母

，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()ambmcmmammbmmcmmabc要点三、乘法公式

1.平方差公式：22()()ababab两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，ab，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减

去“相反项”的平方.2.完全平方公式：2222abaabb；2222)(bababa两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方

和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项

法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算1、

已知25mx，求6155mx的值．【思路点拨】由于已知2mx的值，所以逆用幂的乘方把6mx变为23()mx，再代入计算．【答案与解析】解：∵25mx，∴62331115()55520555mmxx．【总结升华】本题培养了学生的整体思

想和逆向思维能力．举一反三：【高清课堂整式的乘除与因式分解单元复习例1】【变式】（1）已知246122,9,5abc，比较,,abc的大小.（2）比较3020103,9,27大小。【答案】解：（1）bac；（2）301020327

9提示：（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为12；（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.类型二、整式的乘除法运算2、（2015•杭州模拟）已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n

的值，并求出一次项系数．【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．【答案与解析】解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx

+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，因为该多项式是四次多项式，所以m+2=4，解得：m=2，原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣

2∵多项式不含二次项，∴3+12n=0，解得：n=，所以一次项系数8﹣3n=8+34=354．【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．举一反三：【变式】若13xmx

的乘积中不含x的一次项，则m等于______．【答案】13；类型三、乘法公式3、计算：(1)abcdabcd；(2)231235xyxy．【思路点拨】（1）中可以将两因式变成ab与cd的和差.（2）中可将两因式变成23y

与23x的和差.【答案与解析】解：(1)原式22[()()][()()]()()abcdabcdabcd222222aabbccdd．(2)原式[(23)(23)][(23)(23)]yxyx22

2323yx229412125yxyx.【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．举一反三：【变式】计算：2483(21)(2

1)(21)1．【答案】解：24822483(21)(21)(21)1(21)(21)(21)(21)1448(21)(21)(21)1881616(21)(21)12112．4、已知222246140xyzxy

z，求代数式2012()xyz的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,xyz.【答案与解析】解：222246140xyzxyz

2221230xyz所以1,2,3xyz所以20122012()00xyz.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.举一反三：【

变式1】如果22462130xxyyz，则zxy的值为.【答案】解：∵22462130xxyyz，∴222320xyz，解得232x,y,z∴21636zxy.【变式2】（2015春•祁阳县期末）课堂上老师指出：若a，

b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请判断该三角形的形状．小明在与同学一起合作探究这个问题时，说出了自己的猜想及理由，得到了老师的赞扬．请你写出小明的猜想和理由．【答案】解：依题意得：所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0所以a=b，b=c，c=a．

故△ABC是等边三角形．5、求证：无论xy，为何有理数，多项式222616xyxy的值恒为正数．【答案与解析】解：原式＝221360xy所以多项式的值恒为正数.【总结升华】通过配方，将原式变成非负数＋正数的形式，这样可以

判断多项式的正负.举一反三：【变式】证明:不论,ab为何值,多项式2222354ababab的值一定小于0.【答案】证明：2222354ababab＝2222[(1)(2)4]4abababab

＝22(1)42abab∵0)12(2ab,02ba∴2(1)02ab,20ab∴原式一定小于0.类型四、因式分解6、分解因式：（1）222222xx（2）2224420xxxx（3）

2244634aabbab【答案与解析】解：（1）原式2222212211xxxxxx（2）原式＝222224(4)204544xxxxxxxx

2512xxx（3）原式＝223242421abababab【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.【巩固练习】一.选择题1．（2015•邵阳）已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（）A．3B．4C．5D．

62.已知：△ABC的三边长分别为abc、、，那么代数式2222bcaca的值（）A.大于零B.等于零C.小于零D不能确定3．已知31216xx有一个因式是4x，把它分解因式后应当是（）A．2(4)(2)xxB．2(4)(1)xxxC．

2(4)(2)xxD．2(4)(1)xxx4．若2xaxbxpxq，且0p，0q，那么ab，必须满足条件()．A.ab，都是正数B.ab，异号，且正数的绝对值较大C.ab，都是负数D.ab，异号，且负数的绝对值较大5．化简222

222(53)2(53)(52)(52)xxxxxxxx的结果是（）A．101xB．25C．22101xxD．以上都不对6．将下述多项式分解后，有相同因式1x的多项式有()①；②；③；④；⑤；⑥A．2个B．3个C．4个D．5个7.下列各式中正确的有（）个：

①abba；②22abba；③22abba；④33abba；⑤abababab；⑥22ababA.1B.2C.3D.48.将3223xxyxyy分组

分解，下列的分组方法不恰当的是（）A.3223()()xxyxyyB.3223()()xxyxyyC.3322()()xyxyxyD.3223()xxyxyy二.填空题9.（2016·富顺县校级模拟）若2419aka是一个关于a的完全平

方式，则k．10.若21mx，34my，则用含x的代数式表示y为______．11.已知2226100mmnn，则mn＝．12．若230xy，化简|)(21|276yxxy＝_________．13．若32213xxxk

有一个因式为21x，则k的值应当是_________.14.设实数x，y满足2214202xyxyy，则x＝_________，y＝__________.15.已知5,3abab，则32232ababab

＝．16.分解因式：（1）4254xx＝________；（2）3322amamam＝________.三.解答题17.（2015春•禅城区校级期末）请你说明：当n为自然数时，（n+7）2﹣（n﹣5）2能被24整除．18.（2016春·工业园区期中）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形

，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为；（2）观察图2，请你写出2ab、2ab、ab之间的等量关系；（3）根据（

2）中的结论，若5xy，94xy，则xy；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3，你有什么发现？.19.计算).1011()911()411()311()211(2222220.下面是某同学对多项式64

2422xxxx＋4进行因式分解的过程：解：设yxx42原式＝264yy（第一步）＝2816yy（第二步）＝24y（第三步）＝2244xx（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）A．提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平

方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式122222xxxx进行因式分解.【答案与解析】一.选择题1.【

答案】C；【解析】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5，故选C.2.【答案】C；【解析】222222aaccbacbacbacb

，因为abc、、为三角形三边长，所以0,0abcabc，所以原式小于零.3.【答案】A【解析】代入答案检验.4.【答案】B；【解析】由题意00abab，，所以选B.5.【答案】B；【解析】原式＝22225352525xxxx

.6.【答案】C；【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式1x.7.【答案】D；【解析】②④⑤⑥正确.8.【答案】D；【解析】A、B各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式xy，所以分组

合理，D第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当.二.填空题9.【答案】13或-11；【解析】解：∵2419aka是一个关于a的完全平方式，∴112k，∴k13或-11，

故答案为：13或-11．10.【答案】224yxx【解析】∵21mx，∴222234323(2)3(1)24mmmyxxx.11.【答案】－3；【解析】22222610130,1,3mmnnmnmn.

12.【答案】78xy【解析】因为230xy，所以0y，原式＝676778112||222xyxyxyxyxy.13.【答案】－6；【解析】由题意，当12x时，322130xxxk，解得k＝－6.14.【答案】2；4；【解

析】等式两边同乘以4，得：224216480xyxyy222448160xxyyyy22240xyy∴2,4,xyy∴2x.15.【答案】39；【解析】原式＝2224353439ababababab

.16.【答案】1122xxxx；2amam；【解析】422254141122xxxxxxxx；332222amamamaammam

222amamamam.三.解答题17.【解析】解：原式=（n+7+n﹣5）（n+7﹣n+5）=24（n+1），则当n为自然数时，（n+7）2﹣（n﹣5）2能被24整除．18.【解析】解：（1）阴影部分的边长为ba，所以阴影部分的面积为2ba，故答案为：2ba

；（2）224ababab，故答案为：224ababab；（3）∵224xyxyxy，5xy，94xy，∴229544xy，∴216xy

∴4xy；（4）边长为ab与3ab的矩形面积为ab3ab，它由3个边长为a的正方形、4个边长为ab、的矩形和一个边长为b的正方形组成，∴ab3ab=2234aabb．19.【解析】解：原式＝111111111111111

12233441010……314253119......22334410101120.20.【解析】解：（1）C；（2）不彻底；42x；（3）

设22xxy，原式＝22121yyyy22421211yxxx.